Involutions of (twisted) diagram monoids

技术摘要：(扭转) 图表单群的对合

问题陈述
本文研究了一类广泛的图表单群（diagram monoids）及其相关扭转积（twisted products）的对合（自逆反自同构）的分类。虽然在图表代数和单群中，规范对合（垂直反射）已被充分理解，但对于所有可能的对合及其关于正则性的特定代数性质，尤其是针对未扭转和扭转结构的图景，仍有很大空白。具体而言，作者旨在：

1. 分类划分（$P_n$）、平面划分（$PP_n$）、部分 Brauer（$PB_n$）、Motzkin（$M_n$）、Brauer（$B_n$）和 Temperley–Lieb（$TL_n$）单群的所有对合。
2. 表征哪些对合使这些单群成为星正则（$\ast$-regular）单群或正则星单群（regular star-monoids）。
3. 将此分类和表征扩展到“扭转图表单群”，即通过关联浮动分量（通过规范的浮动计数扭转 $\Phi$）或基于秩的扭转（$\Psi$）来增强底层图表单群的半群代数。

一个核心动机是观察到：虽然图表单群通常是正则 $\ast$-单群（其中对合将元素映射为其冯·诺依曼逆），但它们的扭转对应物往往不是正则的。作者研究了这些扭转结构是否保留了较弱的正则性质，特别是星正则性。

方法论
作者采用了两管齐下的方法，在开发了扭转积的一般理论之后，再将其应用于特定的图表单群。

• 扭转积的一般理论： 本文建立了一个扭转积 $T = M \times_q^\Phi S$ 的框架，其中 $S$ 是一个单群，$M$ 是一个交换单群，且 $\Phi: S \times S \to \mathbb{N}$ 是一个扭转映射。作者引入并利用了诸如“紧致性”（tightness）、“单位性”（unitality）和“Green 不变性”（Green-invariance）等属性。他们开发了一套通用的扭转积对合分类方法，区分了“纯”对合（其中第二个坐标仅取决于输入的第二个坐标）和“一般”对合。
• 自同构分类： 为了分类对合，作者首先确定了底层图表单群的自同构群。虽然 $P_n, PB_n$ 和 $B_n$ 的自同构已为人所知（Mazorchuk），但作者为平面单群 $PP_n, M_n$ 和 $TL_n$ 提供了新的分类。
• 中心分析： 作者证明了对于足够大的 $n$，这些图表单群的中心是平凡的。这一结果对于一般理论至关重要，因为 $S$ 中的平凡中心意味着扭转积 $T$ 的所有对合都是纯的。
• 正则性表征： 利用通用的分类，作者推导出了 $T$ 为星正则或正则星单群的充分必要条件。这涉及分析对合、扭转映射 $\Phi$（或 $\Psi$）以及 Moore-Penrose 逆之间的相互作用。

主要贡献与结果

1. 图表单群的对合分类：

   • 对于 $P_n, PB_n$ 和 $B_n$，对合与底层集合的自逆置换（规范对合的共轭）是一一对应的。
   • 对于平面单群 $PP_n, M_n$ 和 $TL_n$，通常只有两个对合：规范对合和一个 180 度旋转（记作 $\rho$）。
   • 作者表征了哪些对合产生星正则或正则星单群结构。值得注意的是，$B_n$ 对于许多对合都是星正则的，但仅对于规范对合是正则星单群。

2. 中心的平凡性：

   • 本文证明了 $P_n, PP_n, PB_n, M_n$（对于 $n \ge 2$）以及 $B_n, TL_n$（对于 $n \ge 3$）具有平凡中心。这是一个具有独立研究价值的新结果。

3. 扭转积的一般理论：

   • 作者在假设单位性的情况下，分类了 $M \times_q^\Phi S$ 的对合。他们表明，如果 $S$ 具有平凡中心，则该扭转积的所有对合都是纯的。
   • 他们为星正则扭转积中的 Moore-Penrose 逆提供了显式公式。

4. 扭转图表单群（浮动计数 $\Phi$）：

   • 对于整数上的扭转单群（$M = \mathbb{Z}$），作者分类了所有对合。
   • 意外结果： 虽然大多数扭转图表单群不是正则 $\ast$-单群，但它们通常是星正则的。具体而言，基于整数的扭转图表单群对于扩展了基单群星正则对合的对合总是星正则的。
   • 例外情况： 扭转 Brauer 单群 $Z \times_1^\Phi B_2$ 是唯一的，它允许非纯对合，有趣的是，它对于其纯对合和非纯对合都是星正则的。
   • 正则星性（即对合映射到逆的更强条件）被证明是非常罕见的，仅在特定的低阶情况下成立。

5. 扭转图表单群（基于秩的 $\Psi$）：

   • 作者将同样的程序应用于基于秩的扭转 $\Psi$。
   • 与浮动计数扭转不同，基于秩的扭转产生了更丰富的结构：通常存在更多的对合，且星正则性和正则星性更为常见。
   • 重大发现： 在整数上，每一个基于秩的扭转图表单群 $Z \times_1^\Psi S$ 对于一个特定的“负”对合都是正则星单群。这提供了新的、自然的正则星单群无限族。

意义与主张
本文声称为研究最广泛的图表单群及其扭转变体提供了完整的对合分类。作者强调了几个出人意料的发现：

• 星正则性与正则星性之间的区别是显著的；许多扭转单群是星正则的，但不是正则星单群。
• 整数上的扭转图表单群是星正则单群（由 Drazin 引入的一类结构）的新颖、自然的例子。
• 基于秩的扭转 $\Psi$ 比规范的浮动计数扭转 $\Phi$ 提供了一个更稳健的正则性框架，产生了正则星单群的无限族。
• 开发了扭转积对合的一般理论，特别是识别出“单位性”是一个比“紧致性”更弱的关键属性，这使得即使在扭转并非紧致的情况下（如 Motzkin 和部分 Brauer 单群的情况），也能得出强大的通用结果。

这项工作被视为理解图表代数及其扭转对应物对称性和正则性的基础性步骤，对于细胞代数（cellular algebras）的研究以及半群代数的结构具有重要意义。