Existence analysis of nonlinear $q$-fractional differential inclusions with $p$-Laplacian operators and an aerospace vibration-modeling illustration

Resumen Técnico: Análisis de Existencia de Inclusiones Diferenciales $q$-Fraccionarias No Lineales con Operadores $p$-Laplacianos

Formulación del Problema
Esta investigación investiga un sistema acoplado de inclusiones diferenciales $q$-fraccionarias no lineales que involucran operadores $p$-Laplacianos anidados y condiciones de contorno no locales. El sistema está definido en el intervalo $\varrho \in [0, 1]$ y consiste en $k$ ecuaciones acopladas. La estructura central involucra un estratificación secuencial de operadores:

1. Capa Interna: Una derivada $q$-fraccionaria de Caputo de orden $\rho_i$ ($2 < \rho_i < 3$) que actúa sobre el vector de estado $w_i$, vinculada mediante el operador $p$-Laplaciano $\Phi_p$.
2. Capa Intermedia: El resultado de la capa interna es transformado por la derivada $q$-Jackson $D_q$ y luego sometido a una derivada $q$-fraccionaria de Riemann–Liouville de orden $\xi_i$ ($3 < \xi_i < 4$), vinculada mediante el $p$-Laplaciano inverso $\Phi_z$ (donde $z$ es el exponente conjugado de $p$).
3. Capa Externa: La función resultante es actuada por una derivada $q$-fraccionaria de Caputo de orden $\varsigma_i$ ($2 < \varsigma_i < 3$).

El sistema se formula como una inclusión diferencial:
$$D^{\varsigma_i}_{q,0+} x_i(\varrho) + \vartheta h_i(\varrho, w_i(\varrho)) \in H_i(\varrho, w(\varrho), D_q w(\varrho))$$
donde $H_i$ es una multifunción con valores convexos compactos, que depende del vector de estado completo y su derivada $q$. El problema está sujeto a tres capas distintas de condiciones de contorno:

• Capa externa: Condiciones no locales que involucran valores en $\varrho=0, 1,$ y un punto específico $\epsilon$.
• Capa intermedia: Condiciones que involucran a $u_i$ y sus derivadas en $0, 1, \epsilon,$ y $\eta$.
• Capa interna: Condiciones que involucran a $w_i$ y sus derivadas en $0, 1,$ y una restricción integral sobre $[0, \eta]$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque constructivo que combina el cálculo $q$-fraccionario, la teoría de la función de Green y el análisis de puntos fijos de valores múltiples.

1. Descomposición por Capas: El complejo sistema anidado se desacopla en tres problemas de valor de contorno secuenciales. Los autores derivan representaciones explícitas de las funciones de Green ($G^{(1)}_i, G^{(2)}_i, G^{(3)}_i$) para cada capa, resolviendo primero el problema externo para determinar el término de forzamiento para la capa intermedia, y así sucesivamente.
2. Formulación Integral: La inclusión diferencial se convierte en una inclusión integral equivalente utilizando las funciones de Green derivadas. Esto permite recastar el problema como un problema de punto fijo para un operador multivaluado $L$ que actúa sobre un espacio de funciones producto $(V_q)^k$.
3. Teoría de Punto Fijo: La existencia de una solución se establece utilizando el teorema del punto fijo de Bohnenblust–Karlin (una generalización del teorema de Schauder para multifunciones). Los autores verifican que el operador $L$ es semicontinuo superior, tiene valores convexos compactos y mapea un conjunto cerrado, convexo y acotado en sí mismo. Esta verificación se basa en condiciones de crecimiento específicas (Hipótesis H1–H4) impuestas sobre la multifunción $H_i$ y el término de perturbación $h_i$.

Resultados Clave

• Teorema de Existencia: La principal contribución matemática es el Teorema 3.4, que proporciona condiciones suficientes para la existencia de al menos una solución al sistema acoplado en el espacio $(V_q)^k$. Las condiciones requieren que la multifunción sea $L^1$-Carathéodory y satisfaga límites de crecimiento específicos relativos a las normas de las funciones de Green y los exponentes conjugados del $p$-Laplaciano.
• Ejemplo Ilustrativo: Se presenta un caso escalar ($k=1$) con valores de parámetros específicos ($q=1/2, p=z=2,$ etc.) para demostrar la aplicabilidad del teorema de existencia. Los autores verifican que las hipótesis se cumplen para esta configuración específica y proporcionan visualizaciones numéricas de las funciones de Green y los perfiles de selección.
• Modelado de Vibración Aeroespacial: El artículo incluye una ilustración práctica que modela el aislamiento de vibraciones de una Unidad de Medición Inercial (IMU) en un UAV de tipo multirotor. Se utiliza un modelo de un solo grado de libertad excitado por la base donde el término de amortiguamiento es reemplazado por una derivada $q$-fraccionaria de Caputo. Este término tiene como objetivo capturar el comportamiento dependiente de la memoria en capas de montaje viscoelásticas.
  • Comparación Numérica: El modelo compara tres configuraciones: montaje rígido, un aislador viscoso clásico y el propuesto aislador $q$-fraccionario.
  • Hallazgos: Los resultados muestran que, si bien el aislador viscoso clásico proporciona la mayor reducción en la aceleración transmitida de Raíz Cuadrática Media (RMS) para los parámetros seleccionados, el aislador $q$-fraccionario ofrece una reducción intermedia significativa en comparación con el montaje rígido. Los autores interpretan esto como evidencia de que el término $q$-fraccionario puede modelar eficazmente el amortiguamiento dependiente de la memoria, aunque no afirman que sea superior al amortiguamiento viscoso para los parámetros específicos probados.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que su principal contribución es el riguroso resultado de existencia para el sistema de inclusión diferencial $q$-fraccionario no lineal propuesto, el cual presenta una combinación única de cuatro características:

1. Una estructura acoplada de $k$ dimensiones.
2. Una estructura de operadores anidados que involucra derivadas $q$-fraccionarias de Caputo y Riemann–Liouville vinculadas por transformaciones no lineales del $p$-Laplaciano.
3. Dependencia de la multifunción respecto al vector de estado completo y su derivada $q$.
4. Condiciones de contorno no locales que actúan en diferentes capas de los operadores.

Los autores enfatizan que el marco matemático desarrollado (funciones de Green por capas y formulación de punto fijo en espacios producto) es necesario para manejar estas características simultáneas. La ilustración aeroespacial sirve para conectar la teoría de existencia abstracta con un contexto físico relacionado con el amortiguamiento dependiente de la memoria, demostrando cómo el marco teórico puede instanciarse en el modelado de ingeniería. El artículo concluye modestamente, señalando que trabajos futuros podrían abordar la unicidad, la estabilidad, la aproximación numérica y las extensiones orientadas al control, pero no realiza afirmaciones sobre la optimalidad de los parámetros fraccionarios en el modelo de vibración.