Existence analysis of nonlinear $q$-fractional differential inclusions with $p$-Laplacian operators and an aerospace vibration-modeling illustration

技术摘要：含有 $p$-拉普拉斯算子的非线性 $q$-分数阶微分包含的存在性分析

问题表述
本研究探讨了一个耦合的非线性 $q$-分数阶微分包含系统，该系统涉及嵌套的 $p$-拉普拉斯算子和非局部边界条件。该系统定义在区间 $\varrho \in [0, 1]$ 上，由 $k$ 个耦合方程组成。其核心结构涉及算子的顺序分层：

1. 内层： 一个关于状态向量 $w_i$ 的阶数为 $\rho_i$ ($2 < \rho_i < 3$) 的 Caputo $q$-分数阶导数，通过 $p$-拉普拉斯算子 $\Phi_p$ 进行关联。
2. 中间层： 内层输出经由 Jackson $q$-导数 $D_q$ 进行变换，随后受到阶数为 $\xi_i$ ($3 < \xi_i < 4$) 的 Riemann–Liouville $q$-分数阶导数的作用，并通过逆 $p$-拉普拉斯算子 $\Phi_z$（其中 $z$ 是 $p$ 的共轭指数）进行关联。
3. 外层： 生成的函数受到阶数为 $\varsigma_i$ ($2 < \varsigma_i < 3$) 的 Caputo $q$-分数阶导数的作用。

该系统被表述为如下微分包含：
$$D^{\varsigma_i}_{q,0+} x_i(\varrho) + \vartheta h_i(\varrho, w_i(\varrho)) \in H_i(\varrho, w(\varrho), D_q w(\varrho))$$
其中 $H_i$ 是一个具有紧致凸值的多值函数，依赖于完整的状态向量及其 $q$-导数。该问题受制于三层不同的边界条件：

• 外层： 涉及 $\varrho=0, 1$ 以及特定点 $\epsilon$ 处值的非局部条件。
• 中间层： 涉及 $u_i$ 及其在 $0, 1, \epsilon,$ 和 $\eta$ 处的导数条件。
• 内层： 涉及 $w_i$ 及其在 $0, 1$处的导数以及在$[0, \eta]$ 上的积分约束条件。

方法论
作者采用了一种结合 $q$-分数阶微积分、格林函数理论和多值不动点分析的构造性方法。

1. 分层分解： 将复杂的嵌套系统解构为三个连续的边值问题。作者为每一层推导了显式的格林函数表示形式（$G^{(1)}_i, G^{(2)}_i, G^{(3)}_i$），通过先求解外层问题来确定中间层的强迫项，依此类推。
2. 积分形式化： 利用推导出的格林函数将微分包含转化为等价的积分包含。这使得该问题可以重构为作用在乘积函数空间 $(V_q)^k$ 上的多值算子 $L$ 的不动点问题。
3. 不动点理论： 利用 Bohnenblust–Karlin 不动点定理（Schauder 定理在多值函数中的推广）建立解的存在性。作者验证了算子 $L$ 是上半连续的，具有紧致凸值，并且将有界闭凸集映射到其自身。这一验证依赖于对多值函数 $H_i$ 和扰动项 $h_i$ 所施加的特定增长条件（假设 H1–H4）。

主要结果

• 存在性定理： 本文的主要数学贡献是定理 3.4，它为耦合系统在空间 $(V_q)^k$ 中至少存在一个解提供了充分条件。这些条件要求多值函数是 $L^1$-Carathéodory 的，并相对于 $p$-拉普拉斯算子的共轭指数和格林函数的范数满足特定的增长界限。
• 说明性示例： 文中展示了一个标量情况（$k=1$），采用了特定的参数值（$q=1/2, p=z=2$ 等）以演示存在性定理的适用性。作者验证了对于该特定设置，假设仍然成立，并提供了格林函数和选择剖面的数值可视化图表。
• 航空航天振动建模： 论文包含了一个实际应用说明，模拟了多旋翼无人机（UAV）上惯性测量单元（IMU）的振动隔离。使用了一个基座激发的单自由度模型，其中阻尼项被替换为 Caputo $q$-分数阶导数。该项旨在捕捉粘弹性安装层中的记忆相关行为。
  • 数值比较： 该模型对比了三种配置：刚性安装、经典粘性隔离器以及所提出的 $q$-分数阶隔离器。
  • 研究发现： 结果表明，在选定参数下，虽然经典粘性隔离器在降低均方根（RMS）传递加速度方面效果最显著，但 $q$-分数阶隔离器相比于刚性安装提供了显著的中间水平的减振效果。作者将其解释为证据，表明 $q$-分数阶项可以有效地模拟具有记忆效应的阻尼，尽管他们并未声称对于测试的特定参数，其性能优于粘性阻尼。

意义与主张
本文声称其主要贡献在于为所提出的非线性 $q$-分数阶微分包含系统提供了严格的存在性结果，该系统具有以下四个特征的独特组合：

1. $k$ 维耦合结构。
2. 涉及 Caputo 和 Riemann–Liouville $q$-导数并通过非线性 $p$-拉普拉斯变换相连的嵌套算子结构。
3. 多值函数对完整状态向量及其 $q$-导数的依赖性。
4. 在不同算子层级上作用的非局部边界条件。

作者强调，为了处理这些同时存在的特征，开发（层级格林函数和乘积空间中的不动点形式化）数学框架是必要的。航空航天插图旨在将抽象的存在性理论与涉及记忆相关阻尼的物理背景联系起来，展示了该理论框架如何在工程建模中实例化。论文的结论较为谦逊，指出未来的工作可以解决唯一性、稳定性、数值近似以及面向控制的扩展问题，但并未对振动模型中分数阶参数的最优性做出任何主张。