A nonabelian anyon violates Haag duality

在量子物理学的广袤版图中，存在着一类特殊的物质，被称为拓扑相。这些物质并非由原子的排列或磁场的强度来定义，而是由一种即使在物质受到扰动时仍能持续存在的深层、全局性的纠缠模式所定义。在这些材料中，会涌现出一种奇特的粒子，称为任意子（anyons）。与电子或质子这些物质的基本构建块不同，任意子是集体激发，只有当它们在二维空间中相互绕行时，才会表现得像粒子一样。当两个这样的粒子交换位置时，它们并不仅仅是回到原始状态；相反，它们会经历一种取决于运动顺序的变换。这种被称为非阿贝尔统计（non-abelian statistics）的特性，使其成为构建免疫误差的量子计算机的潜在关键。然而，理解这些系统需要超越标准量子力学的工具，特别是在处理具有无限多自由度的系统时，因为在这些系统中，关于不同部分之间如何共享信息的常规规则开始失效。

汉诺威莱布尼茨大学的一个研究小组现在已经证明，一种特定类型的这类奇异粒子——非阿贝尔任意子，从根本上破坏了一个物理学家长期以来认为适用于所有能隙量子系统的原则。这个被称为哈格对偶性（Haag duality）的原则本质上保证了：如果两个不同的量子态从一个空间的视角来看是完全相同的，那么它们必然可以通过在剩余空间内进行的某种变化来联系起来。简单来说，它确保了如果观察者拥有合适的工具，就可以恢复或操纵隐藏在一个系统局部中的信息。研究人员证明，当存在单个非阿贝尔任意子时，这一保证会完全失效。他们表明，在这种情况下，两个状态对于观察者而言看起来是一致的，但它们却是完全无关的，且无法通过在另一区域内进行的任何操作将两者相互转化。

这一发现依赖于一个涉及粒子创建与运动的巧妙物理论证。想象一个处于最低能量状态的系统，即真空。如果创建一个非阿贝尔任意子，为了保持系统整体的平衡，必须将其与一个反粒子配对。研究人员考虑了这样一种情况：将其中一个伙伴移动到极远处，实际上是移动到无穷远处，从而在特定区域留下一个单独的任意子。随后，他们通过将这个剩余的任意子分裂成两个新粒子，并将其中一个移动到相邻区域，构造了第二个状态。至关重要的是，由于原始粒子是非阿贝尔的，这种分裂过程创造了一种新的构型，这种构型无法通过第一个区域内的任何局部作用来撤销。这两个状态虽然对于仅观察第一个区域的观察者来说是不可区分的，但它们在本质上是如此不同，以至于在另一区域进行的任何操纵都无法将其中一个转化为另一个。这违反了唯一纯化原则（uniqueness of purifications），该原则指出，如果两个状态具有相同的局部属性，则它们应该能通过局部操作相互连接。

为了确保这不仅仅是一个理论上的奇趣，作者使用算符代数（operator algebras）框架提供了严密的数学证明，这是描述无限大量子系统的标准语言。他们将研究结果应用于一类著名的模型——Levin-Wen模型，该模型被用于模拟物质的拓扑相。在这些具体的模型中，他们明确构造了物理论证中所描述的两个状态，并证明了哈格对立性的数学条件确实被打破了。他们的工作进一步表明，这种失效并非可以通过微调来修复的小瑕疵。他们证明了包含非阿贝尔任意子的系统基态甚至不满足许多物理学家曾希望在所有能隙系统中都能成立的更弱的、近似版本的原则。这意味着，这种违反是该物相本身的一个稳健特征，在材料保持在该特定拓扑态的所有条件下都持续存在。

这一结果对于我们如何分类和理解不同的物相具有重要意义。长期以来，人们一直有一个猜想，即所有能隙基态（即这些材料稳定、低能的状态）都会满足这种近似对偶性。新的发现反驳了这一猜想，表明存在整个物相，在这些物相中，局部观测与全局可能性之间的这种基本联系被切断了。研究人员还探讨了一个相关的概念——量子转向（quantum steering），它描述了一个观察者通过测量来影响另一个观察者状态的能力。他们发现，在存在非阿贝尔任意子的情形下，这种能力消失了；系统的纯量子态并不允许产生那种能让一部分系统转向另一部分的关联。这与阿贝尔任意子系统形成了鲜明对比，在后者中该原则依然成立，并凸显了这两类粒子之间深刻的结构性差异。

最终，这项工作表明，单个非阿贝尔任意子的存在足以破坏无限系统中量子信息论的一个基础规则。这种失效并非模型的缺陷，而是物相的一种真实属性。研究人员认为，这种对偶性的破坏可以作为区分不同类型拓扑相的一个有用判据。虽然一种材料的真空态与含有非阿贝尔任意子的状态可能共享相同的粒子融合与编织规则，但它们属于不同的物相，因为前者遵守对偶性原则，而后者则不然。通过识别这种失效，这项研究为理解复杂材料中量子纠缠的极限提供了更清晰的图景，并挑战了“某些数学对称性在所有能隙量子系统中都是普适的”这一假设。