New partial orders on Rickart *-rings

*技術的要約：Rickart -環における新しい部分順序

問題提起
本論文は、Rickart *-環の文脈における部分順序の構造的分析を扱う。スター部分順序（$\ast \preceq$）およびその片側バリアントである左スター順序（$\ell\ast \preceq$）と右スター順序（$r\ast \preceq$）は、複素行列、有界線形作用素、および *-環において確立されているが、本研究では、既存のスター順序に要素の平方に関する追加的な代数的条件（具体的には $a^2 = ab$、$a^2 = ba$、または $a^2 = ab = ba$）を組み合わせることにより、新しい二項関係を探索する必要性を特定している。これらの新しい関係の主な目的は、これらの新しい順序を定義し、その基本的な性質を確立し、特に正則なRickart *-環および正則なBaer *-環において、これらの関係によって誘導されるダウンセット（与えられた要素の下にある要素の集合）の格子構造を調査することである。

方法論
著者らは、Rickart *-環および一般化逆行列の理論に根ざした構造的アプローチを採用している。手法は以下のステップで進行する：

1. 定義と検証： 著者らは、Rickart *-環 $A$ 上の9つの新しい二項関係を、標準的なスター順序（$\ast \preceq, \ell\ast \preceq, r\ast \preceq$）と条件 $(\ell\Box), (r\Box), (\Box)$ との交わりによって定義する。そして、これらの関係が部分順序の公理（反射律、反対称律、推移律）を満たすことを厳密に証明する。
2. 同型表現： 中心的な手法ツールは、順序同型写像の構成である。著者らは、要素 $b$ のダウンセット $[0, b]_\alpha = \{a \in A : a \alpha \preceq b\}$ を、自己共役冪等体の特定の部分集合 $E_\alpha^b \subseteq E(A)$ へと写像する。これらの部分集合は、冪等体に関する条件（例：$p \leq r_p(b)$ および $b$ に関する可換性または特定の積関係）によって定義される。
3. 格子解析： 正則なRickart *-環において自己共役冪等体の集合 $E(A)$ が格子を形成するという既知の事実を利用して、著者らは確立された同型写像を介してこの格子構造をダウンセットへと転送する。
4. 特徴付け： これらの同型写像を用いて、ある $b$ の下にある要素 $a$ の明示的な特徴付けを導出する。また、これらのダウンセット内におけるペア（およびBaer *-環における空でない部分集合）の上限および下限の存在と、その明示的な公式を分析する。

主要な貢献

• 新しい部分順序の導入： 本論文は、$\alpha \in \{r\ast|\ell\Box, r\ast|r\Box, r\ast|\Box, \ell\ast|\ell\Box, \ell\ast|r\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\ell\Box, \ast|r\Box, \ast|\Box\}$ である新しい9つの部分順序を形式的に導入し、検証する。
• 既知の順序の拡張： 著者らは、これらの新しい順序が既存の概念を一般化することを示す。具体的には：
  • コア可逆要素に制限された $\ell\ast|r\Box \preceq$ は、コア部分順序と一致する。
  • デュアルコア可逆要素に制限された $r\ast|\ell\Box \preceq$ は、デュアルコア部分順序と一致する。
  • グループ可逆要素に制限された $\ell\ast|\Box \preceq, r\ast|\Box \preceq,$ および $\ast|\Box \preceq$ は、シャープ部分順序および片側シャープ順序に関連する。
• 順序同型： 本論文は、任意の $b \in A$ に対して、ダウンセット $[0, b]_\alpha$ が自己共役冪等体の特定の部分集合 $E_\alpha^b$ と順序同型であることを確立する。これにより、任意の環の要素の順序構造の研究を、より扱いやすい冪等体の研究へと還元する。
• 正則環における格子構造： $A$ が正則なRickart *-環であれば、すべての新しい順序 $\alpha$ についてダウンセット $[0, b]_\alpha$ は格子であることを証明する。さらに、これらに関連する冪等体の格子演算（例：$a_1 \vee a_2 = b(r_p(a_1) \vee r_p(a_2))$）を用いた、2つの要素 $a_1, a_2 \in [0, b]_\alpha$ の上限および下限の存在と明示的な公式を提供する。
• *Baer -環への一般化： 上限に抑えられている場合には、空でない部分集合に対する上限および下限の存在に関する結果を、正則なBaer *-環へと拡張する。

結果

• 要素の特徴付け： 各新しい順序について、論文は $a \alpha \preceq b$ であるための必要十分条件を提供している。例えば、$a r\ast|\ell\Box \preceq b$ であることは、 $a = bp$かつ$p \leq r_p(b)$かつ$p b_r p = p b_r$（ここで$b_r = r_p(b)b$）を満たす一意の自己共役冪等体$p$ が存在することと同値である。
• 格子特性： 正則なRickart *-環において、ダウンセット $[0, b]_\alpha$ は格子であるだけでなく、より弱い順序（例えば標準的なスター順序）であるより大きなポセット $[0, b]_\beta$ の劣格子であることを証明する。
• 明示的な公式： $b$ によって抑えられた $a_1, a_2$ の上限および下限は、基礎となる冪等体の格子演算を用いて明示的に計算される。右側の順序については、公式は $r_p(a_i)$ を含み、左側の順序については $l_p(a_i)$ を含む。
• 区間の同型性： 特定の順序（$\alpha \in \{r\ast|\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\Box\}$）において、区間 $[a, b]_\alpha$ はダウンセット $[0, b-a]_\alpha$ と同型であることが示される。

意義
本論文は、特定の可逆要素の集合からRickart *-環の全要素へと、いくつかのよく知られた部分順序（コア、デュアルコア、シャープ）を拡張する統一的な枠組みを提供することによって、その意義を主張している。これらのダウンセットと自己共役冪等体の部分集合との間の順序同型を確立することにより、著者らはこれらの複雑な代数的構造の分析を簡素化している。これらのダウンセットが正則環において格子を形成することの提示は、これらの環における順序特性の強固な構造的理解を提供し、さらなる代数的調査を促進する。これらの結果を、有界な任意の部分集合に対して正則なBaer *-環へと拡張することは、より一般的な環論的文脈への適用範囲を広げるものである。