$m$-nil-clean nonderogatory matrices

技术摘要：m-Nil-Clean 非降阶矩阵

问题陈述
本文研究了正特征数 $p$ 的域 $F$ 上非降阶（循环）矩阵的分解问题。具体而言，它探讨了将一个 $n \times n$ 的非降阶矩阵 $A$ 表示为 $m$ 个幂等矩阵（$E_1, \dots, E_m$）和一个幂零矩阵 $N$ 之和的问题，即 $A = \sum_{i=1}^m E_i + N$。这种分解被称为“$m$-nil-clean”分解。本研究重点在于确定迹属于集合 $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$ 的矩阵是否存在此类分解，并至关重要地建立了该幂零矩阵 $N$ 的幂零指数（即寻找最小的 $k$ 使得 $N^k = 0$）的紧确上界。

研究方法
作者采用了一种以伴随矩阵为核心的结构化方法，利用了每个非降阶矩阵都相似于一个伴随矩阵这一事实。研究方法通过以下步骤进行：

1. 归约为伴随矩阵： 问题被归约为分析伴随矩阵 $C$。作者利用“拟合引理”（Fitting Lemma，引理 2.2），该引理指出任何迹为 $t$ 的伴随矩阵 $C$ 都相似于 $C' + D'$，其中 $C'$ 是一个迹为零的伴随矩阵，$D'$ 是一个迹为 $t$ 的对角矩阵。
2. 关于对角矩阵的分解： 作者引入了“关于对角矩阵 $D_0$ 的 $m$-nil-clean 分解”的概念。这涉及寻找幂等元和幂零元，使得 $C = \sum E_i + N - D_0$。
3. 划分与幂零构造： 为了控制幂零指数 $k$，作者定义了整数 $n-1$ 的“良性划分”（good partitions）和“平凡划分”（trivial partitions）。
   • 良性划分 $n-1 = d_1 + \dots + d_r$ 要求对于 $i \ge 2$，有 $d_i > 1$。
   • 平凡划分 为 $n-1 = d_1$。
   • 幂零矩阵 $N$ 基于这些划分，利用包含下三角若尔当块（$J_k$）和特定零行约束的分块结构进行构造。这种构造确保了在良性划分下，幂零矩阵 $N$ 的幂零指数被限制在 $\max(d_1+1, d_2, \dots, d_r)$，或者在平凡划分下为 $n-1$。
4. 迹匹配： 作者构造了特定的幂等矩阵（称为“分离矩阵”和对角幂等矩阵），以确保其迹之和能够覆盖必要的取值范围，从而匹配目标矩阵 $C$ 的迹。通过调整这些幂等元的对角线元素，作者证明了 $\sum E_i$ 的可能迹构成了一个模 $p$ 的连续整数区间。
5. 综合： 通过结合迹匹配能力与关于对角矩阵的结构化分解，并应用拟合引理，作者证明了不存在残余对角项的精确 $m$-nil-clean 分解的存在性。

主要贡献与结果
本文建立了以下主要定理（定理 3.3）：

设 $F$ 为特征数为 $p$ 的域，$m, n$ 为正整数且 $m \ge 2$ 且 $n \le p \le mn - 1$。对于每一个迹属于 $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$ 的 $n \times n$ 非降阶矩阵 $A \in M_n(F)$，存在 $m$ 个幂等矩阵 $E_1, \dots, E_m$ 和一个幂零矩阵 $N$，使得：
$$A = E_1 + E_2 + \dots + E_m + N$$
其中 $N^k = 0$。幂零指数 $k$ 的界限取决于 $n, m, p$ 的关系以及 $n$ 的奇偶性：

• 情况 1： 若 $p \in \{nm-1, nm-2\}$，则 $k = n$。
• 情况 2： 若 $p = nm-3$，则$k = n-1$。
• 情况 3： 否则，令 $r = \lfloor \frac{nm-p}{2} \rfloor$。
  • 若 $n$ 为偶数，则 $k = \max(2, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$。
  • 若 $n$ 为奇数，则 $k = \max(3, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$。

此外，本文还针对 $n > p$ 的情况提供了特定结果（注 3.4）。在这种情况下，设置 $m=2$，任何此类非降阶矩阵 $A$ 都是两个幂等矩阵与以下矩阵之和：

• 若 $n$ 为偶数，则为一个平方零矩阵（$N^2=0$）。
• 若 $n$ 为奇数，则为一个幂零指数至多为 3 的矩阵（$N^3=0$）。

意义与主张
本文将自身定位为现有关于 nil-clean 和 clean 分解文献的扩展。它引用了 Nicholson、Diesl 等人关于除环和有限域上 nil-clean 矩阵的先前工作。作者指出，虽然之前的研究确立了 nil-clean 分解的存在性（一个幂等元与一个幂零元之和）或幂零指数的界限（例如在 $F_2$ 上指数 $\le 4$），但这项工作将概念推广到了任意正特征数域上的非降阶矩阵的 $m$-nil-clean 分解。

其声称的意义在于精确确定了这些分解的幂零指数界限。作者证明，通过仔细选择 $n-1$ 的划分以及幂等元的结构，可以在与平凡界限 $n$ 相比的情况下，显著降低剩余矩阵 $N$ 的幂零指数。这些结果为在特定的迹和特征约束下的非降阶矩阵提供了完整的特征描述，提供了比以往针对此类设置下的通用矩阵更精确的界限。本文并未声称解决了所有矩阵的问题（仅限于非降阶矩阵），也未试图解决所有特征数（在 $n \le p \le mn-1$ 约束之外）的情况，而是保持了专注于伴随矩阵结构属性的适度研究范围。