$m$-nil-clean nonderogatory matrices

Résumé technique : Matrices non dégénérées $m$-nil-propres

Énoncé du problème
L'article étudie la décomposition des matrices non dégénérées (cycliques) sur un corps $F$ de caractéristique positive $p$. Plus précisément, il traite du problème consistant à exprimer une matrice non dégénérée $n \times n$ $A$ comme une somme de $m$ matrices idempotentes ($E_1, \dots, E_m$) et d'une matrice nilpotente $N$, telle que $A = \sum_{i=1}^m E_i + N$. Cette décomposition est appelée décomposition « $m$-nil-propre ». L'étude se concentre sur la détermination de l'existence de telles décompositions pour les matrices dont les traces appartiennent à l'ensemble $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$, et plus crucialement, sur l'établissement de bornes supérieures serrées sur l'indice de nilpotence de la matrice $N$ (c'est-à-dire trouver le plus petit $k$ tel que $N^k = 0$).

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche structurelle centrée sur les matrices compagnon, en s'appuyant sur le fait que toute matrice non dégénérée est semblable à une matrice compagnon. La méthodologie procède par les étapes suivantes :

1. Réduction aux matrices compagnon : Le problème est réduit à l'analyse des matrices compagnon $C$. Les auteurs utilisent le « lemme de Fitting » (Lemme 2.2), qui stipule que toute matrice compagnon $C$ de trace $t$ est semblable à $C' + D'$, où $C'$ est une matrice compagnon de trace nulle et $D'$ est une matrice diagonale de trace $t$.
2. Décomposition à une diagonale près : Les auteurs introduisent le concept de « décomposition $m$-nil-propre à une matrice diagonale $D_0$ près ». Cela implique de trouver des idempotentes et une nilpotente telles que $C = \sum E_i + N - D_0$.
3. Partitionnement et construction de la nilpotente : Pour contrôler l'indice de nilpotence de $N$, les auteurs définissent des « bonnes partitions » et des « partitions triviales » de l'entier $n-1$.
   • Une bonne partition de $n-1 = d_1 + \dots + d_r$ exige que $d_i > 1$ pour $i \ge 2$.
   • Une partition triviale est $n-1 = d_1$.
   • Les matrices nilpotentes $N$ sont construites sur la base de ces partitions en utilisant des structures en blocs impliquant des cellules de Jordan triangulaires inférieures ($J_k$) et des contraintes spécifiques de lignes nulles. Cette construction garantit que l'indice de nilpotence de $N$ est borné par $\max(d_1+1, d_2, \dots, d_r)$ pour les bonnes partitions, ou par $n-1$ pour les partitions triviales.
4. Correspondance de trace : Les auteurs construisent des matrices idempotentes spécifiques (appelées matrices de coupure (« severance matrices ») et idempotentes diagonales) pour s'assurer que la somme de leurs traces peut couvrir la plage de valeurs nécessaire pour correspondre à la trace de la matrice cible $C$. En ajustant les entrées diagonales de ces idempotentes, ils démontrent que l'ensemble des traces possibles pour $\sum E_i$ forme un intervalle d'entiers contigus modulo $p$.
5. Synthèse : En combinant la capacité de correspondance de trace avec la décomposition structurelle à une diagonale près, et en appliquant le lemme de Fitting, les auteurs prouvent l'existence de la décomposition exacte $m$-nil-propre sans le terme diagonal résiduel.

Contributions clés et résultats
L'article établit le théorème principal suivant (Théorème 3.3) :

Soit $F$ un corps de caractéristique positive $p$, et soient $m, n$ deux entiers positifs tels que $m \ge 2$ et $n \le p \le mn - 1$. Pour toute matrice non dégénérée $n \times n$ $A \in M_n(F)$ de trace appartenant à $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$, il existe $m$ matrices idempotentes $E_1, \dots, E_m$ et une matrice nilpotente $N$ telles que :
$$A = E_1 + E_2 + \dots + E_m + N$$
où $N^k = 0$. La borne $k$ sur l'indice de nilpotence dépend de la relation entre $n, m, p$ et de la parité de $n$ :

• Cas 1 : Si $p \in \{nm-1, nm-2\}$, alors $k = n$.
• Cas 2 : Si $p = nm-3$, alors $k = n-1$.
• Cas 3 : Sinon, soit $r = \lfloor \frac{nm-p}{2} \rfloor$.
  • Si $n$ est pair, $k = \max(2, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$.
  • Si $n$ est impair, $k = \max(3, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$.

De plus, l'article fournit un résultat spécifique pour le cas où $n > p$ (Remarque 3.4). Dans ce scénario, en fixant $m=2$, toute matrice non dégénérée de ce type est la somme de deux matrices idempotentes et :

• D'une matrice de carré nul ($N^2=0$) si $n$ est pair.
• D'une matrice d'indice de nilpotence au plus 3 ($N^3=0$) si $n$ est impair.

Signification et revendications
L'article se positionne comme une extension de la littérature existante sur les décompositions nil-propres et propres. Il cite des travaux antérieurs de Nicholson, Diesl et d'autres concernant les matrices nil-propres sur les corps de division et les corps finis. Les auteurs notent que si des résultats précédents ont établi l'existence de décompositions nil-propres (somme d'une idempotente et d'une nilpotente) ou des bornes sur les indices de nilpotence (par exemple, indice $\le 4$ sur $F_2$), ce travail généralise le concept aux décompositions $m$-nil-propres pour les matrices non dégénérées sur des corps de caractéristique positive arbitraire.

La signification revendiquée est la détermination précise de la borne de l'indice de nilpotence pour ces décompositions. Les auteurs démontrent qu'en sélectionnant soigneusement la partition de $n-1$ et la structure des idempotentes, on peut réduire considérablement l'indice de nilpotence de la matrice résiduelle $N$ par rapport à la borne triviale de $n$. Les résultats fournissent une caractérisation complète pour les matrices non dégénérées sous les contraintes de trace et de caractéristique spécifiées, offrant des bornes plus fines que celles disponibles précédemment pour les matrices générales dans ces contextes. L'article ne prétend pas résoudre le problème pour toutes les matrices (uniquement pour les non dégénérées) ou pour toutes les caractéristiques de corps sans la contrainte $n \le p \le mn-1$, maintenant un champ d'application modeste axé sur les propriétés structurelles des matrices compagnon.