$m$-nil-clean nonderogatory matrices

技術要約：m-Nil-Clean 非退化行列

問題提起
本論文は、正の標数 $p$ を持つ体 $F$ 上の非退化（巡回的）行列の分解を調査している。具体的には、$n \times n$ の非退化行列 $A$ を、$m$ 個の冪等行列 ($E_1, \dots, E_m$) と冪零行列 $N$ の和として、$A = \sum_{i=1}^m E_i + N$ と表す問題を取り上げる。この分解は「$m$-nil-clean」分解と呼ばれる。本研究は、トレースが集合 $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$ に属する行列について、そのような分解の存在を決定すること、そして極めて重要な点として、行列 $N$ の冪零指数（すなわち、$N^k = 0$ となる最小の $k$）に対するタイトな上界を確立することに焦点を当てている。

手法
著者らは、すべての非退化行列は随伴行列（companion matrix）と相似であるという事実を利用し、随伴行列を中心とした構造的なアプローチを採用している。手法は以下のステップで進行する：

1. 随伴行列への還元： 問題は、随伴行列 $C$ の解析へと還元される。著者らは「フィッティングの補題（Fitting Lemma）」（補題 2.2）を利用している。これは、トレース $t$ を持つ任意の随伴行列 $C$ は、$C'$（トレースが 0 の随伴行列）と $D'$（トレース $t$ を持つ対角行列）を用いて、$C' + D'$ と相似になるというものである。
2. 対角行列を除いた分解： 著者らは、「対角行列 $D_0$ までの $m$-nil-clean 分解」という概念を導入している。これには、冪等行列と冪零行列を見つけ、$C = \sum E_i + N - D_0$ となるようにすることが含まれる。
3. 分割と冪零行列の構成： $N$ の冪零指数を制御するために、著者らは整数 $n-1$ の「良質な分割（good partitions）」と「自明な分割（trivial partitions）」を定義している。
   • 良質な分割：$n-1 = d_1 + \dots + d_r$ において、$i \ge 2$ に対して $d_i > 1$ であることを要求する。
   • 自明な分割：$n-1 = d_1$ である。
   • 冪零行列 $N$ は、下三角ジョルダン細胞 ($J_k$) と特定のゼロ行制約を含むブロック構造を用いて、これらの分割に基づいて構成される。この構成により、良質な分割の場合、冪零指数 $N$ は $\max(d_1+1, d_2, \dots, d_r)$ によって抑えられ、自明な分割の場合は $n-1$ となることが保証される。
4. トレースの一致： 著者らは、ターゲットとなる行列 $C$ のトレースと一致するように、トレースの総和が必要な値の範囲をカバーできるような、特定の冪等行列（「セバランス行列（severance matrices）」および対角冪等行列と呼ばれる）を構成する。これらの冪等行列の対角成分を調整することで、$\sum E_i$ のトレースの集合が、整数 $\text{mod } p$ における連続した区間を形成することを証明している。
5. 統合： トレース一致能力と、対角行列までの構造的分解を組み合わせ、フィッティングの補題を適用することで、残差となる対角項のない、正確な $m$-nil-clean 分解の存在を証明する。

主要な貢献と結果
本論文は、以下の主定理（定理 3.3）を確立している：

$F$ を正の標数 $p$ を持つ体とし、$m, n$ を $m \ge 2$ かつ $n \le p \le mn - 1$ を満たす正の整数とする。トレースが $\{k \cdot 1_F \mid k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\}$ に属するすべての $n \times n$ 非退化行列 $A \in M_n(F)$ に対して、以下の条件を満たす $m$ 個の冪等行列 $E_1, \dots, E_m$ と冪零行列 $N$ が存在する：
$$A = E_1 + E_2 + \dots + E_m + N$$
ここで $N^k = 0$ である。冪零指数 $k$ の境界は、$n, m, p$ の関係および $n$ の偶奇に依存する：

• ケース 1： $p \in \{nm-1, nm-2\}$ の場合、$k = n$。
• ケース 2： $p = nm-3$の場合、$k = n-1$。
• ケース 3： それ以外の場合、$r = \lfloor \frac{nm-p}{2} \rfloor$ とする。
  • $n$ が偶数の場合、$k = \max(2, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$。
  • $n$ が奇数の場合、$k = \max(3, 1 + \lfloor \frac{n-1}{r} \rfloor)$。

さらに、本論文は $n > p$ の場合に関する具体的な結果（注釈 3.4）を提供している。このシナリオでは、$m=2$ と設定すると、そのような非退化行列 $A$ は、以下の 2 つの冪等行列と、

• $n$ が偶数の場合、平方零行列（$N^2=0$）
• $n$ が奇数の場合、冪零指数が最大 3 の行列（$N^3=0$）
  の和として表される。

意義と主張
本論文は、nil-clean および clean 分解に関する既存の文献の拡張として位置づけている。著者らは、除法環や有限体上の nil-clean 行列に関する Nicholson や Diesl らの先行研究を引用している。著者らは、従来の成果が nil-clean 分解（1 つの冪等行列と 1 つの冪零行列の和）の存在、あるいは（例えば $\mathbb{F}_2$ 上での指数 $\le 4$ などの）冪零指数の境界を確立してきた一方で、本研究は任意の正の標数を持つ体上の非退化行列に対する $m$-nil-clean 分解へと概念を一般化していることを述べている。

主張されている意義は、これらの分解における冪零指数の境界を精密に決定したことである。著者らは、分割の選択と冪等行列の構造を注意深く選ぶことで、自明な境界である $n$ と比較して、残余行列 $N$ の冪零指数を大幅に減少させることができることを示している。結果として、指定されたトレースおよび標数の制約下にある非退化行列に対して完全な特性付けを提供しており、これらの設定における一般的な行列に対して、これまで利用可能であったものよりも鋭い境界を提供している。本論文は、すべての行列（非退化行列のみを対象としている）や、制約 $n \le p \le mn-1$ なしのすべての体標数に対して問題を解決すると主張しているのではなく、随伴行列の構造的性質に焦点を当てた控えめな範囲を維持している。