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The irrationality measure of {\pi} is at most 7.101862832357

Al introducir dos exponentes de numerador independientes en la integral de Zeilberger–Zudilin y especializarlos en $A_1=A_2=\frac{1857}{2785}$ , el autor establece un nuevo límite superior de aproximadamente 7.10186 para la medida de irracionalidad de $\pi$ , mejorando el récord anterior por más de 0.00134.

Autores originales: Yufei Bai

Publicado 2026-09-11

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CC BY 4.0

Autores originales: Yufei Bai

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

En el vasto paisaje de las matemáticas, existen números que no pueden escribirse como fracciones simples. Estos son los números irracionales, e incluyen constantes familiares como la raíz cuadrada de dos y la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, conocida como pi. Aunque podemos calcular estos números hasta billones de decimales, queda una pregunta más profunda: ¿qué tan bien podemos aproximarlos utilizando fracciones? Los matemáticos miden esta dificultad con un concepto llamado medida de irracionalidad. Piense en esta medida como un medidor de qué tan obstinado es un número; una puntuación baja significa que el número es más difícil de engañar con una fracción simple, mientras que una puntuación alta sugiere que es más fácil de aproximar. Durante siglos, los matemáticos han intentado determinar la puntuación exacta de pi. Sabemos que es al menos dos, pero el límite superior preciso ha sido un objetivo móvil, con esfuerzos previos que lo situaban justo por encima de siete.

Un estudio reciente de Yufei Bai ha impulsado este límite más allá, demostrando que la medida de irracionalidad de pi es estrictamente menor que 7.101862832357. Esto puede parecer un ajuste minúsculo, pero en el mundo de la teoría de números de alta precisión, es un salto significativo. La investigación se basa en un método sofisticado desarrollado por los matemáticos Doron Zeilberger y Wadim Zudilin, el cual utiliza integrales complejas —esencialmente áreas bajo líneas curvas en el plano complejo— para generar expresiones matemáticas especiales. Estas expresiones actúan como una prueba: si se comportan de cierta manera, demuestran que pi no puede ser aproximado demasiado fácilmente por fracciones. El mejor resultado anterior utilizando este método había establecido el límite en aproximadamente 7.1032. El trabajo de Bai refina los ingredientes de esta prueba, ajustando las potencias específicas utilizadas en la fórmula de la integral para exprimir un resultado ligeramente mejor.

El núcleo del logro reside en cómo el investigador ajustó los parámetros de la integral. Imagine la integral como una máquina con dos diales que controlan su sensibilidad. El trabajo previo había establecido estos diales en una posición específica y equilibrada. Bai descubrió que, al girar ambos diales hacia un nuevo ajuste muy específico —donde los valores son aproximadamente 1857 dividido por 2785—, la máquina se vuelve más eficiente para detectar la verdadera naturaleza de pi. Este ajuste no es una conjetura aleatoria; el artículo demuestra que este ajuste específico es un mínimo local para la función de error, lo que significa que cualquier pequeño cambio en cualquiera de las dos direcciones empeoraría el resultado. Es una optimización precisa y calculada dentro de un estrecho valle matemático.

Para probar esto, el artículo construye una secuencia de expresiones basadas en enteros que involucran a pi. El investigador analiza entonces dos fuerzas contrapuestas dentro de estas expresiones. Una fuerza hace que los números crezcan a medida que la secuencia progresa, mientras que la otra hace que la expresión completa se reduzca hacia cero. El objetivo es encontrar un equilibrio donde la expresión se vuelva infinitesimalmente pequeña sin que los números en su interior se vuelvan imposiblemente grandes. Al rastrear cuidadosamente el crecimiento de los denominadores y el decaimiento de la integral, el estudio establece una desigualdad estricta. Las matemáticas muestran que, para los parámetros elegidos, la expresión se reduce lo suficientemente rápido como para demostrar que la medida de irracionalidad de pi no puede exceder el nuevo y más bajo umbral.

El estudio es riguroso y autónomo. No depende de simulaciones por computadora para adivinar la respuesta, sino que utiliza aritmética exacta y deducción lógica para verificar cada paso. El autor señala explícitamente que este resultado es una mejora local; demuestra que este punto específico es mejor que sus vecinos inmediatos, pero no afirma ser el ajuste absolutamente mejor posible para todo el tiempo. Además, el artículo reconoce la asistencia de herramientas de inteligencia artificial generativa en la exploración de parámetros y la verificación de pruebas, manteniendo que las afirmaciones matemáticas y el texto final son responsabilidad exclusiva del autor. El resultado se mantiene como un límite verificado y más ajustado sobre qué tan bien se puede aproximar pi, reduciendo el techo conocido en una fracción de un porcentaje que requirió una precisión inmensa para ser hallado.

Resumen Técnico: La medida de irracionalidad de $\pi$ es, como máximo, 7.101862832357

1. Planteamiento del problema
El artículo aborda la determinación de la medida de irracionalidad $\mu(\pi)$ , definida como el ínfimo de los números reales $\mu$ tales que la desigualdad $|\pi - p/q| > q^{-\mu-\varepsilon}$ se cumple para todos los enteros $p$ y para enteros positivos $q$ suficientemente grandes. Aunque el valor exacto permanece desconocido, el objetivo es establecer el límite superior más ajustado posible. El estado del arte previo a este trabajo fue establecido por Zeilberger y Zudilin [5], quienes demostraron que $\mu(\pi) \le 7.103205334137\dots$ utilizando una construcción de integral de contorno con parámetros fijos.

2. Metodología
El autor introduce un refinamiento de la integral de Zeilberger–Zudilin incorporando dos exponentes de numerador independientes, $A_1$ y $A_2$ , en el integrando:
$I_{A_1, A_2}(N) = -i \int_{4-2i}^{4+2i} \frac{(x-5)^{A_1 N} Q_0(x)^{A_2 N}}{x^{N+1}(x-10)^{N+1}} dx$
donde $Q_0(x) = (x-4+2i)(x-4-2i)(x-6+2i)(x-6-2i)$ .

La metodología procede a través de cuatro etapas principales:

Construcción aritmética: La integral se transforma mediante un cambio de variable ( $t = x-5$ ) en una función racional $R_n(t)$ integrada sobre un segmento vertical. El artículo deriva una descomposición en fracciones parciales de $R_n(t)$ , identificando los coeficientes $c_{j,n}$ . Al analizar las valuaciones $p$ -ádicas de estos coeficientes (específicamente en los primos 2 y 5), el autor construye formas lineales enteras $M_n J_n = U_n + V_n \pi$ . Un componente crítico es el ahorro por "primo eliminable" (removable-prime saving), donde se demuestra que un producto $\Phi_n$ de primos específicos divide a los denominadores de los coeficientes, reduciendo así la tasa de crecimiento del denominador de limpieza $M_n$ .
Estimación analítica: El artículo estima la tasa de crecimiento asintótico de los coeficientes $V_n$ $V_{n}$ y la tasa de decaimiento de la integral $J_n$ $J_{n}$ .
- La tasa de crecimiento de los coeficientes $r$ se determina mediante un método de punto de silla de coeficientes positivos (Lema 4.1) aplicado a la función generatriz de los coeficientes.
- La tasa de decaimiento de la integral $s$ se determina deformando el contorno de integración hacia una trayectoria que pasa por un punto de silla complejo $y_c$ , maximizando la función de fase $F(y)$ .
Optimización de parámetros: El autor define una función de cota auxiliar explícita $B(\alpha, \beta)$ (donde $\alpha, \beta$ son exponentes normalizados) que representa la estimación resultante de la medida de irracionalidad. El artículo demuestra que el punto original de Zeilberger–Zudilin no es un minimizador local para esta función de dos parámetros. Una búsqueda dentro de la "familia diagonal" ( $A_1 = A_2$ ) identifica un punto racional específico $(A_1, A_2) = (1857/2785, 1857/2785)$ que produce un límite inferior.
Prueba de optimalidad local: El artículo demuestra que este punto racional específico es un minimizador local estricto bidimensional de la función de cota $B(\alpha, \beta)$ dentro de la cámara aritmética admisible. Esto se logra derivando una fórmula de variación logarítmica exacta para el término de ahorro de primos y analizando las derivadas direccionales a través de doce sectores en el espacio de parámetros.

3. Contribuciones clave y resultados

Nuevo límite superior: El resultado principal (Teorema 1.1) establece que:
$\mu(\pi) < 7.101862832357$
Esto mejora la cota de Zeilberger–Zudilin en más de $0.001342501780$, una reducción de aproximadamente el $0.0189\%$ .
Selección de parámetros: Los parámetros específicos utilizados son $(a, b, c) = (1857, 3714, 5570)$ , que corresponden a los exponentes normalizados $(\alpha^*, \beta^*) = (1857/5570, 1857/2785)$ .
Minimalidad local: El Teorema 1.2 y el Teorema 6.3 prueban que el punto de parámetro elegido es un minimizador local estricto de la función de cota auxiliar $B(\alpha, \beta)$ . La prueba implica un análisis riguroso de las derivadas direccionales del término de ahorro de primos $\phi(\alpha, \beta)$ , mostrando que cualquier pequeña perturbación en los parámetros aumenta la cota.
Encierro numérico riguroso: El artículo proporciona encierros racionales explícitos y rigurosos para todas las constantes intermedias, incluyendo la tasa de ahorro de primos $\omega$ , la tasa de crecimiento de coeficientes $r$ y la tasa de decaimiento de la integral $s$ . Estos cálculos evitan las suposiciones de punto flotante, utilizando aritmética racional exacta y límites de intervalo para logaritmos y números de Bernoulli.

4. Significación y alcance
El artículo reclama significación en dos áreas específicas:

Mejora cuantitativa: Proporciona un nuevo límite superior para $\mu(\pi)$ que mejora la cota de Zeilberger–Zudilin, demostrando que la construcción de parámetros fijos puede refinarse introduciendo un segundo exponente independiente.
Perspectiva estructural: Establece que el punto diagonal previamente óptimo no es un óptimo local para la deformación de dos parámetros. El trabajo proporciona una comprensión geométrica y analítica detallada de la "cámara aritmética" donde se definen estas cotas, probando que el nuevo punto es un minimizador local en un sentido bidimensional.

Limitaciones y afirmaciones
El autor establece explícitamente el alcance modesto de los resultados:

El resultado es un límite superior, no el valor exacto de $\mu(\pi)$ .
La minimalidad local (Teorema 1.2) es una afirmación local sobre la función auxiliar específica $B(\alpha, \beta)$ dentro de la cámara admisible. No pretende ser una optimalidad global sobre todas las construcciones posibles, todos los posibles ahorros de denominadores o todos los parámetros positivos.
La mejora es específica para la familia de integrales definidas por la deformación de dos exponentes; esto no implica que la verdadera medida de irracionalidad de $\pi$ esté cerca de este límite, ni descarta mejores límites provenientes de construcciones enteramente distintas.

Divulgación
El artículo señala que la IA Generativa (OpenAI's GPT-5.6 Sol y GPT-6 Astra) asistió en la exploración de parámetros, el desarrollo de pruebas, la computación y la redacción del manuscrito. Sin embargo, el autor afirma la plena responsabilidad de todas las afirmaciones matemáticas y del texto final.

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