New partial orders on Rickart *-rings

*技术摘要：Rickart -环上的新偏序关系

问题陈述
本文旨在研究 Rickart *-环背景下偏序结构的分析。虽然星序（$\ast \preceq$）及其单侧变体（左星 $\ell\ast \preceq$ 和右星 $r\ast \preceq$）在复矩阵、有界线性算子及 *-环的文献中已得到充分研究，但本研究识别出探索新二元关系的需求。这些新关系是通过将现有的星序与涉及元素平方（具体为 $a^2 = ab$，$a^2 = ba$，或 $a^2 = ab = ba$）的附加代数条件相结合而形成的。主要目标是定义这些新关系，建立其基本性质，并研究由这些关系诱导的下集（给定元素之下的元素）的格结构，特别是在正则 Rickart *-环和正则 Baer *-环中。

方法论
作者采用了植根于 Rickart *-环理论和广义逆理论的结构化方法。该方法通过以下步骤进行：

1. 定义与验证： 作者通过将标准星序（$\ast \preceq, \ell\ast \preceq, r\ast \preceq$）与条件 $(\ell\Box), (r\Box)$ 或 $(\Box)$ 相交，在 Rickart *-环 $A$ 上定义了九种新的二元关系。他们严格证明了这些关系满足偏序公理（自反性、反对称性和传递性）。
2. 同构表示： 一个核心方法论工具是构造序同构。作者将元素 $b$ 的下集（记作 $[0, b]_\alpha = \{a \in A : a \alpha \preceq b\}$）映射到特定的自伴幂等元集合 $E_\alpha^b \subseteq E(A)$。这些集合由幂等元上的条件定义（例如，$p \leq r_p(b)$ 以及涉及 $b$ 的交换性或特定乘积关系）。
3. 格分析： 利用正则 Rickart *-环中自伴幂等元集合 $E(A)$ 构成格这一已知事实，作者通过建立的同构关系将此格结构转移到下集中。
4. 特征化： 利用这些同构关系，作者推导出了在每种新序下，位于给定 $b$ 之下的元素 $a$ 的显式特征描述。他们还研究了这些下集中两两元素（以及在 Baer *-环中对于非空子集）的上确界和下确界的存在性及显式公式。

核心贡献

• 引入新的偏序关系： 本文正式引入并验证了 Rickart *-环上的九种新偏序关系，记作 $\alpha \preceq$，其中 $\alpha \in \{r\ast|\ell\Box, r\ast|r\Box, r\ast|\Box, \ell\ast|\ell\Box, \ell\ast|r\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\ell\Box, \ast|r\Box, \ast|\Box\}$。
• 扩展已知序关系： 作者证明了这些新序关系推广了现有概念。具体而言：
  • 当 $\ell\ast|r\Box \preceq$ 限制在核可逆元素（core-invertible elements）上时，与核偏序（core partial order）一致。
  • 当 $r\ast|\ell\Box \preceq$ 限制在对偶核可逆元素（dual core-invertible elements）上时，与对偶核偏序（dual core partial order）一致。
  • 当 $\ell\ast|\Box \preceq, r\ast|\Box \preceq$ 以及 $\ast|\Box \preceq$ 限制在群可逆元素（group-invertible elements）上时，分别与锐序（sharp partial order）及单侧锐序相关。
• 序同构： 本文确立了对于任何 $b \in A$，下集 $[0, b]_\alpha$ 都与特定的自伴幂等元子集 $E_\alpha^b$ 是序同构的。这使得研究任意环元素的序结构转化为研究幂等元的研究。
• 正则环中的格结构： 作者证明，如果 $A$ 是一个正则 Rickart *-环，则对于每种新序 $\alpha$，下集 $[0, b]_\alpha$ 都是一个格。此外，他们提供了两个元素 $a_1, a_2 \in [0, b]_\alpha$ 的上确界和下确界的显式公式，这些公式是通过关联幂等元的 Moore-Penrose 逆和格运算计算得出的（例如，$a_1 \vee a_2 = b(r_p(a_1) \vee r_p(a_2))$）。
• *推广至 Baer -环： 关于非空子集的上确界和下确界的存在性结果被推广到了正则 Baer *-环，前提是该子集有上界。

结果

• 元素特征化： 对于每种新序，论文都提供了 $a \alpha \preceq b$ 的充分必要条件。例如，$a r\ast|\ell\Box \preceq b$ 当且仅当存在唯一的自伴幂等元 $p$，使得 $a = bp$，$p \leq r_p(b)$且$p b_r p = p b_r$（其中$b_r = r_p(b)b$）。
• 格性质： 论文证明，在正则 Rickart *-环中，下集 $[0, b]_\alpha$ 不仅是一个格，而且是更大偏序集 $[0, b]_\beta$（其中 $\beta$ 是较弱的序，如标准星序）的一个子格。
• 显式公式： 被 $b$ 限制的元素 $a_1, a_2$ 的上确界和下确界通过底层幂等元的格运算进行显式计算。对于右侧序，公式涉及 $r_p(a_i)$；对于左侧序，则涉及 $l_p(a_i)$。
• 区间同构： 对于特定序（$\alpha \in \{r\ast|\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\Box\}$），区间 $[a, b]_\alpha$ 被证明同构于下集 $[0, b-a]_\alpha$。

意义
本文声称其意义在于提供了一个统一的框架，将几种著名的偏序关系（核序、对偶核序、锐序）从特定可逆元素的子集扩展到了整个 Rickart *-环的元素集。通过建立这些下集与自伴幂等元子集之间的序同构，作者简化了对这些复杂代数结构的分析。证明这些下集在正则环中构成格，为这些环中的序性质提供了稳健的结构理解，从而促进了进一步的代数研究。将这些结果扩展到正则 Baer *-环中对于任意有界子集的情况，进一步扩大了研究发现的适用范围。