技术摘要：Lindblad 多乘积公式 (Lindblad Multiproduct Formulas)

问题陈述

在存在噪声的情况下估计可观测算符的期望值是量子计算中的一个核心挑战。虽然存在诸如概率误差消除 (PEC) 和零噪声外推 (ZNE) 等技术，但它们面临着显著的扩展性障碍。PEC 对于更深的电路需要呈指数级增长的样本量，而 ZNE 则经常在针对噪声重缩放参数进行拟合时受到偏差的影响。此外，纯经典模拟技术（特别是基于张量网络的模拟）在模拟大型二维量子系统时表现挣扎，因为这会导致纠缠度迅速增长，且在二维空间中缺乏截断的规范形式。

作者研究了是否可以设计一种混合误差缓解工作流，以利用最先进的高维张量网络技术。其核心假设是：虽然为特定问题计算可观测量的精确期望值在经典计算上可能难以实现，但用于缓解误差的特定量（即用于线性组合噪声测量值的系数）使用张量网络进行评估可能会更加高效。

方法论：Lindblad 多乘积公式 (L-MPF)

本文引入了 Lindblad 多乘积公式 (L-MPF)，该技术结合了量子硬件测量与经典张量网络计算，以估计无噪声的期望值。该工作流分为三个阶段进行：

1. 噪声表征与数据获取 (QPU)：

   • 从量子设备（具体为 ibm_basquecountry）学习噪声模型，得出 Pauli-Lindblad 噪声率 $\lambda_a$。
   • 在量子硬件上测量噪声期望值 $\langle O \rangle_{\lambda_i}$。
   • 为了生成这些噪声值，作者采用了两种方法：
     • 概率误差放大 (PEA)： 一种通过采样放大噪声率的标准技术。
     • 遍历放大 (Ergodic Amplification，新方法)： 一种通过扰动系统哈密顿量的参数（特别是单比特门参数）来增加遍历性的技术，从而在不增加额外采样开销的情况下模拟增加的噪声效应。

2. 经典系数计算 (CPU/GPU)：

   • 目标是寻找系数 $c_i$，使得线性组合 $\sum c_i \langle O \rangle_{\lambda_i}$ 近似于无噪声值 $\langle O \rangle_{\lambda_0}$（其中 $\lambda_0 = 0$）。
   • 这被表述为最小化代价函数 $F(c)$，该函数代表噪声可观测量在目标无噪声可观测量上的投影误差。
   • 该代价函数取决于重叠量 $F_{ij} = \langle\langle O | \Lambda^T_{\lambda_i} \Lambda_{\lambda_j} | O \rangle\rangle$，其中 $\Lambda_\lambda$ 是向量化的 Lindblad 演化算符。
   • 这些重叠量使用通过环路修正置信传播 (loop-corrected belief propagation) 进行收缩的二维张量网络进行评估。这种方法避免了需要特定的“由中向外 (middle-out)”收缩路径或存储高维矩阵乘积算符 (MPO) 的需求，否则会产生难以承受的内存成本。
   • Clifford 重缩放： 工作流结合了 Clifford 重缩放技术来确定全局阻尼因子 $d$，施加约束条件 $\sum c_i = d$。
   • 误差估计： 该方法通过结合投影误差和张量网络截断误差来输出估计的误差棒。

3. 缓解：

   • 最终的无噪声估计通过 $\langle O \rangle_{L-MPF} = \sum c_i \langle O \rangle_{\lambda_i}$ 计算得出。
   • 结果通过键维 (bond dimension) 外推进行精细化，以估计无限键维极限。

核心贡献

• L-MPF 算法： 一种新的误差缓解方案，它使用二维张量网络来计算用于噪声量子测量线性组合的系数，而不是模拟完整的状态演化。
• 遍历放大 (Ergodic Amplification)： 一种通过调节哈密顿量参数（特别是自旋翻转耦合强度 $\epsilon$）而非通过采样放大噪声率来生成噪声期望值的新方法。与 PEA 相比，这显著降低了采样成本。
• 环路修正置信传播： 将这种最先进的二维张量网络技术直接应用于误差缓解，绕过了在二维空间中难以扩展的专门收缩路径（如 middle-out）。
• 误差分析： 通过理论和实证证明，对于可观测量的缓解误差可以小于纯经典张量网络模拟同一可观测量的误差。这是因为张量网络误差在系数中作为二阶项进入最终结果（即系数误差与硬件噪声误差的乘积）。
• 硬件实现： 在 ibm_basquecountry 量子计算机上，成功在 65 个量子比特（排列为 $3\times3$ heavy-hexagonal 拓扑结构）上实现了该方法。

结果

该方法被应用于二维离散时间晶体 (DTCs) 模型，该系统此前已在 [1] 中被研究过。

• 准确度： L-MPF 工作流产生的无噪声可观测量估计值，比仅依靠噪声量子计算机或纯经典张量网络模拟（即使是低键维度的模拟）得到的估计值更准确。
• 收敛性： 在收敛性分析中，L-MPF 缓解后的结果比纯经典低键维模拟收敛到高键维经典参考值更快，即使是在将经典模拟外推至零截断误差极限的情况下也是如此。
• 性能： 工作流中经典部分的 GPU 实现实现了高达 5.6× 于单个 CPU 处理器的加速，且随着 Floquet 周期和截断阈值的增加，加速效果愈发显著。
• 遍历 vs. PEA： 虽然附录中测试了 PEA，但作者发现遍历放大特别适用于 DTC 模型，能够以显著降低的采样成本提供相当的准确度。

重要性与主张

论文声称 L-MPF 代表了迈向可扩展量子误差缓解（特别是针对难以进行经典模拟的二维系统）的一个有前景的方向。其重要性在于观察到“困难”的部分（计算精确的期望值）不需要由经典计算解决；相反，“较容易”的部分（计算修正系数）可以利用张量网络高效解决。

作者强调，这种方法允许将经典张量网络方法的进展直接纳入量子误差缓解工作流中。他们指出，虽然该方法需要对特定电路进行仔细考虑以确保误差棒保持在实用范围内，但它成功地在纯经典方法难以匹配其准确度的非平凡二维系统中缓解了误差。这项工作表明，对于某些类别的问题，来自张量网络组件的截断误差对最终结果的降级程度，并不如在纯经典模拟中那样严重。