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The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms

Este artículo establece cotas casi óptimas para el menor residuo cuadrático reducido no trivial módulo $n$ , construye módulos donde este valor es inesperadamente grande y aplica estos hallazgos para determinar la tasa a la que las formas cuadráticas binarias con discriminante acotado representan todos los enteros positivos hasta $N$ .

Autores originales: Kannan Soundararajan, João C. C. Vargas

Publicado 2026-08-03

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CC BY 4.0

Autores originales: Kannan Soundararajan, João C. C. Vargas

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

La Gran Cacería de Números: Encontrando el Primer Cuadrado "Bueno"

Imagina que eres un detective intentando descifrar un código secreto. En el mundo de las matemáticas, específicamente en una rama llamada Teoría de Números, los números no son solo para contar; tienen personalidades y relaciones ocultas. Uno de los acertijos más famosos involucra los "residuos cuadráticos". Piensa en ellos como números que pueden ser "elevados al cuadrado" para encajar perfectamente en un patrón específico. Si tomas un número, lo elevas al cuadrado (lo multiplicas por sí mismo) y lo divides por un módulo secreto (un número grande $n$ ), el resto es un residuo cuadrático. Es como encontrar una llave que encaja en una cerradura específica.

La gran pregunta que los matemáticos se han estado haciendo durante mucho tiempo es: ¿Qué tan lejos tienes que buscar para encontrar la primera llave que encaje? En otras palabras, ¿cuál es el número más pequeño que tienes que comprobar para encontrar un cuadrado que funcione? Esto no es solo un juego; comprender estos números "mínimos" nos ayuda a entender cómo se distribuyen los números, lo cual es crucial para la criptografía (las matemáticas detrás de la seguridad en Internet) y para comprender la estructura profunda del universo de los números. Durante décadas, los matemáticos tuvieron buenas conjeturas, pero querían saber si existían cerraduras "engañosas" que requirieran una búsqueda inesperadamente vasta antes de encontrar una sola llave funcional.

El Gran Descubrimiento del Artículo: Las Cerraduras "Desafortunadas"

En este artículo, K. Soundararajan y João C. C. Vargas abordan el misterio del menor residuo cuadrático. Definen un número especial, llamémoslo $\ell(n)$ , que es el número entero "libre de cuadrados" más pequeño (un número que no es divisible por ningún cuadrado perfecto como 4, 9 o 16) que actúa como un residuo cuadrático para un número $n$ dado.

Los autores demuestran dos cosas principales que podrían parecer contradictorias al principio, pero que juntas cuentan una historia fascinante.

1. La Red de Seguridad (El Límite Superior)
Primero, demuestran que nunca tendrás que buscar demasiado lejos. No importa cuán complicado sea tu número $n$ , existe un "techo" matemático sobre qué tan grande puede ser la primera llave que funciona ( $\ell(n)$ ). Demuestran que si $n$ tiene $k$ factores primos diferentes, la primera llave que funciona es garantizadamente menor que una fórmula específica que involucra $2^{4k}$ . Es como decir: "Incluso en el laberinto más confuso, encontrarás la salida antes de dar $2^{4k}$ pasos". Esta parte es una aplicación directa del Principio del Palomar —un truco lógico que dice que si tienes más palomas que nidos, al menos un nido debe contener dos palomas. Aquí, los "palomas" son los números y los "nidos" son los patrones de restos.

2. La Sorpresa (El Límite Inferior)
Aquí es donde se pone emocionante. Mientras que los autores demostraron que existe un techo, también descubrieron que para ciertos números especialmente diseñados, la primera llave que funciona es mucho, mucho mayor de lo que cualquiera esperaba.
Normalmente, si un patrón aparece en aproximadamente 1 de cada $2^k$ números, esperarías encontrar una coincidencia tras revisar aproximadamente $2^k$ números. Pero los autores construyeron números $n$ específicos donde la primera coincidencia no aparece hasta que revisas números tan grandes como $4^k$ (menos una pequeña corrección).
Para poner esto en perspectiva: Si estuvieras buscando una aguja en un pajar, esperarías encontrarla tras buscar unos pocos fardos. Estos autores construyeron un pajar tan difícil que podrías tener que buscar en una montaña de heno antes de encontrar la aguja. Lo lograron utilizando ideas de los códigos de corrección de errores (las matemáticas utilizadas para reparar datos corruptos en misiones espaciales y CDs), mostrando que la "mala suerte" de estos números es, en realidad, una característica deliberada y construida.

3. El Escenario "¿Qué pasaría si...?" (La Hipótesis de Riemann)
El artículo también explora qué sucedería si una famosa conjetura no probada llamada la Hipótesis de Riemann Generalizada (HRG) fuera cierta. Si la HRG es correcta, los números "engañosos" no son tan malos como los ejemplos construidos por los autores. Bajo este supuesto, la llave más pequeña se encontraría mucho antes, aproximadamente alrededor de $e^{C \log n \log \log n}$ . Sin embargo, como no sabemos con certeza si la HRG es cierta, los ejemplos de "peor caso" construidos por los autores siguen siendo la mejor prueba que tenemos de que estos números pueden ser sorprendentemente grandes.

¿Por qué es esto importante?

Los autores no solo se detuvieron en encontrar estos números complicados; utilizaron sus hallazgos para resolver un acertijo relacionado sobre las formas cuadráticas binarias. Estas son expresiones matemáticas como $ax^2 + bxy + cy^2$ que pueden usarse para generar otros números.
El artículo pregunta: "¿Qué tan grande debe ser el discriminante (un número específico que define la forma) para asegurar que cada entero positivo hasta un cierto tamaño $N$ pueda ser representado?".
Utilizando sus nuevos límites sobre $\ell(n)$ , los autores muestran:

Incondicionalmente (sin asumir la HRG): Existen enteros hasta $N$ que no pueden ser representados por ninguna forma cuadrática con un discriminante menor que un cierto límite masivo.
Condicionalmente (asumiendo la HRG): Si la Hipótesis de Riemann es cierta, el límite es mucho más pequeño, lo que significa que podemos representar casi todos los números con formas mucho más simples.

La Conclusión

Este artículo es una clase magistral en el equilibrio entre los escenarios de "mejor caso" y "peor caso". Confirma que, si bien existe un límite teórico para lo difícil que es encontrar un residuo cuadrático, el universo de los números contiene "trampas" donde la búsqueda es significativamente más larga de lo que la probabilidad simple sugeriría. Los autores no solo adivinaron; construyeron matemáticamente estas trampas y demostraron su existencia. También mostraron que si una gran conjetura matemática (HRG) es cierta, estas trampas son menos peligrosas de lo que parecen, pero hasta que dicha conjetura sea probada, debemos asumir lo peor.

Al final, este trabajo refina nuestra comprensión de cómo los números se esconden y se revelan, demostando que, a veces, la llave más pequeña para una cerradura está escondida en un lugar donde nunca pensarías buscar sin un mapa muy ingenioso.

Resumen Técnico: El Menor Residuo Cuadrático y los Enteros Representados por Formas Cuadráticas

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga $\ell(n)$ , definido como el menor residuo cuadrático no trivial reducido módulo $n$ . Específicamente, $\ell(n)$ es el menor entero libre de cuadrados $r > 1$ tal que $\gcd(r, n) = 1$ y $r \equiv x^2 \pmod n$ para algún entero $x$ . Los autores buscan establecer cotas para $\ell(n)$ en términos tanto de la magnitud de $n$ como de su número de factores primos, $\omega(n)$ . Un objetivo secundario es aplicar estos resultados para determinar la tasa a la que familias de formas cuadráticas binarias con discriminante acotado representan todos los enteros positivos hasta un límite grande $N$ .

Metodología
Los autores emplean una combinación de argumentos combinatorios, teoría analítica de números y estructuras algebraicas sobre cuerpos finitos.

Principios Combinatorios y del Palomar: La cota superior para $\ell(n)$ se deriva utilizando el principio del palomar. Al considerar primos en progresiones aritméticas y sus valores del símbolo de Legendre, los autores demuestran la existencia de un producto de dos primos que satisface las condiciones necesarias de residuo cuadrático.
Construcción Algebraica (Cotas Inferiores): Para construir módulos $n$ con un $\ell(n)$ inesperadamente grande, los autores utilizan una correspondencia entre números primos y polinomios irreducibles sobre el cuerpo $\mathbb{F}_2$ . Definen funciones completamente multiplicativas $f_j: \mathbb{N} \to \{-1, 1\}$ basadas en las raíces de estos polinomios en el cierre algebraico de $\mathbb{F}_2$ . Un lema clave que involucra sumas de potencias de elementos distintos en $\mathbb{F}_2$ (relacionado con las identidades de Newton) se utiliza para probar que si un entero libre de cuadrados $r$ satisface $f_j(r) = 1$ para todo $j$ , entonces $r$ debe ser grande.
Teoría Analítica de Números y Estimaciones de Densidad de Ceros: La construcción de $n$ $n$ depende de encontrar un conjunto de primos tal que para cada discriminante fundamental $D$ $D$ en un rango dado, al menos un primo en el conjunto sea un no-residuo cuadrático módulo $D$ $D$ .
- Condicionado a GRH: La Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH) se utiliza para acotar sumas de caracteres sobre primos, asegurando la existencia de tal conjunto de primos con un tamaño aproximadamente $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$ .
- Incondicional: Sin asumir GRH, los autores utilizan estimaciones de densidad de ceros para funciones $L$ de Dirichlet. Particionan el conjunto de discriminantes basándose en la ubicación de sus ceros (regiones libres de ceros) y aplican un argumento de suma ponderada que involucra una función de peso específica $w(t)$ para establecer la existencia de los primos requeridos.
Aplicación a Formas Cuadráticas: Los resultados se aplican a la representación de enteros por formas cuadráticas binarias $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ . Los autores utilizan el hecho de que un entero $n$ es representado por una forma de discriminante $D$ si y solo si $D$ es un cuadrado módulo $4n$ (para representaciones propias).

Contribuciones Clave y Resultados

Cotas para $\ell(n)$ en términos de factores primos:
- Cota Superior: Si $k$ es el número de factores primos impares de $n$ , $\ell(n) \le C k 2^{4k}$ para una constante absoluta $C$ .
- Cota Inferior: Para cada $k \ge 2$ , existen infinitos enteros impares $n$ con exactamente $k$ factores primos distintos tales que $\ell(n) \ge 4^{k - C k / \log k}$ . Este resultado es sorprendente dado que la densidad de los residuos cuadráticos es $\asymp 2^{-k}$ , lo que sugiere que uno podría esperar que $\ell(n)$ estuviera más cerca de $2^k$ .
Cotas para $\ell(n)$ en términos de la magnitud $n$ :
- Los autores construyen un entero impar libre de cuadrados $n \le N(\Delta)$ tal que para cada discriminante fundamental $D$ con $1 < |D| \le \Delta$ , existe un factor primo $p$ de $n$ con $\left(\frac{D}{p}\right) = -1$ .
- Incondicional: $N(\Delta)$ puede elegirse como $\exp(C \log \Delta (\log \log \Delta)^2)$ .
- Condicionado a GRH: $N(\Delta)$ puede elegirse como $\exp(C \log \Delta \log \log \Delta)$ para cualquier $C > 2/\log 2$ .
- Consecuentemente, $\ell(n)$ puede ser tan grande como $\exp\left(c \frac{\log n}{(\log \log n)^2}\right)$ incondicionalmente, y $\exp\left(\left(\frac{\log 2}{2} + o(1)\right) \frac{\log n}{\log \log n}\right)$ bajo GRH.
Representaciones por Formas Cuadráticas Binarias:
- Formas Indefinidas: Todo entero positivo hasta $N$ puede ser representado por alguna forma cuadrática binaria primitiva, no degenerada e indefinida con discriminante $1 < D_f \le \Delta$ , donde $\Delta = \exp\left((\log 4 + o(1)) \frac{\log N}{\log \log N}\right)$ .
- Formas Definidas Positivas (Condicional): Asumiendo GRH, todo entero positivo hasta $N$ puede ser representado por una forma cuadrática binaria primitiva, definida positiva, con discriminante $|D_f| \le \Delta$ (con el mismo $\Delta$ que arriba).
- Limitaciones: Existe un entero positivo $n \le N$ que no puede ser representado por ninguna forma cuadrática binaria primitiva no degenerada con $|D_f| \le \Delta$ si $\Delta = \exp(c \log N / (\log \log N)^2)$ . Bajo GRH, este umbral mejora a $\exp((\frac{\log 2}{2} - \epsilon) \frac{\log N}{\log \log N})$ .

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma establecer "cotas casi óptimas" para el menor residuo cuadrático, tanto en términos del tamaño del módulo como de su número de factores primos. La construcción de módulos con un $\ell(n)$ grande está motivada por ideas de códigos de corrección de errores y representa un avance significativo sobre las expectativas probabilísticas, mostrando que $\ell(n)$ puede ser significativamente mayor que el inverso de la densidad de los residuos cuadráticos.

Los autores posicionan su trabajo como una variante del problema clásico de encontrar el menor primo $p$ tal que $\chi(p) = -1$ para un carácter cuadrático primitivo. Mientras que el problema clásico está bien comprendido bajo GRH, este artículo extiende el alcance a módulos compuestos y proporciona resultados incondicionales que son solo ligeramente más débiles que los condicionales.

Además, el artículo proporciona un progreso cuantitativo preciso sobre el problema de cubrir todos los enteros hasta $N$ utilizando formas cuadráticas binarias con discriminante acotado. Mientras que trabajos previos (Green y Soundararajan) abordaron la cobertura de "casi todos" los enteros, este trabajo aborda el problema más difícil de cubrir "todos" los enteros, estableciendo umbrales explícitos para el discriminante requerido para garantizar la representación.

Finalmente, los autores señalan una conexión con el trabajo de Hanson, Vaughan y Zhang respecto al menor $N$ requerido para que todas las secuencias de signos de longitud $k$ aparezcan como vectores de símbolos de Legendre, sugiriendo un contexto más amplio para los métodos combinatorios empleados.

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