The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms

技术摘要：最小二次剩余与二次型表示的整数

问题陈述
本文研究了 $\ell(n)$，定义为模 $n$ 的最小非平凡简化二次剩余。具体而言，$\ell(n)$ 是满足 $\gcd(r, n) = 1$ 且存在整数 $x$ 使得 $r \equiv x^2 \pmod n$ 的最小无平方因子整数 $r > 1$。作者试图建立 $\ell(n)$ 关于 $n$ 的量级及其素因子个数 $\omega(n)$ 的界限。次要目标是将这些结果应用于确定具有有界判别式的二元二次型族表示所有正整数直到大界限 $N$ 的速率。

方法论
作者结合了组合论论证、解析数论以及有限域上的代数结构。

1. 组合与鸽巢原理： $\ell(n)$ 的上界是通过鸽巢原理导出的。通过考虑算术级数中的素数及其勒让德符号值，作者证明了存在两个素数的乘积，该乘积满足必要的二次剩余条件。
2. 代数构造（下界）： 为了构造具有异常大 $\ell(n)$ 的模数 $n$，作者利用了素数与 $\mathbb{F}_2$ 域上不可约多项式之间的对应关系。他们基于这些多项式在 $\mathbb{F}_2$ 代数闭包中的根，定义了完全乘性函数 $f_j: \mathbb{N} \to \{-1, 1\}$。一个涉及 $\mathbb{F}_2$ 中不同元素幂和的关键引理（与牛顿恒等式相关）被用于证明：如果一个无平方因子整数 $r$ 满足对于所有 $j$ 都有 $f_j(r) = 1$，那么 $r$ 必须很大。
3. 解析数论与零密度估计： 构造 $n$ 依赖于寻找一组素数，使得对于给定的范围内的每一个基本判别式 $D$，集合中至少有一个素数是模 $D$ 的二次非剩余。
   • 在 GRH 条件下： 利用广义黎曼假设（GRH）来限制素数上的特征和，确保存在这样一个规模约为 $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$ 的素数集合。
   • 无条件情况： 在不假设 GRH 的情况下，作者利用狄利克雷 $L$-函数的零密度估计。他们根据零的位置（无零区域）对判别式集进行划分，并应用涉及特定权重函数 $w(t)$ 的加权求和论证，以确立所需素数的存在性。
4. 在二次型中的应用： 研究结果被应用于二元二次型 $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ 表示整数的问题。作者利用这样一个事实：一个整数 $n$ 能被判别式为 $D$ 的型表示，当且仅当 $D$ 模 $4n$ 是平方剩余（对于适定表示）。

主要贡献与结果

• 关于 $\ell(n)$ 与素因子个数关系的界限：

  • 上界： 若 $k$ 是 $n$ 的奇素因子个数，则 $\ell(n) \le C k 2^{4k}$，其中 $C$ 为绝对常数。
  • 下界： 对于每个 $k \ge 2$，存在无穷多个恰有 $k$ 个不同素因子的奇整数 $n$，使得 $\ell(n) \ge 4^{k - C k / \log k}$。考虑到二次剩余的密度为 $\asymp 2^{-k}$，这一结果令人惊讶，因为人们可能预期 $\ell(n)$ 会更接近 $2^k$。

• 关于 $\ell(n)$ 与量级 $n$ 关系的界限：

  • 作者构造了一个奇无平方因子整数 $n \le N(\Delta)$，使得对于每一个满足 $1 < |D| \le \Delta$ 的基本判别式 $D$，在 $n$ 的素因子中存在一个素数 $p$ 满足 $\left(\frac{D}{p}\right) = -1$。
  • 无条件： $N(\Delta)$ 可以选取为 $\exp(C \log \Delta (\log \log \Delta)^2)$。
  • 在 GRH 条件下： 对于任何 $C > 2/\log 2$，$N(\Delta)$ 可以选取为 $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$。
  • 因此，在无条件情况下，$\ell(n)$ 可以高达 $\exp\left(c \frac{\log n}{(\log \log n)^2}\right)$；在 GRH 下，可以达到 $\exp\left(\left(\frac{\log 2}{2} + o(1)\right) \frac{\log n}{\log \log n}\right)$。

• 二元二次型的表示：

  • 不定型： 每一个正整数至多 $N$ 都可以由某个判别式 $1 < D_f \le \Delta$ 的本原、非退化不定二元二次型表示，其中 $\Delta = \exp\left((\log 4 + o(1)) \frac{\log N}{\log \log N}\right)$。
  • 正定型（有条件）： 假设 GRH，每一个正整数至多 $N$ 都可以由某个判别式 $|D_f| \le \Delta$ 的本原、正定二元二次型表示（其 $\Delta$ 与上述相同）。
  • 局限性： 存在一个正整数 $n \le N$，它不能被任何判别式 $|D_f| \le \Delta$ 的本原非退化二元二次型表示，若 $\Delta = \exp(c \log N / (\log \log N)^2)$。在 GRH 下，该阈值提升至 $\exp((\frac{\log 2}{2} - \epsilon) \frac{\log N}{\log \log N})$。

意义与主张

本文声称建立了关于最小二次剩余的“近乎最优的界限”，既针对模数的大小，也针对其素因子的个数。构造具有大 $\ell(n)$ 的模数的动机源于纠错码的思想，并代表了相对于概率预期的显著进展，表明 $\ell(n)$ 可以显著大于二次剩余密度的倒数。

作者将此工作定位为经典问题的一个变体，即寻找最小的素数 $p$ 使得 $\chi(p) = -1$（其中 $\chi$ 为本原二次特征）。虽然经典问题在 GRH 下已有成熟研究，但本文将范围扩展到了复合模数，并提供了仅略弱于条件性结果的无条件结果。

此外，本文针对使用有界判别式的二次型覆盖所有整数至 $N$ 的问题提供了精确的定量进展。虽然之前的研究（Green 和 Soundararajan）讨论了覆盖“几乎所有”整数的情况，但本文处理的是更困难的覆盖“所有”整数的问题，并为保证表示所需的判别式确立了明确的阈值。

最后，作者指出这与 Hanson、Vaughan 和 Zhang 关于使所有长度为 $k$ 的符号序列作为勒让德符号向量出现所需的最小 $N$ 的工作有关，暗示了所采用的组合方法的更广泛背景。