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The irrationality measure of {\pi} is at most 7.101862832357

En introduisant deux exposants de numérateur indépendants dans l'intégrale de Zeilberger–Zudilin et en les spécialisant pour $A_1=A_2=\frac{1857}{2785}$ , l'auteur établit une nouvelle borne supérieure d'environ 7,10186 pour la mesure d'irrationalité de $\pi$ , améliorant le record précédent de plus de 0,00134.

Auteurs originaux : Yufei Bai

Publié 2026-09-11

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Yufei Bai

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Dans le vaste paysage des mathématiques, il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions simples. Ce sont les nombres irrationnels, et ils incluent des constantes familières comme la racine carrée de deux et le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, connu sous le nom de pi. Bien que nous puissions calculer ces nombres jusqu'à des milliers de billions de décimales, une question plus profonde demeure : à quel point pouvons-nous les approximer en utilisant des fractions ? Les mathématiciens mesurent cette difficulté avec un concept appelé la mesure d'irrationalité. Considérez cette mesure comme un indicateur de l'obstination d'un nombre ; un score plus bas signifie que le nombre est plus difficile à tromper avec une fraction simple, tandis qu'un score plus élevé suggère qu'il est plus facile de l'approximer. Pendant des siècles, les mathématiciens ont tenté de fixer le score exact de pi. Nous savons qu'il est au moins égal à deux, mais la limite supérieure précise a été une cible mouvante, les meilleurs efforts précédents plaçant ce score juste au-dessus de sept.

Une étude récente de Yufei Bai a repoussé cette limite, prouvant que la mesure d'irrationalité de pi est strictement inférieure à 7,101862832357. Cela peut sembler être un ajustement infime, mais dans le monde de la théorie des nombres de haute précision, c'est un bond significatif. La recherche s'appuie sur une méthode sophistiquée développée par les mathématiciens Doron Zeilberger et Wadim Zudilin, qui utilise des intégrales complexes — essentiellement des aires sous des courbes dans le plan complexe — pour générer des expressions mathématiques spéciales. Ces expressions agissent comme un test : si elles se comportent d'une certaine manière, elles prouvent que pi ne peut pas être trop facilement approximé par des fractions. Le meilleur résultat précédent utilisant cette méthode avait fixé la limite à environ 7,1032. Le travail de Bai affine les ingrédients de ce test, en ajustant les puissances spécifiques utilisées dans la formule de l'intégrale pour obtenir un résultat légèrement meilleur.

Le cœur de la réussite réside dans la manière dont le chercheur a ajusté les paramètres de l'intégrale. Imaginez l'intégrale comme une machine dotée de deux cadrans qui contrôlent sa sensibilité. Le travail précédent avait réglé ces cadrans sur une position spécifique et équilibrée. Bai a découvert qu'en tournant les deux cadrans vers un nouveau réglage très spécifique — où les valeurs sont approximativement de 1857 divisé par 2785, la machine devient plus efficace pour détecter la véritable nature de pi. Cet ajustement n'est pas une simple supposition aléatoire ; l'article démontre que ce réglage spécifique est un minimum local pour la fonction d'erreur, ce qui signifie que tout petit décalage dans l'une ou l'autre direction rendrait le résultat moins bon. Il s'agit d'une optimisation précise et calculée au sein d'une étroite vallée mathématique.

Pour prouver cela, l'article construit une séquence d'expressions basées sur des entiers qui impliquent pi. Le chercheur analyse ensuite deux forces rivales au sein de ces expressions. Une force fait croître les nombres à mesure que la séquence progresse, tandis que l'autre fait décroître l'expression entière vers zéro. L'objectif est de trouver un équilibre où l'expression devient dérisoire sans que les nombres à l'intérieur ne deviennent impossibles à gérer. En suivant attentivement la croissance des dénominateurs et la décroissance de l'intégrale, l'étude établit une inégalité stricte. Les mathématiques démontrent que, pour les paramètres choisis, l'expression diminue assez rapidement pour prouver que la mesure d'irrationalité de pi ne peut excéder le nouveau seuil plus bas.

L'étude est rigoureuse et autonome. Elle ne repose pas sur des simulations informatiques pour deviner la réponse, mais utilise l'arithmétique exacte et la déduction logique pour vérifier chaque étape. L'auteur note explicitement que ce résultat est une amélioration locale ; il prouve que ce point spécifique est meilleur que ses voisins immédiats, mais il ne prétend pas être le meilleur réglage absolu pour tous les temps. De plus, l'article reconnaît l'assistance d'outils d'intelligence artificielle générative pour explorer les paramètres et vérifier les preuves, tout en maintenant que les affirmations mathématiques et le texte final sont la seule responsabilité de l'auteur. Le résultat constitue un plafond plus serré et vérifié sur la façon dont pi peut être approximé, abaissant la limite connue d'une fraction de pourcentage qui a nécessité une précision immense pour être trouvée.

Résumé Technique : La mesure d'irrationalité de $\pi$ est au plus de 7,101862832357

1. Énoncé du problème
L'article traite de la détermination de la mesure d'irrationalité $\mu(\pi)$ , définie comme l'infimum des nombres réels $\mu$ tels que l'inégalité $|\pi - p/q| > q^{-\mu-\varepsilon}$ soit vérifiée pour tout entier $p$ et pour tous entiers positifs $q$ suffisamment grands. Bien que la valeur exacte demeure inconnue, l'objectif est d'établir la borne supérieure la plus étroite possible. L'état de l'art actuel avant ce travail a été établi par Zeilberger et Zudilin [5], qui ont prouvé que $\mu(\pi) \le 7,103205334137\dots$ en utilisant une construction spécifique d'intégrale à paramètres fixes.

2. Méthodologie
L'auteur introduit un raffinement de l'intégrale de Zeilberger–Zudilin en incorporant deux exposants de numérateur indépendants, $A_1$ et $A_2$ , dans l'intégrande :
$I_{A_1, A_2}(N) = -i \int_{4-2i}^{4+2i} \frac{(x-5)^{A_1 N} Q_0(x)^{A_2 N}}{x^{N+1}(x-10)^{N+1}} dx$
où $Q_0(x) = (x-4+2i)(x-4-2i)(x-6+2i)(x-6-2i)$ .

La méthodologie procède à travers quatre étapes principales :

Construction arithmétique : L'intégrale est transformée via un changement de variable ( $t = x-5$ ) en une fonction rationnelle $R_n(t)$ intégrée sur un segment vertical. L'article dérive une décomposition en éléments simples de $R_n(t)$ , identifiant les coefficients $c_{j,n}$ . En analysant les valuations $p$ -adiques de ces coefficients (spécifiquement pour les nombres premiers 2 et 5), l'auteur construit des formes linéaires d'entiers $M_n J_n = U_n + V_n \pi$ . Un composant critique est l'économie de « nombre premier supprimable », où un produit $\Phi_n$ de nombres premiers spécifiques est montré comme divisant les dénominateurs des coefficients, réduisant ainsi le taux de croissance du dénominateur de clarification $M_n$ .
Estimation analytique : L'article estime le taux de croissance asymptotique des coefficients $V_n$ $V_{n}$ et la décroissance de l'intégrale $J_n$ $J_{n}$ .
- Le taux de croissance des coefficients $r$ est déterminé par une méthode de point selle à coefficients positifs (Lemme 4.1) appliquée à la fonction génératrice des coefficients.
- Le taux de décroissance de l'intégrale $s$ est déterminé en déformant le contour d'intégration vers un chemin passant par un point selle complexe $y_c$ , maximisant la fonction de phase $F(y)$ .
Optimisation des paramètres : L'auteur définit une fonction de borne auxiliaire explicite $B(\alpha, \beta)$ (où $\alpha, \beta$ sont des exposants normalisés) représentant l'estimation résultante de la mesure d'irrationalité. L'article démontre que le point Zeilberger–Zudilin original n'est pas un minimiseur local pour cette fonction à deux paramètres. Une recherche au sein de la « famille diagonale » ( $A_1 = A_2$ ) identifie un point rationnel spécifique $(A_1, A_2) = (1857/2785, 1857/2785)$ qui produit une borne inférieure.
Preuve d'optimalité locale : L'article prouve que ce point rationnel spécifique est un minimiseur local strict à deux dimensions de la fonction de borne $B(\alpha, \beta)$ au sein de la chambre arithmétique admissible. Ceci est réalisé en dérivant une formule de variation logarithmique exacte pour le terme d'économie de nombres premiers et en analysant les dérivées directionnelles à travers douze secteurs de l'espace des paramètres.

3. Contributions clés et résultats

Nouvelle borne supérieure : Le résultat principal (Théorème 1.1) établit que :
$\mu(\pi) < 7,101862832357$
Ceci améliore la borne de Zeilberger–Zudilin de plus de $0,001342501780$, soit une réduction d'environ $0,0189\%$ .
Sélection des paramètres : Les paramètres spécifiques utilisés sont $(a, b, c) = (1857, 3714, 5570)$ , correspondant aux exposants normalisés $(\alpha^*, \beta^*) = (1857/5570, 1857/2785)$ .
Minimalité locale : Les Théorèmes 1.2 et 6.3 prouvent que le point de paramètre choisi est un minimiseur local strict de la fonction de borne auxiliaire $B(\alpha, \beta)$ . La preuve implique une analyse rigoureuse des dérivées directionnelles du terme d'économie de nombres premiers $\phi(\alpha, \beta)$ , montuant que toute petite perturbation des paramètres augmente la borne.
Enclos numérique rigoureux : L'article fournit des enclos rationnels explicites et rigoureux pour toutes les constantes intermédiaires, y compris le taux d'économie de nombres premiers $\omega$ , le taux de croissance des coefficients $r$ , et le taux de décroissance de l'intégrale $s$ . Ces calculs évitent les hypothèses de virgule flottante, utilisant l'arithmétique rationnelle exacte et des bornes d'intervalles pour les logarithmes et les nombres de Bernoulli.

4. Signification et portée
L'article revendique une importance dans deux domaines spécifiques :

Amélioration quantitative : Il fournit une nouvelle borne supérieure pour $\mu(\pi)$ qui améliore la borne de Zeilberger–Zudilin, démontrant que la construction à paramètres fixes peut être raffinée par l'introduction d'un second exposant indépendant.
Aperçu structurel : Il établit que le point diagonal précédemment optimal n'est pas un optimum local pour la déformation à deux paramètres. Le travail fournit une compréhension géométrique et analytique détaillée de la « chambre arithmétique » où ces bornes sont définies, prouvant que le nouveau point est un minimiseur local au sens bidimensionnel.

Limites et revendications
L'auteur précise explicitement la portée modeste des résultats :

Le résultat est une borne supérieure, et non la valeur exacte de $\mu(\pi)$ .
La minimalité locale (Théorème 1.2) est une affirmation locale concernant la fonction auxiliaire spécifique $B(\alpha, \beta)$ au sein de la chambre admissible. Elle ne prétend pas à l'optimalité globale sur toutes les constructions possibles, tous les économies de dénominateurs possibles, ou tous les paramètres positifs.
L'amélioration est spécifique à la famille d'intégrales définie par la déformation à deux exposants ; elle n'implique pas que la véritable mesure d'irrationalité de $\pi$ est proche de cette borne, ni qu'elle exclut de meilleures bornes issues de constructions entièrement différentes.

Divulgation
L'article note que l'IA générative (OpenAI's GPT-5.6 Sol et GPT-6 Astra) a assisté l'exploration des paramètres, le développement des preuves, le calcul et la rédaction du manuscrit. Cependant, l'auteur affirme assumer l'entière responsabilité de toutes les affirmations mathématiques et du texte final.

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