Superlinear complexity of the $(3/2)^n$ steering word

Technische Samenvatting: Superlineaire Complexiteit van het $(3/2)^n$ Stuurwoord

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt de symbolische dynamica gegenereerd door de baan van het getal 1 onder de afbeelding $x \mapsto \frac{3}{2}x$, met een specifieke focus op de sequentie van afrondingsfouten naar de dichtstbijzijnde geheel getal. Hoewel de distributie van de sequentie $\|(\frac{3}{2})^n\|$ (de afstand tot het dichtstbijzijnde gehele getal) een langlopend open probleem is in de getaltheorie, verschuift dit werk de focus naar het "stuurwoord" $T = (t_n)_{n \geq 0}$. Dit woord registreert de gehele vertalingen die bij elke stap worden geselecteerd in de autonome dynamica, gedefinieerd als $t_n = 2m_{n+1} - 3m_n$, waarbij $m_n = \text{round}((\frac{3}{2})^n)$. De centrale vraag die wordt behandeld is de subwoordcomplexiteit $p_T(k)$, die het aantal verschillende factoren van lengte $k$ in $T$ telt. Het doel van het artikel is om te bewijzen dat deze complexiteit superlineair is, wat betekent dat $\lim_{k \to \infty} p_T(k)/k = \infty$.

Methodologie
De bewijsstrategie is gestructureerd in drie afzonderlijke fasen, waarbij methoden uit de studie van algebraïsche getalcomplexiteit (specifiek de Adamczewski–Bugeaud-methode) worden overgebracht naar deze dynamische setting. Het argument steunt zwaar op het Subspace-theorema en wordt vermeld als volledig geformaliseerd in Lean-4.

1. Fase 0: Exacte Identiteiten en Voorwaardeloze Grenzen (Secties 2)
   De auteur leidt een exacte "repetitie-identiteit" af. Als een factor van lengte $k$ zich herhaalt op posities $a$ en $c$ ($a < c$), dwingt dit de relatie $3^k(\varepsilon_c - \varepsilon_a) = 2^k(\varepsilon_{c+k} - \varepsilon_{a+k})$ af, waarbij $\varepsilon_n$ de afrondingsfout is.

   • Deze identiteit levert een deelbaarheidsvoorwaarde op: $2^k \mid (m_c - m_a)$.
   • In combinatie met de groeiproperties van de baan wordt vastgesteld dat lange repetities niet willekeurig laat in het woord kunnen voorkomen.
   • Voorwaardeloos Resultaat: Het artikel bewijst dat $T$ niet uiteindelijk periodiek is en stelt een lineaire ondergrens vast $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$, die strikt boven de Morse–Hedlund-vloer ($k+1$) voor aperiodieke woorden ligt.

2. Fase 1: Reductie tot een Diophantische Kern (Sectie 3)
   Het probleem van het bewijzen van superlineaire complexiteit wordt gereduceerd tot een enkele Diophantische bewering, aangeduid als de Kern (K).

   • Bewering (K): Voor elke rationale $\theta \in (0, 1)$ is de verzameling paren $(a, c)$ met $2 \leq a < c$ die voldoen aan $\|(\frac{3}{2})^c - (\frac{3}{2})^a\| \leq \theta^c$ eindig.
   • Dit vertegenwoordigt een "exponentiële paar-repulsie"-eigenschap, die de triviale ondergrens van de afstand tussen baanpunten verbetert van basis $2^{-1}$ naar een willekeurige basis $\theta < 1$.
   • De reductie toont aan dat als (K) standhoudt, dan $p_T(k)/k \to \infty$.

3. Fase 2: Het Vaststellen van de Kern (Secties 4 & 5)
   Het bewijs van (K) wordt gerealiseerd door de verzameling potentiële oplossingen te verdelen in drie "segmenten" en diepe resultaten uit de Diophantische benadering toe te passen:

   • Segment met Beperkte Kloof: Voor vaste kloven $c-a$ wordt eindigheid bewezen met behulp van de Corvaja–Zannier Hoofdstelling (een consequentie van het Schmidt Subspace-theorema).
   • Segment met Enorme Kloof: Voor de regio waar $a \leq \epsilon' c$, wordt eindigheid eveneens vastgesteld via de Corvaja–Zannier-stelling door het probleem te behandelen als een specifiek geval van pseudo-Pisot exclusie.
   • Middelste Band: Voor de resterende regio waar de kloven groeien maar $a$ niet verwaarloosbaar is ten opzichte van $c$, gebruikt de auteur een kloof-dichotomie. Indien de verzameling oplossingen oneindig zou zijn, zou men een subfamilie met onderscheidende kloven kunnen extraheren. Dit leidt tot een tegenspraak via de Nair–Kumar–Rout S-unit tuple-stelling, wat zou impliceren dat $(\frac{3}{2})^c$ voor een bepaalde $c$ een geheel getal is, wat onmogelijk is.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Hoofdstelling (Stelling 1.1): De subwoordcomplexiteit van het stuurwoord $T$ is superlineair ($p_T(k)/k \to \infty$).
• Voorwaardeloze Ondergrens: Het artikel biedt een expliciete, voorwaardeloze lineaire ondergrens $p_T(k) \geq \frac{41}{24}k - 3$, afgeleid zonder te vertrouwen op onbewezen vermoedens.
• Formalisering: Het volledige argument is geformaliseerd in Lean-4. De formalisering hangt enkel af van het Evertse–Schlickewei Subspace-theorema in 3 variabelen, waarmee de correctheid van de afhankelijkheden op de Corvaja–Zannier en Nair–Kumar–Rout resultaten wordt bevestigd.
• Aperiodiciteit: Een rigoureus bewijs dat het stuurwoord niet uiteindelijk periodiek is.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert de complexiteitsvraag voor dit specifieke autonome dynamische systeem te hebben opgelost door de brug te slaan tussen symbolische dynamica en Diophantische benadering.

• Methodologische Overdracht: Het slaagt erin de Adamczewski–Bugeaud-methode, die gewoonlijk wordt gebruikt voor algebraïsche getallen, succesvol aan te passen aan een dynamisch woord. De auteur merkt op dat het autonome karakter van de $(3/2)$-dynamica de administratie vereenvoudigt, waardoor herhaalde factoren kunnen worden samengeperst in zuivere Diophantische ongelijkheden zonder prefix-verankering.
• Afhankelijkheid van Diepe Stellingen: Het bewijs van superlineariteit is voorwaardelijk op de Corvaja–Zannier-stelling (gepeerreviewed) en de Nair–Kumar–Rout-stelling (een preprint op het moment van schrijven). De Lean-4 formalisering dient echter als verificatie dat deze afhankelijkheden logisch gezien consequente gevolgen zijn van het Subspace-theorema.
• Beperkingen: De resultaten met betrekking tot de superlineaire groei zijn ineffectief; het Subspace-theorema biedt geen expliciete grenzen op de grootte van de uitzonderlijke verzamelingen (het aantal oplossingen voor de Diophantische ongelijkheden). Het artikel claimt niet het bredere open probleem betreffende de densiteit van $\|(\frac{3}{2})^n\| \to 0$ op te lossen, maar karakteriseert in plaats daarvan de combinatorische complexiteit van de afrondingssequentie.