Involutions of (twisted) diagram monoids

Resumen Técnico: Involuciones de Monoides de Diagramas (Retorcidos)

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la clasificación de las involuciones (anti-automorfismos de automorfismo inverso) para una amplia clase de monoides de diagramas y sus productos retorcidos asociados. Mientras que la involución canónica (reflexión vertical) está bien comprendida en las álgebras y monoides de diagramas, el panorama de todas las posibles involuciones, y sus propiedades algebraicas específicas respecto a la regularidad, permanece en gran medida inexplorado tanto para las estructuras no retorcidas como para las retorcidas. Específicamente, los autores pretenden:

1. Clasificar todas las involuciones de los monoides de partición ($P_n$), partición plana ($PP_n$), Brauer parcial ($PB_n$), Motzkin ($M_n$), Brauer ($B_n$) y Temperley–Lieb ($TL_n$).
2. Caracterizar cuáles de estas involuciones convierten a los monoides en monoides estrella-regulares ($\ast$-regulares) o monoides estrella-regulares (regular star-monoids).
3. Extender esta clasificación y caracterización a los "monoides de diagramas retorcidos", que son álgebras de semigrupos de monoides de diagramas subyacentes aumentados con información sobre componentes flotantes (vía el conteo de flotantes canónico $\Phi$) o retorcimiento basado en el rango ($\Psi$).

Una motivación central es la observación de que, si bien los monoides de diagramas son típicamente monoides $\ast$-regulares (donde la involución mapea los elementos a sus inversos de von Neumann), sus contrapartes retorcidas a menudo fallan en ser regulares. Los autores investigan si estas estructuras retorcidas retienen propiedades de regularidad más débiles, específicamente la estrella-regularidad.

Metodología
Los autores emplean un enfoque de dos vertientes, desarrollando una teoría general para productos retorcidos antes de aplicarla a monoides de diagramas específicos.

• Teoría General de Productos Retorcidos: El artículo establece un marco para el producto retorcido $T = M \times_q^\Phi S$, donde $S$ es un monoide, $M$ es un monoide conmutativo, y $\Phi: S \times S \to \mathbb{N}$ es un mapa de retorcimiento. Los autores introducen y utilizan propiedades como la densidad (tightness), unitalidad y invariancia de Green para el retorcimiento $\Phi$. Desarrollan una clasificación general de involuciones para tales productos, distinguiendo entre involuciones "puras" (donde la segunda coordenada depende solo de la segunda coordenada de la entrada) e involuciones "generales".
• Clasificación de Automorfismos: Para clasificar las involuciones, los autores primero determinan los grupos de automorfismos de los monoides de diagramas subyacentes. Mientras que los automorfismos para $P_n$, $PP_n$ y $B_n$ eran conocidos (Mazorchuk), los autores proporcionan nuevas clasificaciones para los monoides planos $PP_n$, $M_n$ y $TL_n$.
• Análisis del Centro: Los autores demuestran que los centros de estos monoides de diagramas son triviales para $n$ suficientemente grande. Este resultado es crucial para la teoría general, ya que un centro trivial en $S$ implica que todas las involuciones del producto retorcido son puras.
• Caracterización de la Regularidad: Utilizando la clasificación general de involuciones, los autores derivan condiciones necesarias y suficientes para que $T$ sea un monoide estrella-regular o un monoide estrella-regular. Esto implica analizar la interacción entre la involución, el mapa de retorcimiento $\Phi$ (o $\Psi$) y los inversos de Moore-Penrose.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Clasificación de Involuciones en Monoides de Diagramas:

   • Para $P_n$, $PB_n$ y $B_n$, las involuciones están en correspondencia biunívoca con las permutaciones de automorfismo inverso del conjunto subyacente (conjugadas de la involución canónica).
   • Para los monoides planos $PP_n$, $M_n$ y $TL_n$, generalmente existen solo dos involuciones: la canónica y una rotación de 180 grados (denotada $\rho$).
   • Los autores caracterizan qué involuciones producen estructuras estrella-regulares o de monoide estrella-regular. Notablemente, $B_n$ es estrella-regular para muchas involuciones pero un monoide estrella-regular solo para la canónica.

2. Trivialidad del Centro:

   • El artículo demuestra que $P_n, PP_n, PB_n, M_n$ (para $n \ge 2$) y $B_n, TL_n$ (para $n \ge 3$) tienen centros triviales. Este es un resultado novedoso presentado como de interés independiente.

3. Teoría General de Productos Retorcidos:

   • Los autores clasifican las involuciones de $M \times_q^\Phi S$ bajo el supuesto de unitalidad. Muestran que si $S$ tiene un centro trivial, todas las involuciones del producto retorcido son puras.
   • Proporcionan fórmulas explícitas para los inversos de Moore-Penrose en productos retorcidos estrella-regulares.

4. Monoides de Diagramas Retorcidos (Conteo de Flotantes $\Phi$):

   • Para los monoides retorcidos sobre los enteros ($M = \mathbb{Z}$), los autores clasifican todas las involuciones.
   • Resultado Inesperado: Si bien la mayoría de los monoides de diagramas retorcidos no son monoides $\ast$-regulares, a menudo son estrella-regulares. Específicamente, los monoides de diagramas retorcidos sobre los enteros son siempre estrella-regulares con respecto a las involuciones que extienden las involuciones estrella-regulares del monoide base.
   • Excepción: El monoide de Brauer retorcido $Z \times_1^\Phi B_2$ es único en que admite involuciones no puras, eInterestingly, es estrella-regular con respecto tanto a sus involuciones puras como a las no puras.
   • La regularidad-estrella (la condición más fuerte donde la involución mapea al inverso) se muestra como muy rara, manteniéndose solo en casos específicos de bajo grado.

5. Monoides de Diagramas Retorcidos (Basados en el Rango $\Psi$):

   • Los autores aplican el mismo programa al retorcimiento basado en el rango $\Psi$.
   • A diferencia del caso del conteo de flotantes, el retorcimiento basado en el rango produce una estructura más rica: generalmente hay más involuciones, y la estrella-regularidad y la regularidad-estrella son más comunes.
   • Hallazgo Significativo: Sobre los enteros, cada monoide de diagrama retorcido basado en el rango $Z \times_1^\Psi S$ es un monoide estrella-regular con respecto a una involución "negativa" específica. Esto proporciona nuevas y naturales familias infinitas de monoides estrella-regulares.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una clasificación completa de las involuciones para los monoides de diagramas más estudiados y sus variantes retorcidas. Los autores destacan varios hallazgos inesperados:

• La distinción entre estrella-regularidad y regularidad-estrella es nítida; muchos monoides retorcidos son estrella-regulares pero no monoides estrella-regulares.
• Los monoides de diagramas retorcidos sobre los enteros sirven como nuevos y naturales ejemplos de monoides estrella-regulares, una clase de estructuras introducida por Drazin.
• El retorcimiento basado en el rango $\Psi$ ofrece un marco más robusto para la regularidad que el retorcimiento canónico de conteo de flotantes $\Phi$, produciendo familias infinitas de monoides estrella-regulares.
• El desarrollo de una teoría general para las involuciones de productos retorcidos, particularmente la identificación de la "unitalidad" como una propiedad clave más débil que la densidad, permite obtener resultados generales fuertes incluso cuando el retorcimiento no es denso (como es el caso para los monoides de Motzkin y Brauer parcial).

El trabajo se presenta como un paso fundacional para comprender las propiedades de simetría y regularidad de las álgebras de diagramas y sus contrapartes retorcidas, con implicaciones para el estudio de las álgebras celulares y la estructura de las álgebras de semigrupos.