Superlinear complexity of the $(3/2)^n$ steering word

技术摘要：$(3/2)^n$ 转向词的超线性复杂度

问题陈述
本文研究了由映射 $x \mapsto \frac{3}{2}x$ 下的 1 的轨道所生成的符号动力学，特别关注最近整数舍入误差的序列。虽然序列 $\|(\frac{3}{2})^n\|$（到最近整数的距离）的分布是数论中一个长期存在的开放问题，但本研究将重点转向“转向词”（steering word）$T = (t_n)_{n \geq 0}$。该词记录了在每一步自主动力学中选择的整数平移，定义为 $t_n = 2m_{n+1} - 3m_n$，其中 $m_n = \text{round}((\frac{3}{2})^n)$。本文探讨的核心问题是 $T$ 的子词复杂度（subword complexity）$p_T(k)$，即 $T$ 中长度为 $k$ 的不同因子个数。本文旨在证明该复杂度是超线性的，即 $\lim_{k \to \infty} p_T(k)/k = \infty$。

方法论
证明策略分为三个不同的阶段，将代数数复杂度研究中的方法（特别是 Adamczewski–Bugeaud 方法）转移到这一动力学设定中。该论证高度依赖于子空间定理（Subspace Theorem），并指出已在 Lean-4 中完成了完全形式化。

1. 阶段 0：精确恒等式与无条件界限（第 2 节）
   作者推导出了一个精确的“重复恒等式”。如果一个长度为 $k$ 的因子在位置 $a$ 和 $c$（$a < c$）重复出现，它会强制满足关系式 $3^k(\varepsilon_c - \varepsilon_a) = 2^k(\varepsilon_{c+k} - \varepsilon_{a+k})$，其中 $\varepsilon_n$ 是舍入误差。

   • 该恒等式产生了一个整除条件：$2^k \mid (m_c - m_a)$。
   • 结合轨道的增长特性，这确立了长重复项不会在词中任意晚期出现。
   • 无条件结果：本文证明了 $T$ 不是最终周期的，并建立了一个线性下界 $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$，该界限严格高于非周期词的 Morse–Hedlund 底线（$k+1$）。

2. 阶段 1：归约为丢番图核（第 3 节）
   证明超线性复杂度的过程被归约为一个单一的丢番图陈述，称为核（Kernel, K）。

   • 陈述 (K)：对于每个有理数 $\theta \in (0, 1)$，满足 $2 \leq a < c$ 且 $\|(\frac{3}{2})^c - (\frac{3}{2})^a\| \leq \theta^c$ 的对 $(a, c)$ 集合是有限的。
   • 这代表了一种“指数级对斥”（exponential pair repulsion）性质，将轨道点之间的距离平凡下界从基数 $2^{-1}$ 提升到了任意基数 $\theta < 1$。
   • 归约表明，若 (K) 成立，则 $p_T(k)/k \to \infty$。

3. 阶段 2：建立核（第 4 & 5 节）
   通过将潜在解集划分为三个“切片”并应用深层的丢番图逼近结果，完成了对 (K) 的证明：

   • 固定间隙切片：对于固定的间隙 $c-a$，利用 Corvaja–Zannier 主定理（Schmidt 子空间定理的一个推论）证明了有限性。
   • 巨大间隙切片：对于 $a \leq \epsilon' c$ 的区域，同样通过 Corvaja–Zannier 定理证明了有限性，将其视为伪 Pisot 排斥的一个特例。
   • 中间带区域：对于剩余的间隙增长但 $a$ 相对于 $c$ 并非微不足道的区域，作者采用了间隙二分法（gap dichotomy）。如果解集是无限的，则可以提取出一个具有不同间隙的子族。这将导致通过 Nair–Kumar–Rout S-单位元组定理 产生的矛盾，因为该定理会暗示对于某个 $c$，$(\frac{3}{2})^c$ 是一个整数，这显然是不可能的。

主要贡献与结果

• 主定理（定理 1.1）：转向词 $T$ 的子词复杂度是超线性的（$p_T(k)/k \to \infty$）。
• 无条件下界：本文提供了一个明确的、无条件的线性下界 $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$，该界限是在不依赖未证明猜想的情况下推导出的。
• 形式化：整个论证已在 Lean-4 中完成形式化。该形式化仅依赖于 3 变量的 Evertse–Schlickewei 子空间定理，从而确认了其对 Corvaja–Zanner 与 Nair–Kumar–Rout 结果的逻辑依赖关系的正确性。
• 非周期性：给出了转向词不是最终周期的严谨证明。

意义与主张
本文声称通过连接符号动力学与丢番图逼近，解决了这一特定自主动力学系统的复杂度问题。

• 方法论迁移：它成功地将通常用于代数数的 Adamczewski–Bugeaud 方法适配到了动力学词上。作者指出，$(3/2)$ 动力学的自主性质简化了账目处理，使得重复因子可以压缩为简洁的丢番图不等式，而无需进行前缀锚定。
• 对深层定理的依赖：关于超线性增长的证明以 Corvaja–Zannier 定理（经同行评审）和 Nair–Kumar–Rout 定理（撰写时为预印本）为条件；然而，Lean-4 的形式化证明了这些依赖关系在逻辑上仅是子空间定理的必然结果。
• 局限性：关于超线性增长的结果是**非有效（ineffective）**的；子空间定理并不能提供关于异常集合（即丢番图不等式解的集合）大小的显式界限。本文并不声称解决了关于 $\|(\frac{3}{2})^n\| \to 0$ 密度的更广泛开放问题，而是刻画了舍入序列的组合复杂度。