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Superlinear complexity of the $(3/2)^n$ steering word

Este artículo demuestra que la complejidad de subpalabras de la palabra de dirección generada por el mapa $(3/2)^n$ es superlineal, un resultado establecido mediante el Teorema del Subespacio y totalmente formalizado en Lean-4.

Autores originales: Ralf Stephan

Publicado 2026-07-14

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CC0 1.0

Autores originales: Ralf Stephan

Artículo original dedicado al dominio público bajo CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina una máquina mágica que toma un número, lo multiplica por 1.5 y luego lo redondea al número entero más cercano. Ahora, imagina pasar esta máquina una y otra vez, comenzando con el número 1.

1 se convierte en 1.5, que se redondea a 2.
2 se convierte en 3, que se queda en 3.
3 se convierte en 4.5, que se redondea a 5.
5 se convierte en 7.5, que se redondea a 8.

Esto crea una secuencia de números enteros: 1, 2, 2, 3, 5, 8, y así sucesivamente. Pero el artículo no está interesado solo en los números en sí; está interesado en el "volante de dirección" que le dice a la máquina cómo llegó allí. En cada uno de los pasos, la máquina tuvo que elegir si redondear hacia arriba o hacia abajo para alcanzar ese entero más cercano. Cuando unes todas estas decisiones, obtienes una "palabra de dirección" larga e infinita.

La gran pregunta que plantea el artículo es: ¿Qué tan complejo es este código?

En el mundo de los patrones, algunos códigos son aburridamente simples. Piensa en una canción que simplemente repite "la-la-la" por siempre. Ese es un patrón simple. Otros códigos son caóticos y desordenados, como la estática en una radio. Los matemáticos miden este "desorden" contando cuántos fragmentos únicos (o "subpalabras") de una cierta longitud existen en el código. Si un código es simple, el número de fragmentos únicos crece lentamente (como una línea recta). Si es complejo, el número de fragmentos únicos explota.

El Hallazgo Principal
El artículo demuestra que esta palabra de dirección específica es salvajemente compleja. No solo crece en una línea recta; crece de forma "superlineal". Esto significa que, a medida que observas fragmentos cada vez más largos del código, el número de patrones únicos que encuentras aumenta cada vez más rápido, disparándose hacia el infinito.

Para ponerlo de una manera lúdica: si intentaras predecir el siguiente movimiento en esta secuencia mirando el pasado, eventualmente te encontrarías con un muro. No importa cuán largo sea el patrón que encuentres, la secuencia eventualmente hará algo completamente nuevo que no habías visto antes. Se niega a establecerse en un bucle.

Lo que el Artículo Descarta
El artículo descarta explícitamente la idea de que esta secuencia sea "eventualmente periódica". En lenguaje sencillo, esto significa que la secuencia nunca caerá en un ciclo repetitivo como un disco rayado. Nunca empezará a decir "1, 2, 3, 1, 2, 3" para siempre. Los autores demuestran que, sin importar qué tan lejos avances en la secuencia, nunca encontrarás un punto donde simplemente repita el mismo patrón una y otra vez.

¿Qué tan seguros están?
Los autores no están solo adivinando o simulando esto en una computadora. Han demostrado que es así.

Construyeron una fortaleza de lógica utilizando dos herramientas matemáticas de gran potencia (los teoremas de Corvaja–Zannier y Nair–Kumar–Rout) que actúan como cerraduras inquebrantables. También hicieron algo muy especial: tradujeron toda su demostración a un lenguaje de computadora llamado Lean-4. Esta computadora verificó cada uno de los pasos de su lógica para asegurar que no hubiera errores humanos. La computadora dijo: "Sí, esta demostración es válida".

El Viaje de la Demostración
La demostración ocurre en tres etapas, como escalar una montaña:

Etapa 0 (El Fundamento): Primero demostraron que si la secuencia sí repitiera un patrón largo, rompería las leyes de la matemática (específicamente, crearía una imposibilidad matemática relacionada con cómo se dividen los números). Esto demostró que la secuencia no es un bucle simple y ya mostró que era más compleja que el patrón más simple que no es un bucle.
Etapa 1 (La Reducción): Se dieron cuenta de que para demostrar que la secuencia es súper compleja, solo necesitaban demostrar una cosa específica: que los números en la secuencia no se acercan "demasiado" entre sí con demasiada frecuencia. Si se mantuvieran alejados, el código estaría forzado a ser desordenado y complejo.
Etapa 2 (La Cumbre): Utilizaron esas herramientas matemáticas de gran potencia para demostrar que los números, en efecto, se mantienen alejados. Dividieron el problema en tres zonas:
- La Zona de Brecha Pequeña: Cuando los números están cerca unos de otros en la secuencia.
- La Zona de Brecha Gigante: Cuando los números están muy alejados en la secuencia.
- La Zona Intermedia: El área complicada en medio.

Para las dos primeras zonas, utilizaron un teorema poderoso. Para la zona intermedia, usaron un truco ingenioso (una "dicotomía") que mostró que si el patrón intentaba ser simple, esto llevaría a una contradicción (como demostrar que una fracción es en realidad un número entero, lo cual es imposible).

La Conclusión
La palabra de dirección para la secuencia (3/2) es una obra maestra caótica y no repetitiva. Es tan compleja que el número de patrones únicos que contiene crece más rápido que cualquier línea recta. Esto no es una sugerencia o una simulación; es un hecho matemáticamente demostrado, verificado por una computadora, que muestra cómo una regla de apariencia simple genera una danza de números infinitamente intrincada.

Resumen Técnico: Complejidad Superlineal de la Palabra de Dirección $(3/2)^n$

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la dinámica simbólica generada por la órbita del número 1 bajo el mapa $x \mapsto \frac{3}{2}x$ , centrándose específicamente en la secuencia de errores de redondeo al entero más cercano. Si bien la distribución de la secuencia $\|(\frac{3}{2})^n\|$ (distancia al entero más cercano) es un problema abierto de larga data en la teoría de números, este trabajo desplaza el enfoque hacia la "palabra de dirección" (steering word) $T = (t_n)_{n \geq 0}$ . Esta palabra registra los traslados enteros seleccionados en cada paso de la dinámica autónoma, definida por $t_n = 2m_{n+1} - 3m_n$ , donde $m_n = \text{round}((\frac{3}{2})^n)$ . La cuestión central abordada es la complejidad de subpalabras $p_T(k)$ , que cuenta el número de factores distintos de longitud $k$ en $T$ . El objetivo del artículo es demostrar que esta complejidad es superlineal, es decir, $\lim_{k \to \infty} p_T(k)/k = \infty$ .

Metodología
La estrategia de la prueba se estructura en tres etapas distintas, transfiriendo métodos del estudio de la complejidad de números algebraicos (específicamente el método de Adamczewski–Bugeaud) a este entorno dinámico. El argumento se apoya fuertemente en el Teorema del Subespacio y se señala que está totalmente formalizado en Lean-4.

Etapa 0: Identidades Exactas y Límites Incondicionales (Secciones 2)
El autor deriva una "identidad de repetición" exacta. Si un factor de longitud $k$ se repite en las posiciones $a$ y $c$ ( $a < c$ ), esto fuerza la relación $3^k(\varepsilon_c - \varepsilon_a) = 2^k(\varepsilon_{c+k} - \varepsilon_{a+k})$ , donde $\varepsilon_n$ es el error de redondeo.
- Esta identidad produce una condición de divisibilidad: $2^k \mid (m_c - m_a)$ .
- Combinado con las propiedades de crecimiento de la órbita, esto establece que las repeticiones largas no pueden ocurrir arbitrariamente tarde en la palabra.
- Resultado Incondicional: El artículo demuestra que $T$ no es eventualmente periódica y establece un límite inferior lineal $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$ , que es estrictamente superior al suelo de Morse–Hedlund ( $k+1$ ) para palabras aperiódicas.
Etapa 1: Reducción a un Núcleo Diofántico (Sección 3)
El problema de demostrar la complejidad superlineal se reduce a una única afirmación diofántica, denominada el Núcleo (K).
- Afirmación (K): Para cada racional $\theta \in (0, 1)$ , el conjunto de pares $(a, c)$ con $2 \leq a < c$ que satisfacen $\|(\frac{3}{2})^c - (\frac{3}{2})^a\| \leq \theta^c$ es finito.
- Esto representa una propiedad de "repulsión de pares exponencial", mejorando el límite inferior trivial de la distancia entre puntos de la órbita de base $2^{-1}$ a una base arbitraria $\theta < 1$ .
- La reducción muestra que si (K) se cumple, entonces $p_T(k)/k \to \infty$ .
Etapa 2: Establecimiento del Núcleo (Secciones 4 y 5)
La prueba de (K) se logra mediante la partición del conjunto de posibles soluciones en tres "rebanadas" (slices) y la aplicación de resultados profundos de aproximación diofántica:
- Rebanada de Brecha Acotada (Bounded Gap Slice): Para brechas fijas $c-a$ , la finitud se demuestra utilizando el Teorema Principal de Corvaja–Zannier (una consecuencia del Teorema del Subespacio de Schmidt).
- Rebanada de Brecha Enorme (Huge-Gap Slice): Para la región donde $a \leq \epsilon' c$ , la finitud también se establece vía el teorema de Corvaja–Zannier, tratando el problema como un caso específico de exclusión de pseudo-Pisot.
- Banda Media (Middle Band): Para la región restante donde las brechas crecen pero $a$ no es despreciable respecto a $c$ , el autor emplea una dicotomía de brechas. Si el conjunto de soluciones fuera infinito, se podría extraer una subfamilia con brechas distintas. Esto conduce a una contradicción mediante el teorema de S-unidades de Nair–Kumar–Rout, lo que implicaría que $(\frac{3}{2})^c$ es un entero para algún $c$ , lo cual es imposible.

Contribuciones Clave y Resultados

Teorema Principal (Teorema 1.1): La complejidad de subpalabras de la palabra de dirección $T$ es superlineal ( $p_T(k)/k \to \infty$ ).
Límite Inferior Incondicional: El artículo proporciona un límite inferior lineal explícito e incondicional $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$ , derivado sin depender de conjeturas no probadas.
Formalización: Todo el argumento está formalizado en Lean-4. La formalización depende únicamente del Teorema del Subespacio de Evertse–Schlickewei en 3 variables, confirmando así que las dependencias de los resultados de Corvaja–Zannier y Nair–Kumar–Rout son lógicamente consistentes.
Aperiodicidad: Una prueba rigurosa de que la palabra de dirección no es eventualmente periódica.

Significado y Pretensiones
El artículo pretende resolver la cuestión de la complejidad para este sistema dinámico autónomo específico mediante el puente entre la dinámica simbólica y la aproximación diofántica.

Transferencia Metodológica: Adapta con éxito el método de Adamczewski–Bugeaud, típicamente utilizado para números algebraicos, a una palabra dinámica. El autor señala que la naturaleza autónoma de la dinámica de $(3/2)$ simplifica la contabilidad, permitiendo que los factores repetidos se compriman en desigualdades diofánticas limpias sin necesidad de anclaje de prefijo.
Dependencia de Teoremas Profundos: La prueba de la superlinealidad es condicional al teorema de Corvaja–Zannier (revisado por pares) y al teorema de Nair–Kumar–Rout (un preprint al momento de la escritura). Sin embargo, la formalización en Lean-4 sirve como verificación de que estas dependencias son consecuencias lógicamente sólidas del Teorema del Subespacio.
Limitaciones: Los resultados relativos al crecimiento superlineal son ineficaces; el Teorema del Subespacio no proporciona límites explícitos sobre el tamaño de los conjuntos excepcionales (el número de soluciones a las desigualdades diofánticas). El artículo no pretende resolver el problema abierto más amplio sobre la densidad de $\|(\frac{3}{2})^n\| \to 0$ , sino caracterizar la complejidad combinatoria de la secuencia de redondeo.

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