Regularity for the fractional logarithmic $p$-Laplacian

Resumo Técnico: Regularidade para o $p$-Laplaciano Logarítmico Fracionário

Configuração do Problema e Motivação
Este trabalho investiga a teoria de regularidade local para soluções fracas da equação não local:
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u = f \quad \text{em } \Omega,$$
onde $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ é um conjunto aberto limitado, $f \in L^q_{loc}(\Omega)$ com $q > 1$, e o operador $(-\Delta_p)^{s+\log}$ é definido como a derivada de primeira ordem do $p$-Laplaciano fracionário $(-\Delta_p)^t$ em relação à ordem $t$, avaliada em $t=s \in (0,1)$:
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u(x) := \frac{d}{dt}(-\Delta_p)^t u(x) \Big|_{t=s}.$$
O operador surge naturalmente no estudo do comportamento assintótico de operadores fracionários conforme a ordem varia. O caso limite $s=0$ (o Laplaciano logarítmico) tem sido extensivamente estudado (ex: Chen-Weth, Dyda-Jarohs-Sk), mas o caso interior $s \in (0,1)$, particularmente para o cenário quasilinear $p \neq 2$, representa uma nova direção iniciada por Chen-Chen-Hauer.

O núcleo deste operador, $K_{s+\log}(r)$, exibe duas características críticas que o distinguem do $p$-Laplaciano fracionário padrão:

1. Singularidade Aumentada: Próximo à diagonal ($r \to 0$), o núcleo se comporta como $r^{-d-sp} \log(1/r)$, sendo mais singular que o $r^{-d-sp}$ padrão.
2. Mudança de Sinal: Em grandes escalas, o núcleo muda de sinal. Especificamente, $K_{s+\log}(r) \leq 0$ para $r \geq e^{B_{d,s,p}/p}$. Essa natureza de mudança de sinal complica a análise das interações não locais, pois os termos de "cauda" (tail) padrão usados na teoria fracionária já não bastam para controlar as contribuições de campo distante.

Metodologia
Os autores adaptam a clássica teoria de De Giorgi-Nash-Moser para este cenário não local específico. A estratégia envolve modificações não triviais para lidar com o peso logarítmico e o núcleo de mudança de sinal:

1. Decomposição do Núcleo e das Caudas (Tails):
   Devido à mudança de sinal, uma única cauda não local é insuficiente. O núcleo é decomposto em uma parte fracionária e duas partes logarítmicas de sinal definido: $K_{s+\log} \sim r^{-d-sp} + K^+_{s+\log} - K^-_{s+\log}$. Consequentemente, os autores introduzem dois termos de cauda distintos para capturar os efeitos de campo distante:

   • $Tail_+(u; x_0, R)$: Captura interações onde o peso logarítmico é positivo (escalas intermediárias).
   • $Tail_-(u; x_0, R)$: Captura interações onde o peso logarítmico é negativo (campo distante).
     A análise revela uma dualidade específica: para subsoluções, a parte positiva da solução acopla-se com a parte negativa do núcleo, e vice-versa. Isso exige um emparelhamento de caudas nas estimativas, especificamente $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$.

2. Estimativas de Energia e Iteração:
   A prova baseia-se no estabelecimento de uma desigualdade de Caccioppoli e uma estimativa de energia logarítmica. Um obstáculo técnico fundamental é o crescimento logarítmico do núcleo, que introduz fatores de $(1 - \log r)$ nas estimativas de energia local. Para gerenciar isso, os autores utilizam uma desigualdade de Poincaré logarítmica fracionária (Proposição 2.5) que fornece um fator de decaimento correspondente, permitindo que a iteração de De Giorgi proceda de maneira invariante de escala.

3. Tratamento do Termo de Fonte:
   A presença de $f \in L^q_{loc}$ com $q > d/sp$ (subcrítico de escala) requer um tratamento cuidadoso do expoente de integrabilidade. Os autores introduzem um parâmetro $\sigma$ para garantir as desigualdades estritas necessárias para a convergência dos lemas de iteração, evitando o colapso que ocorre no caso crítico.

Principais Contribuições e Resultados

1. Desigualdade de Harnack com Caudas (Teorema 1.2):
   O artigo estabelece uma desigualdade de Harnack para soluções fracas não negativas. Diferente do $p$-Laplaciano fracionário, onde a não negatividade global elimina o termo de cauda, a mudança de sinal do núcleo aqui garante que os termos de cauda persistam mesmo se $u \geq 0$ globalmente. A desigualdade assume a forma:
   $$\text{ess sup}_{B_{r/2}} u \leq C \left( \text{ess inf}_{B_r} u + \text{Termos de Cauda} + \text{Termos de Fonte} \right).$$
   Crucialmente, os termos de cauda envolvem o emparelhamento específico $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$, refletindo a estrutura de mudança de sinal do núcleo. Os autores provam que esses termos de cauda não podem ser removidos em geral, mesmo para soluções não negativas, construindo um contraexemplo onde a solução é suportada fora do domínio de interesse.

2. Regularidade de Hölder Local (Teorema 1.4):
   Os autores provam que as soluções fracas são localmente contínuas de Hölder. O expoente de Hölder $\alpha$ depende da dimensão $d$, da ordem $s$, do expoente $p$ e da integrabilidade $q$ do termo de fonte $f$. A estimativa inclui um módulo de continuidade que decai com o raio $r$, escalonado por fatores logarítmicos e pelos termos de cauda.

3. Contraexemplo para Harnack Sem Cauda:
   Na Seção 7, os autores constroem um exemplo específico (para $p=2$) demonstrando que, se uma solução for suportada fora da bola $B_R$, o termo de cauda na desigualdade de Harnack é inevitável. Isso confirma que a desigualdade de Harnack "sem cauda", conhecida para o Laplaciano fracionário padrão sob não negatividade global, não se aplica ao operador logarítmico fracionário devido à mudança de sinal do núcleo.

Significância e Alegações
O artigo afirma que estes resultados são novos mesmo no caso linear $p=2$. O trabalho estende a teoria de regularidade para uma classe de operadores que são de "ordem zero" em um sentido assintótico específico, mas que possuem um núcleo mais singular que o Laplaciano fracionário padrão próximo da diagonal e com mudança de sinal no infinito.

Os autores enfatizam que a presença do fator logarítmico e a mudança de sinal alteram fundamentalmente a estrutura das estimativas de regularidade, exigindo a introdução de termos de cauda duais e fatores de decaimento logarítmico específicos nas cotas. Os resultados fornecem uma teoria de regularidade local sistemática para esta classe de equações não locais, respondendo afirmativamente às questões sobre a existência de desigualdades de Harnack e continuidade de Hölder para soluções fracas. O trabalho não pretende estabelecer regularidade de fronteira ou continuidade global, observando que estas exigem argumentos de barreira distintos, fora do escopo atual.