The irrationality measure of {\pi} is at most 7.101862832357

技术摘要：$\pi$ 的无理度测度上限为 7.101862832357

1. 问题陈述
本文旨在解决确定 $\pi$ 的无理度测度 $\mu(\pi)$ 的问题。$\mu(\pi)$ 定义为满足以下不等式的实数 $\mu$ 的下确界：对于所有整数 $p$ 及足够大的正整数 $q$，不等式 $|\pi - p/q| > q^{-\mu-\varepsilon}$ 成立。虽然精确值目前仍未知，但研究目标是建立尽可能紧致的上界。在此项工作之前的最先进成果由 Zeilberger 和 Zudilin [5] 建立，他们通过使用具有固定参数的特定轮廓积分构造，证明了 $\mu(\pi) \le 7.103205334137\dots$。

2. 方法论
作者引入了一种对 Zeilberger–Zudilin 积分的改进，通过在被积函数中引入两个独立的分子指数 $A_1$ 和 $A_2$：
$$I_{A_1, A_2}(N) = -i \int_{4-2i}^{4+2i} \frac{(x-5)^{A_1 N} Q_0(x)^{A_2 N}}{x^{N+1}(x-10)^{N+1}} dx$$
其中 $Q_0(x) = (x-4+2i)(x-4-2i)(x-6+2i)(x-6-2i)$。

该方法论通过四个主要阶段进行：

• 算术构造： 通过变量代换（$t = x-5$）将积分转换为在垂直线段上积分的有理函数 $R_n(t)$。本文推导了 $R_n(t)$ 的部分分式展开，并识别了系数 $c_{j,n}$。通过分析这些系数的 $p$ 进赋值（特别是针对素数 2 和 5），作者构造了整数线性型 $M_n J_n = U_n + V_n \pi$。其中的一个关键组成部分是“可移除素数”的节省（removable-prime saving），即证明了一个特定素数乘积 $\Phi_n$ 整除了系数的分母，从而降低了清除分母所需的 $M_n$ 的增长率。
• 解析估计： 本文估计了系数 $V_n$ 的渐近增长率和积分 $J_n$ 的衰减率。
  • 系数增长率 $r$ 是通过对系数的生成函数应用正系数鞍点法（引理 4.1）来确定的。
  • 积分衰减率 $s$ 是通过将积分路径变形为经过复数鞍点 $y_c$ 的路径，以最大化相位函数 $F(y)$ 来确定的。
• 参数优化： 作者定义了一个显式的辅助界限函数 $B(\alpha, \beta)$（其中 $\alpha, \beta$ 为归一化指数），代表由此产生的无理度测度估计值。本文证明了原始的 Zeilberger–Zudilin 点并非该二参数函数的局部极小值点。通过在“对角族”（$A_1 = A_2$）内进行搜索，确定了一个特定的有理点 $(A_1, A_2) = (1857/2785, 1857/2785)$，该点产生了一个更低的界限。
• 局部最优性证明： 本文证明了该特定有理点是辅助界限函数 $B(\alpha, \beta)$ 在可容许算术腔室内的严格二维局部极小值点。这是通过导出关于素数节省项的精确对数变化公式，并分析参数空间内十二个扇区的方向导数来实现的。

3. 主要贡献与结果

• 新上界： 主要结果（定理 1.1）确立了：
  $$\mu(\pi) < 7.101862832357$$
  这比 Zeilberger–Zudilin 的界限提高了超过 $0.001342501780$，降幅约为$0.0189%$。
• 参数选择： 所使用的特定参数为 $(a, b, c) = (1857, 3714, 5570)$，对应的归一化指数为 $(\alpha^*, \beta^*) = (1857/5570, 1857/2785)$。
• 局部极小性： 定理 1.2 和定理 6.3 证明了所选参数点是辅助界限函数 $B(\alpha, \beta)$ 的严格局部极小值点。该证明涉及对素数节省项 $\phi(\alpha, \beta)$ 的方向导数的严格分析，表明参数的任何微小扰动都会增加界限。
• 严谨的数值包络： 本文为所有中间常数（包括素数节省率 $\omega$、系数增长率 $r$ 和积分衰减率 $s$）提供了显式的、严谨的有理包络。这些计算避免了浮点数假设，利用了精确的有理算术以及对数和伯努利数的区间界限。

4. 意义与范围
本文声称在以下两个特定领域具有重要意义：

1. 定量改进： 它提供了一个新的 $\mu(\pi)$ 上界，改进了 Zeilberger–Zudilin 界限，证明了通过引入第二个独立指数可以改进固定参数构造。
2. 结构性见解： 它确立了此前最优的对角点并非二参数变形下的局部最优解。本工作为定义这些界限的“算术腔室”提供了详细的几何与解析理解，证明了该新点是一个二维意义上的局部极小值点。

局限性与声明
作者明确说明了研究结果的有限范围：

• 该结果是一个上界，而非 $\mu(\pi)$ 的精确值。
• 局部极小性（定理 1.2）是关于特定辅助函数 $B(\alpha, \beta)$ 在可容许腔室内的局部陈述。它并不声称在所有可能的构造、所有可能的分母节省或所有正参数下具有全局最优性。
• 该改进仅针对由双指数变形定义的积分族；它并不意味着 $\pi$ 的真实无理度测度接近此界限，也不排除来自完全不同构造的更好界限。

披露
本文指出，生成式人工智能（OpenAI 的 GPT-5.6 Sol 和 GPT-6 Astra）辅助进行了参数探索、证明开发、计算及文稿起草。然而，作者声明对所有数学主张及最终文本负全部责任。