Involutions of (twisted) diagram monoids

技術要約：(ねじれ) ダイアグラム・モノイドの対合

問題提起
本論文は、広範なダイアグラム・モノイドおよびそれに関連する「ねじれ積（twisted products）」における対合（自己逆の反自同型写像）の分類を取り扱う。ダイアグラム代数やモノイドにおいて、標準的な対合（垂直反射）はよく理解されているが、あらゆる可能な対合の全貌、およびそれらの特定の代数的性質（特に正則性に関するもの）については、未ねじれの構造とねじれた構造の両方において、依然として未開拓の領域である。具体的には、著者らは以下のことを目的としている：

1. 分割モノイド ($P_n$)、平面分割モノイド ($PP_n$)、部分ブールモノイド ($PB_n$)、モツキンモノイド ($M_n$)、ブールモノイド ($B_n$)、およびテンパリー・リーリー・モノイド ($TL_n$) のすべての対合を分類すること。
2. これらの対合のうち、どのものがモノイドをスター正則（$\ast$-regular）または正則スター・モノイド（regular star-monoid）にするかを特徴付けること。
3. これらの分類および特徴付けを、「ねじれダイアグラム・モノイド」へと拡張すること。ここで、ねじれダイアグラム・モノイドとは、浮遊成分に関する情報（浮遊カウントによるねじれ $\Phi$ またはランクに基づくねじれ $\Psi$）によって拡張された、基礎となるダイアグラム・モノイドの半群代数である。

中心的な動機は、ダイアグラム・モノイドは通常、正則 $\ast$-モノイド（対合が要素をフォン・ノイマン逆元に写すもの）であるが、その「ねじれた」対応物が正則性を失うことが多いという観察にある。著者らは、これらのねじれた構造が、より弱い正則性、具体的にはスター正則性を保持しているかどうかを調査している。

手法
著者らは、特定のダイアグラム・モノイドに適用する前に、ねじれ積に関する一般的な理論を展開するという二段構えのアプローチを採用している。

• ねじれ積の一般理論： 論文では、$S$ をモノイド、$M$ を可換モノイドとし、$\Phi: S \times S \to \mathbb{N}$ をねじれ写像とする、ねじれ積 $T = M \times_q^\Phi S$ の枠組みを構築している。著者らは、ねじれ $\Phi$ に関する「タイトネス（tightness）」、「単位性（unitality）」、および「グリーン不変性（Green-invariance）」といった性質を導入し、活用している。また、これらのような積の対合の分類を行い、「純粋な（pure）」対合（第2成分が入力の第2成分のみに依存するもの）と「一般的な（general）」対合を区別している。
• 自己同型群の分類： 対合を分類するために、著者らはまず基礎となるダイアグラム・モノイドの自己同型群を決定している。$P_n, PP_n, PB_n$ の自己同型は既知であったが（Mazorchuk）、著者らは平面モノイド $PP_n, M_n, TL_n$ についての新たな分類を提供している。
• 中心解析： 著者らは、これらのダイアグラム・モノイドの「中心（center）」が、十分大きな $n$ に対して自明であることを証明している。この結果は、一般理論において極めて重要である。なぜなら、$S$ における中心が自明であれば、ねじれ積 $T$ のすべての対合は「純粋な」ものになるからである。
• 正則性の特徴付け： 対合の一般分類を用いて、$T$ がスター正則であるか、あるいは正則スター・モノイドであるための必要十分条件を導出している。これには、対合、ねじれ写像 $\Phi$（または $\Psi$）、およびムーア・ペンローズ逆元（Moore-Penrose inverses）の間の相互作用の分析が含まれる。

主要な貢献と結果

1. ダイアグラム・モノイドにおける対合の分類：

   • $P_n, PB_n, B_n$ について、対合は基礎となる集合の自己逆置換（標準的な対合の共役）と一対一の対応関係にある。
   • 平面モノイド $PP_n, M_n, TL_n$ については、一般に、標準的な対合と180度回転（$\rho$ と表記）の2つのみが存在する。
   • 著者らは、どの対合がスター正則または正則スター・モノイドの構造をもたらすかを特徴付けている。特筆すべきは、$B_n$ は多くの対合に対してスター正則であるが、正則スター・モノイドとなるのは標準的な対合の場合のみである点である。

2. 中心の自明性：

   • 論文では、$P_n, PP_n, PB_n, M_n$ （$n \ge 2$ の場合）および $B_n, TL_n$ （$n \ge 3$ の場合）が自明な中心を持つことを証明している。これは、独立した関心事として述べられている新しい結果である。

3. ねじれ積の一般理論：

   • 単位性の仮定の下で、$M \times_q^\Phi S$ の対合を分類している。$S$ が自明な中心を持つ場合、当該のねじれ積のすべての対合は「純粋な」ものであることを示している。
   • スター正則なねじれ積におけるムーア・ペンローズ逆元の明示的な公式を提供している。

4. ねじれダイアグラム・モノイド（浮遊カウント $\Phi$）：

   • 整数上のねじれモノイド（$M = \mathbb{Z}$）について、すべての対合を分類している。
   • 予期せぬ結果： ほとんどのねじれダイアグラム・モノイドは正則 $\ast$-モノイドではないが、多くの場合「スター正則」である。具体的には、整数上のねじれダイアグラム・モノイドは、基礎となるモノイドのスター正則な対合を拡張する対合に関して、常にスター正則である。
   • 例外： ねじれブールモノイド $Z \times_1^\Phi B_2$ は特異であり、非純粋な対合を許容する。興味深いことに、これは純粋な対合と非純粋な対合の両方に対してスター正則である。
   • 正則スター性（対合が逆元に写るというより強い条件）は、非常に限定的な低次の場合にのみ成立することが示されており、極めて稀である。

5. ねじれダイアグラム・モノイド（ランクに基づく $\Psi$）：

   • 著者らは、ランクに基づくねじれ $\Psi$ に対しても同様のプログラムを適用している。
   • 浮遊カウントの場合とは異なり、ランクに基づくねじれはより豊かな構造をもたらす。具体的には、一般により多くの対合が存在し、スター正則性と正則スター性がより一般的である。
   • 重要な発見： 整数上において、すべてのランクベースのねじれダイアグラム・モノイド $Z \times_1^\Psi S$ は、特定の「負の（negative）」対合に関して正則スター・モノイドである。これは、正則スター・モノイドの新しい自然な無限族を提供している。

意義と主張
本論文は、最もよく研究されているダイアグラム・モノイドとそのねじれた変種に対する対合の完全な分類を提供することを主張している。著者らはいくつかの予期せぬ発見を強調している：

• スター正則性と正則スター性の区別は明確である。すなわち、多くのねじれたモノイドはスター正則であるが、正則スター・モノイドではない。
• 整数上のねじれダイアグラム・モノイドは、Drazinによって導入されたクラスであるスター正則モノイドの、新しい自然な例として機能する。
• ランクに基づくねじれ $\Psi$ は、標準的な浮遊カウントによるねじれ $\Phi$ よりも正則性に関してより堅牢な枠組みを提供し、正則スター・モノイドの無限族を生み出す。
• ねじれ積の対合に関する一般理論の開発、特に「単位性（unitality）」がタイトネスよりも弱い重要な性質であるという特定により、ねじれがタイトでない場合（Motzkinや部分ブール・モノイドの場合）でも強力な一般の結果を得ることが可能となった。

本研究は、ダイアグラム代数およびそのねじれた対応物の対称性と正則性の性質を理解するための基礎的なステップとして提示されており、セルラー代数の研究や半群代数の構造に示唆を与えるものである。