New partial orders on Rickart *-rings

*Resumo Técnico: Novas Ordens Parciais em Anéis -Rickart

Enunciado do Problema
O artigo aborda a análise estrutural de ordens parciais no contexto de anéis *-Rickart. Embora a ordem estelar ($\ast \preceq$) e suas variantes unilaterais (estelar à esquerda $\ell\ast \preceq$ e estelar à direita $r\ast \preceq$) sejam bem estabelecidas na literatura para matrizes complexas, operadores lineares limitados e anéis *-star, este trabalho identifica a necessidade de explorar novas relações binárias. Estas novas relações são formadas pela combinação de ordens estelares existentes com condições algébricas adicionais envolvendo quadrados de elementos (especificamente $a^2 = ab$, $a^2 = ba$ ou $a^2 = ab = ba$). O objetivo principal é definir estas novas ordens, estabelecer suas propriedades fundamentais e investigar a estrutura de reticulado dos conjuntos descendentes (elementos abaixo de um determinado elemento) induzidos por estas relações, particularmente em anéis *-Rickart regulares e anéis *-Baer regulares.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem estrutural fundamentada na teoria de anéis *-Rickart e inversas generalizadas. A metodologia procede através dos seguintes passos:

1. Definição e Verificação: Os autores definem nove novas relações binárias em um anel *-Rickart $A$ ao interceptar as ordens estelares padrão ($\ast \preceq, \ell\ast \preceq, r\ast \preceq$) com as condições $(\ell\Box)$, $(r\Box)$ ou $(\Box)$. Eles provam rigorosamente que estas relações satisfazem os axiomas de ordens parciais (reflexividade, antissimetria e transitividade).
2. Representação Isomórfica: Uma ferramenta metodológica central é a construção de isomorfismos de ordem. Os autores mapeiam o conjunto descendente de um elemento $b$, denotado por $[0, b]_\alpha = \{a \in A : a \alpha \preceq b\}$, para subconjuntos específicos de idempotentes autoadjuntos $E_\alpha^b \subseteq E(A)$. Estes subconjuntos são definidos por condições sobre os idempotentes (por exemplo, $p \leq r_p(b)$ e comutatividade ou relações de produto específicas envolvendo $b$).
3. Análise de Reticulado: Aproveitando o fato conhecido de que o conjunto de idempotentes autoadjuntos $E(A)$ em um anel *-Rickart regular forma um reticulado, os autores transferem esta estrutura de reticulado para os conjuntos descendentes via os isomorfismos estabelecidos.
4. Caracterização: Utilizando estes isomorfos, os autores derivam caracterizações explícitas de elementos $a$ que estão abaixo de um dado $b$ sob cada nova ordem. Eles também analisam a existência e as fórmulas explícitas para supremos e ínfimos de pares (e subconjuntos não vazios em anéis *-Baer) dentro destes conjuntos descendentes.

Principais Contribuições

• Introdução de Novas Ordens Parciais: O artigo introduz formalmente e valida nove novas ordens parciais em anéis *-Rickart, denotadas como $\alpha \preceq$ onde $\alpha \in \{r\ast|\ell\Box, r\ast|r\Box, r\ast|\Box, \ell\ast|\ell\Box, \ell\ast|r\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\ell\Box, \ast|r\Box, \ast|\Box\}$.
• Extensão de Ordens Conhecidas: Os autores demonstram que estas novas ordens generalizam conceitos existentes. Especificamente:
  • A ordem $\ell\ast|r\Box \preceq$ restrita a elementos core-invertíveis coincide com a ordem core.
  • A ordem $r\ast|\ell\Box \preceq$ restrita a elementos dual core-invertíveis coincide com a ordem dual core.
  • As ordens $\ell\ast|\Box \preceq$, $r\ast|\Box \preceq$ e $\ast|\Box \preceq$ relacionam-se com a ordem sharp e as ordens sharp unilaterais quando restritas a elementos group-invertíveis.
• Isomorfismos de Ordem: O artigo estabelece que, para qualquer $b \in A$, o conjunto descendente $[0, b]_\alpha$ é ordenadamente isomorfo a um subconjunto específico de idempotentes autoadjuntos $E_\alpha^b$. Isto reduz o estudo da estrutura de ordem de elementos arbitrários do anel para o estudo de idempotentes, que são mais tratáveis.
• Estrutura de Reticulado em Anéis Regulares: Os autores provam que, se $A$ é um anel *-Rickart regular, então o conjunto descendente $[0, b]_\alpha$ é um reticulado para cada nova ordem $\alpha$. Além disso, eles fornecem fórmulas explícitas para o supremo e o ínfimo de quaisquer dois elementos $a_1, a_2 \in [0, b]_\alpha$ em termos das inversas de Moore-Penrose e das operações de reticulado dos idempotentes associados (por exemplo, $a_1 \vee a_2 = b(r_p(a_1) \vee r_p(a_2))$).
• *Generalização para Anéis -Baer: Os resultados relativos à existência de supremos e ínfimos são estendidos para anéis *-Baer regulares para subconjuntos não vazios de elementos, desde que o subconjunto seja limitado superiormente.

Resultados

• Caracterização de Elementos: Para cada nova ordem, o artigo fornece condições necessárias e suficientes para $a \alpha \preceq b$. Por exemplo, $a r\ast|\ell\Box \preceq b$ se, e somente se, existe um único idempotente autoadjunto $p$ tal que $a = bp$, $p \leq r_p(b)$ e $p b_r p = p b_r$ (onde $b_r = r_p(b)b$).
• Propriedades de Reticulado: É provado que, em um anel *-Rickart regular, o conjunto descendente $[0, b]_\alpha$ não é apenas um reticulado, mas um subreticulado do maior poset $[0, b]_\beta$ (onde $\beta$ é uma ordem mais fraca, como a ordem estelar padrão).
• Fórmulas Explícitas: O supremo e o ínfimo de elementos $a_1, a_2$ limitados por $b$ são calculados explicitamente usando as operações de reticulado dos idempotentes subjacentes. Para ordens de lado direito, as fórmulas envolvem $r_p(a_i)$; para ordens de lado esquerdo, envolvem $l_p(a_i)$.
• Isomorfismo de Intervalos: Para ordens específicas ($\alpha \in \{r\ast|\Box, \ell\ast|\Box, \ast|\Box\}$), o intervalo $[a, b]_\alpha$ mostra-se isomorfo ao conjunto descendente $[0, b-a]_\alpha$.

Significância
O artigo reivindica significância ao fornecer um quadro unificado que estende vários processos de ordens parciais bem conhecidos (core, dual core, sharp) de subconjuntos específicos de elementos invertíveis para todo o conjunto de elementos em um anel *-Rickart. Ao estabelecer isomorfismos de ordem entre estes conjuntos descendentes e subconjuntos de idempotentes autoadjuntos, os autores simplificam a análise destas estruturas algébicas complexas. A demonstração de que estes conjuntos descendentes formam reticulados em anéis regulares oferece uma compreensão estrutural robusta das propriedades de ordenação nestes anéis, facilitando investigações algébicas adicionais. A extensão destes resultados para anéis *-Baer regulares para subconjuntos limitados arbitrários amplia ainda mais a aplicabilidade das descobertas para contextos de teoria de anéis mais gerais.