The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms

技術要約：最小の二次剰余および二次形式によって表される整数

問題提起
本論文は、$\ell(n)$ と定義される、最小の非自明な簡約二次剰余について調査する。具体的には、$\ell(n)$ は、$\gcd(r, n) = 1$ かつ、ある整数 $x$ に対して $r \equiv x^2 \pmod n$ を満たす最小の平方フリーな整数 $r > 1$ である。著者らは、$\ell(n)$ の上界を、$n$ の大きさおよびその素因数の数 $\omega(n)$ の両方の観点から確立することを目指している。第二の目的は、これらの結果を適用して、有界な判別式を持つ二元二次形式の族が、大きな境界 $N$ までのすべての正の整数を表す速度を決定することである。

手法
著者らは、組合せ論的議論、解析的数論、および有限体上の代数的構造の組み合わせを用いている。

1. 組合せ論および鳩の巣原理： $\ell(n)$ の上界は、鳩の巣原理を用いて導出される。算術級数における素数とルジャンドル記号の値に着目することで、著者らは、必要な二次剰余条件を満たす2つの素数の積が存在することを証明している。
2. 代数的構成（下界）： 予想外に大きな $\ell(n)$ を持つ法 $n$ を構成するために、著者らは、素数と $\mathbb{F}_2$ 上の既約多項式の間の対応関係を利用している。彼らは、$\mathbb{F}_2$ の代数閉包におけるこれらの多項式の根に基づき、完全乗法的関数 $f_j: \mathbb{N} \to \{-1, 1\}$ を定義する。$\mathbb{F}_2$ における相異なる要素の冪和に関する主要な補題（ニュートンの恒等式に関連）を用いて、もし平方フリーな整数 $r$ がすべての $j$ に対して $f_j(r) = 1$ を満たすならば、$r$ は大きくなければならないことを証明している。
3. 解析的数論および零密度推定： $n$ の構成は、与えられた範囲内のすべての基本判別数 $D$ に対して、その集合内の少なくとも一つの素数が $D$ を法として二次非剰余となるような素数の集合を見つけることに依存している。
   • GRH（一般化リーマン仮説）を仮定した場合： 特性和の素数に関する和を抑えるためにGRHが使用され、それによって、サイズがおよそ $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$ であるそのような素数の集合の存在が保証される。
   • 無条件の場合： GRHを仮定しない場合、著者らはディリクレ $L$ 関数の零密度推定を利用する。彼らは、零の存在する領域（零なし領域）に基づいて判別数の集合を分割し、特定の重み関数 $w(t)$ を用いた重み付き和の議論を適用して、必要な素数の存在を確立する。
4. 二次形式への適用： これらの結果は、二元二次形式 $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ による整数の表現に適用される。整数 $n$ が判別数 $D$ を持つ形式によって表されるための必要十分条件は（適当な表現において）、$D$ が $4n$ を法として平方数であることであるという事実を著者らは利用している。

主要な貢献および結果

• 素因数の数に関する $\ell(n)$ の境界：

  • 上界： $k$ を $n$ の奇素因数の数とすると、$\ell(n) \le C k 2^{4k}$ である（ここで $C$ は絶対定数）。
  • 下界： 各 $k \ge 2$ に対して、ちょうど $k$ 個の異なる素因数を持つ奇数 $n$ で、$\ell(n) \ge 4^{k - C k / \log k}$ を満たすものが無限に存在する。二次剰余の密度が $\asymp 2^{-k}$ であることから、$\ell(n)$ は $2^k$ に近いことが予想されるが、この結果は驚くべきものである。

• 大きさ $n$ に関する $\ell(n)$ の境界：

  • 著者らは、すべての基本判別数 $D$（ただし $1 < |D| \le \Delta$）に対して、ある素因数 $p$ が $n$ の素因数であり、かつ $\left(\frac{D}{p}\right) = -1$ となるような奇数平方フリー整数 $n \le N(\Delta)$ を構成する。
  • 無条件： $N(\Delta)$ は $\exp(C \log \Delta (\log \log \Delta)^2)$ として選ぶことができる。
  • GRHを仮定した場合： $N(\Delta)$ は、任意の $C > 2/\log 2$ に対して $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$ として選ぶことができる。
  • したがって、$\ell(n)$ は無条件では $\exp\left(c \frac{\log n}{(\log \log n)^2}\right)$、GRHの下では $\exp\left(\left(\frac{\log 2}{2} + o(1)\right) \frac{\log n}{\log \log n}\right)$ まで大きくなり得る。

• 二元二次形式による表現：

  • 不定形式： すべての正の整数 $N$ までの数は、判別数 $1 < D_f \le \Delta$ を持つ、ある原始的で非退化な不定二元二次形式によって表される。ここで $\Delta = \exp\left((\log 4 + o(1)) \frac{\log N}{\log \log N}\right)$ である。
  • 正定形式（条件付き）： GRHを仮定すると、すべての正の整数 $N$ までの数は、判別数 $|D_f| \le \Delta$ を持つ、ある原始的な正定二元二次形式によって表される（$\Delta$ は上記と同じ）。
  • 限界： もし $\Delta = \exp(c \log N / (\log \log N)^2)$ であるならば、$N$ 以下の正の整数であって、いかなる原始的で非退化な二元二次形式（$|D_f| \le \Delta$）によっても表されないものが存在する。GRHの下では、この閾値は $\exp((\frac{\log 2}{2} - \epsilon) \frac{\log N}{\log \log N})$ に改善される。

意義および主張
本論文は、モジュラスのサイズおよびその素因数の数の両方の観点から、最小の二次剰余に関する「ほぼ最適に近い境界」を確立したと主張している。大きな $\ell(n)$ を持つ法数の構成は、誤り訂正符号のアイデアから動機付けられており、確率的な期待を大きく上回り、$\ell(n)$ が二次剰余の密度よりも大幅に大きくなり得ることを示している。これは、確率的な期待を大きく上回る進展である。

著者らは、本研究を、原始的な二次指標 $\chi$ に対して $\chi(p) = -1$ となる最小の素数 $p$ を求める古典的な問題の変種として位置付けている。古典的な問題はGRHの下ではよく理解されているが、本論文はこれを合成数による法へと拡張し、条件付きの結果にわずかに劣る程度の、無条件の結果を提供している。

さらに、本論文は、有界な判別式を持つ二元二次形式を用いて $N$ までのすべての整数を覆うという問題に関する、精密な定量的進展を提供している。先行研究（GreenおよびSoundararajan）は「ほとんどすべての」整数を覆うことを扱っていたが、本論文は「すべての」整数を覆うというより困難な問題に取り組み、表現を保証するために必要な判別数の明示的な閾値を確立している。

最後に、著者らは、長さ $k$ のすべての符号列がルジャンドル記号のベクトルとして現れるために必要な最小の $N$ に関するHanson、Vaughan、およびZhangの研究との関連性に言及しており、採用された組合せ論的手法のより広い文脈を示唆している。