Strategies for quantum-enabled Bitcoin miners

技术摘要：量子增强型比特币矿工策略

问题陈述
比特币网络的安全性依赖于这样一个假设：执行“51%攻击”——即一个财团控制了网络的大部分计算能力以实现双重支付或撤销交易——其成本是极高的。虽然先前的研究在理论上表明，Grover算法可以通过为解决工作量证明（Poof-of-Work, PoW）问题提供二次加速，从而降低此类攻击的成本，但这些研究往往依赖于狭隘的对抗模型。具体而言，之前的模型将量子矿工限制在每次挖矿竞赛中仅进行一次量子测量，并采用“和平”策略（在收到新区块广播时放弃搜索）。本文通过研究两个非共谋、具有攻击性的量子矿工在更符合现实的对抗模型下对 51% 攻击阈值的影响，填补了这一空白。核心问题是确定两个竞争矿工的最优量子挖矿策略，这些矿工可以进行多次量子测量并利用 Sattath 的攻击性量子挖矿策略（AQMS），并量化由此产生的对网络陈旧率（$p_{stale}$）和有效 51% 攻击阈值的影响。

方法论
作者扩展了对称双玩家量子竞赛（Symmetric Two-Player Quantum Races, S2QR）博弈论框架，以模拟在其他部分为经典比特币网络中的两个量子矿工（Alice 和 Bob）之间的竞争。

1. 模型扩展：

   • 多次测量： 不同于假设单次测量的先前模型，本模型允许矿工在连续区块之间进行 $c$ 次量子测量。
   • 攻击性策略： 模型纳入了 Sattath 的 AQMS，即矿工在收到新区块广播后立即停止搜索并进行测量，而不是放弃其计算努力。该策略增加了测量时间与区块发现之间的相关性，可能增加陈旧率。
   • 资源约束： 矿工在 $c$ 次测量中分配累积的 Grover 迭代预算 $\kappa$。其策略空间涉及分配这些迭代次数，以最大化成为第一个找到有效区块的概率。

2. 博弈论公式化：

   • 竞争被建模为一个策略博弈，其中 Alice 和 Bob 选择纯策略（即每次测量的 Grover 迭代向量）。
   • 收益矩阵： 作者推导了两个玩家收益矩阵（$A$ 和 $B$）的闭式表达式。这些矩阵考虑了以下因素：
     • 基于 Grover 迭代次数的有限预算量子搜索（FQS）算法的成功概率。
     • 收益的加法结构（跨多次测量）。
     • 由 AQMS 引入的项，当矿工在对手已经找到解之后进行测量（或测量同时发生）时，这些项会修改收益。
   • 均衡计算： 最优策略被识别为纳什均衡。由于策略空间随 $c$ 的增加而出现组合爆炸，作者采用启发式方法对纯策略空间进行采样，并使用 Lemke-Howson 算法计算精确的纳什均衡。

3. 模拟：

   • 为了评估安全影响，作者使用计算出的纳什均衡进行了蒙特卡洛模拟（1,000,000 天）。
   • 模拟追踪了陈旧率（$p_{stale}$），定义为不在最长链上的区块数与总区块数的比例。
   • 研究评估了 $p_{stale}$ 是否超过临界阈值 $1/3$，若超过该值，则会将有效的 51% 攻击阈值降低至 40% 或以下。
   • 模拟在三种网络难度区间下进行：低难度（$D \le 2^{32}$）、高难度（$D > 2^{32}$，反映当前及预测的难度）以及理想情况（量子预言机编码整个区块头）。

核心贡献

• 引入新型策略： 本文将“攻击性量子挖矿策略”（AQMS）引入博弈论框架，分析其与多次量子测量共同产生的影响。
• 广义收益矩阵： 作者推导了用于 $c$ 次量子测量的收益矩阵数学结构，扩展了 S2QR 模型，以处理多次尝试的累积性质以及 AQMS 引起的特定时间相关性。
• 最优策略计算： 研究计算了在不同难度区间下，$c \in \{1, 2, 3, 4\}$ 的最优量子挖矿策略（纳什均衡），揭示了矿工应如何分配其 Grover 迭代预算。
• 安全性量化： 本文通过模拟结果对 51% 攻击阈值进行了定量评估，超越了单纯的理论可能性。

结果

• 最优策略：
  • 在高难度区间（当前及预测难度）下，双方矿工的最优策略是将所有资源分配给最后一次测量。预期收益极低（$\approx 8.9 \times 10^{-5}$），矿工在统计上与经典矿工无异。
  • 在低难度和理想区间下，矿工将资源分布在多次测量中。对于 $c=2$，资源被拆分以平衡成功概率与时间优势。对于 $c \ge 3$，矿工通常将资源集中在较少的测量中，或者在某些尝试中执行零次迭代，以最大化其他尝试的二次成功概率。
• 陈旧率与 51% 攻击阈值：
  • 高难度： 对陈旧率的影响微乎其微。$p_{stale}$ 的第 95 和第 99 百分位数实际上为零。发生 $p_{stale}$ 超过 $1/3$ 阈值的概率为零。网络产生预期的每天 144 个区块，且量子矿工的存在是无法检测到的。
  • 低难度/理想： 这些区间显示出显著增加的 $p_{stale}$，部分模拟天数接近 $1/3$ 的基准。然而，$p_{stale} > 1/3$ 的经验概率极小（$10^{-6}$ 至 $10^{-8}$）。
  • 检测： 在低难度和理想区间中，由于异常的分叉率，量子矿工的存在在统计上是确定可检测的（$P_{det} = 1$）；而在高难度区间，检测度可以忽略不计。

意义与主张
本文得出结论：在可预见的未来，两个非共谋量子矿工在向比特币网络发起竞赛所构成的威胁是微不足道的。

• 安全性保持： 即使在最激进的假设下（多次测量、AQMS 以及最优策略），产生的陈旧率也不会持续超过使 51% 攻击变得可行的阈值。比特币网络针对这种特定的对抗模型仍然是安全的。
• 现实性： 作者强调，出现 $p_{stale}$ 显著增加的区间（低难度和理想）在实践中不太可能发生。低难度区间需要一个自比特币诞生以来从未见过的网络难度，而理想区间则需要一个能够编码整个 640 位区块头的量子预言机，这在目前的技术水平下是不可行的。
• 检测： 在陈旧率确实增加的情况下，网络会在统计上立即检测到量子矿工，从而允许采取潜在的应对措施。
• 研究范围适度： 作者指出，由于他们的模型忽略了状态准备和预言机构建相关的开销，因此该模型代表了量子矿工的“最佳情况场景”。因此，实际对陈旧率的影响可能比预测的还要低。这项工作为研究更多数量的矿工或共谋策略奠定了基础，但断言对于两个矿工而言，51% 攻击阈值依然稳固。