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Existence analysis of nonlinear $q$ -fractional differential inclusions with $p$ -Laplacian operators and an aerospace vibration-modeling illustration

Cet article établit l'existence de solutions pour un système couplé d'inclusions différentielles $q$ -fractionnaires non linéaires impliquant des opérateurs $p$ -laplaciens imbriqués et des conditions aux limites non locales, tout en démontrant la pertinence pratique du modèle d'amortissement fractionnaire $q$ -Caputo proposé à travers une application de vibration aérospatiale.

Auteurs originaux : Vu Vu, Behroz Mohammadiyan, Hojjat Afshari, Ardashir Mohammadzadeh

Publié 2026-09-02

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Vu Vu, Behroz Mohammadiyan, Hojjat Afshari, Ardashir Mohammadzadeh

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Dans le monde de l'ingénierie, les machines sont rarement parfaites. Elles vibrent, elles tremblent et elles se souviennent de la manière dont elles ont été déplacées par le passé. Lorsqu'un drone vole, ses moteurs tournent avec un rythme qui envoie de minuscules tremblements à travers sa structure. Si ces tremblements atteignent les capteurs délicats à l'intérieur, le drone peut perdre son équilibre ou mal lire sa position. Pour empêcher cela, les ingénieurs utilisent souvent des matériaux souples pour amortir les capteurs, espérant ainsi absorber les secousses. Cependant, ces matériaux sont complexes. Ils ne se comportent pas simplement comme des ressorts simples ou de simples amortisseurs ; leur comportement dépend de la vitesse à laquelle ils se déplacent et de la manière dont ils se sont déplacés auparavant. Cette « mémoire » du mouvement passé les rend difficiles à prédire avec les mathématiques standards. Les scientifiques cherchent depuis longtemps de meilleurs moyens de décrire cette mémoire, en utilisant une branche des mathématiques qui traite de pas fractionnaires plutôt que de nombres entiers, permettant une description plus précise de la façon dont les choses changent au fil du temps.

Une équipe de chercheurs a franchi une étape importante en prouvant qu'un nouveau modèle mathématique complexe fonctionne réellement. Ils se sont concentrés sur un système qui combine trois caractéristiques difficiles : un type de calcul qui utilise un type spécifique de pas fractionnaire, une règle pour gérer les matériaux qui changent de rigidité selon la force avec laquelle ils sont poussés, et un ensemble de conditions qui lient le début et la fin d'un processus de manière non conventionnelle. En traitant le problème comme une collection de résultats possibles plutôt que comme un chemin unique et fixe, ils ont démontré qu'une solution à ce système compliqué existe de manière garantie. Leur travail fournit une base mathématique solide pour l'utilisation de ces modèles avancés afin de décrire les vibrations du monde réel, garantissant que les ingénieurs puissent compter sur les équations lors de la conception d'une meilleure protection pour les équipements sensibles.

Les chercheurs ont abordé un problème qui est essentiellement une chaîne de trois couches liées. Imaginez un système où le mouvement d'une partie dépend du mouvement de la partie précédente, qui dépend elle-même de la partie avant elle. Dans leur modèle, la couche la plus externe décrit une force qui change en fonction d'une règle fractionnaire, la couche intermédiaire gère une transformation qui dépend de la forme de la force, et la couche la plus interne décrit le mouvement réel de l'objet. Chaque couche est connectée aux autres, et l'ensemble du système est lié par des règles qui observent l'histoire complète du mouvement, et non pas seulement l'instant présent. Le défi était de prouver que, malgré cette complexité et le fait que les forces impliquées puissent être incertaines ou varier dans une certaine plage, il existe toujours au moins une manière valide pour le système de se comporter.

Pour résoudre cela, l'équipe a décomposé le problème en morceaux gérables. Ils ont construit une carte spéciale, connue en mathématiques sous le nom de fonction de Green, pour chaque couche du système. Cette carte agit comme un traducteur, convertissant les règles complexes du système en une forme qui peut être analysée. En superposant ces cartes, ils ont créé une image complète de la réponse du système à n'importe quelle entrée donnée. Ils ont ensuite utilisé un outil mathématique puissant appelé théorème du point fixe. Cet outil permet aux mathématiciens de montrer que si vous appliquez continuellement un ensemble de règles à un système, vous finirez par atteindre un point où le système se stabilise selon un schéma stable. Les chercheurs ont prouvé que pour leur système spécifique, ce schéma stable est garanti, ce qui signifie que les équations décrivant la vibration auront toujours une solution.

Pour démontrer que leur théorie n'est pas seulement des mathématiques abstraites mais possède une valeur dans le monde réel, l'équipe a appliqué ses conclusions à un problème d'ingénierie spécifique : la protection des capteurs d'un drone. Ils ont modélisé un scénario où un capteur est monté sur un châssis qui tremble à cause des rotors du drone. Ils ont comparé trois façons différentes de monter le capteur : une connexion rigide où le capteur est directement boulonné au châssis, un amortisseur traditionnel utilisant une simple résistance fluide, et leur nouveau modèle utilisant la règle de mémoire fractionnaire. Dans leurs simulations, le support rigide permettait à la force totale de la vibration de passer, tandis que l'amortisseur traditionnel réduisait considérablement les secousses. Le nouveau modèle fractionnaire réduisait également la vibration, bien que moins que le modèle traditionnel dans ce cas de test spécifique.

Les résultats de cette simulation, qui mesurait l'accélération ressentie par le capteur, ont montré que le nouveau modèle capturait avec succès le comportement dépendant de la mémoire du matériau de montage. L'amortisseur traditionnel a réduit la vibration d'environ 74 % par rapport au support rigide, tandis que le nouveau modèle fractionnaire l'a réduite d'environ 43 %. Cette différence souligne que, bien que le modèle traditionnel ait été plus efficace pour les réglages spécifiques utilisés, le modèle fractionnaire offre un type de description différent qui tient compte de l'historique du mouvement. Les chercheurs ont noté que cela ne signifie pas que le nouveau modèle est toujours meilleur, mais plutôt qu'il constitue un outil valide et flexible pour décrire des systèmes où le passé affecte le présent.

L'étude conclut que le cadre mathématique développé est robuste et fiable. En prouvant l'existence de solutions pour ces systèmes complexes à plusieurs couches, ils ont levé un obstacle majeur à l'utilisation de ces équations avancées dans la conception de l'ingénierie. Cela signifie qu'à l'avenir, les ingénieurs pourront utiliser ces modèles pour concevoir de meilleurs systèmes d'isolation des vibrations pour les drones, les satellites et d'autres machines sensibles. Ce travail comble le fossé entre la théorie mathématique abstraite et l'ingénierie pratique, offrant une nouvelle façon de comprendre et de contrôler les vibrations subtiles, dictées par la mémoire, qui affectent les machines du monde moderne.

Résumé Technique : Analyse de l'existence d'inclusions différentielles $q$ -fractionnaires non linéaires avec des opérateurs de $p$ -Laplacien

Formulation du Problème
Cette recherche étudie un système couplé d'inclusions différentielles $q$ -fractionnaires non linéaires impliquant des opérateurs de $p$ -Laplacien imbriqués et des conditions aux limites non locales. Le système est défini sur l'intervalle $\varrho \in [0, 1]$ et se compose de $k$ équations couplées. La structure centrale repose sur une superposition séquentielle d'opérateurs :

Couche interne : Une dérivée $q$ -fractionnaire de Caputo d'ordre $\rho_i$ ( $2 < \rho_i < 3$ ) agissant sur le vecteur d'état $w_i$ , liée via l'opérateur de $p$ -Laplacien $\Phi_p$ .
Couche intermédiaire : Le résultat de la couche interne est transformé par la dérivée $q$ -Jackson $D_q$ , puis soumis à une dérivée $q$ -fractionnaire de Riemann–Liouville d'ordre $\xi_i$ ( $3 < \xi_i < 4$ ), liée via l'inverse du $p$ -Laplacien $\Phi_z$ (où $z$ est l'exposant conjugué de $p$ ).
Couche externe : La fonction résultante est soumise à une dérivée $q$ -fractionnaire de Caputo d'ordre $\varsigma_i$ ( $2 < \varsigma_i < 3$ ).

Le système est formulé sous la forme d'une inclusion différentielle :
$D^{\varsigma_i}_{q,0+} x_i(\varrho) + \vartheta h_i(\varrho, w_i(\varrho)) \in H_i(\varrho, w(\varrho), D_q w(\varrho))$
où $H_i$ est une multifunction à valeurs convexes compactes, dépendant du vecteur d'état complet et de sa dérivée $q$ . Le problème est soumis à trois couches distinctes de conditions aux limites :

Couche externe : Conditions non locales impliquant les valeurs en $\varrho=0, 1,$ et un point spécifique $\epsilon$ .
Couche intermédiaire : Conditions impliquant $u_i$ et ses dérivées en $0, 1, \epsilon,$ et $\eta$ .
Couche interne : Conditions impliquant $w_i$ et ses dérivées en $0, 1,$ et une contrainte intégrale sur $[0, \eta]$ .

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche constructive combinant le calcul $q$ -fractionnaire, la théorie des fonctions de Green et l'analyse de points fixes multivalués.

Décomposition par couches : Le système complexe imbriqué est découplé en trois problèmes de valeurs limites séquentiels. Les auteurs dérivent des représentations explicites des fonctions de Green ( $G^{(1)}_i, G^{(2)}_i, G^{(3)}_i$ ) pour chaque couche, résolvant d'abord le problème externe pour déterminer le terme de forçage de la couche intermédiaire, et ainsi de suite.
Formulation intégrale : L'inclusion différentielle est convertie en une inclusion intégrale équivalente en utilisant les fonctions de Green dérivées. Cela permet de recaster le problème sous la forme d'un problème de point fixe pour un opérateur multivalué $L$ agissant sur un espace de fonctions produit $(V_q)^k$ .
Théorie des points fixes : L'existence d'une solution est établie en utilisant le théorème de point fixe de Bohnenblust–Karlin (une généralisation du théorème de Schauder pour les multifunctions). Les auteurs vérifient que l'opérateur $L$ est semi-continu supérieur, possède des valeurs convexes compactes et transforme un ensemble borné, fermé et convexe en lui-même. Cette vérification repose sur des conditions de croissance spécifiques (Hypothèses H1–H4) imposées sur la multifunction $H_i$ et le terme de perturbation $h_i$ .

Résultats Clés

Théorème d'existence : La principale contribution mathématique est le Théorème 3.4, qui fournit des conditions suffisantes pour l'existence d'au moins une solution au système couplé dans l'espace $(V_q)^k$ . Les conditions exigent que la multifunction soit $L^1$ -Carathéodory et satisfasse des bornes de croissance spécifiques par rapport aux normes des fonctions de Green et aux exposants conjugués du $p$ -Laplacien.
Exemple illustratif : Un cas scalaire ( $k=1$ ) est présenté avec des valeurs de paramètres spécifiques ( $q=1/2, p=z=2,$ etc.) pour démontrer l'applicabilité du théorème d'existence. Les auteurs vérifient que les hypothèses sont respectées pour cette configuration spécifique et fournissent des visualisations numériques des fonctions de Green et des profils de sélection.
Modélisation des vibrations aérospatiales : L'article inclut une illustration pratique modélisant l'isolation des vibrations d'une unité de mesure inertielle (IMU) sur un drone multirotor. Un modèle à un degré de liberté excité par la base est utilisé, où le terme d'amortissement est remplacé par une dérivée $q$ $q$ -fractionnaire de Caputo. Ce terme est destiné à capturer le comportement dépendant de la mémoire dans les couches de montage viscoélastiques.
- Comparaison numérique : Le modèle compare trois configurations : un montage rigide, un isolateur visqueux classique et l'isolateur $q$ -fractionnaire proposé.
- Résultats : Les résultats montrent que si l'isolateur visqueux classique offre la réduction la plus élevée de l'accélération transmise RMS pour les paramètres sélectionnés, l'isolateur $q$ -fractionnaire offre une réduction intermédiaire significative par rapport au montage rigide. Les auteurs interprètent cela comme la preuve que le terme $q$ -fractionnaire peut modéliser efficacement l'amortissement dépendant de la mémoire, bien qu'ils ne prétendent pas qu'il est supérieur à l'amortissement visqueux pour les paramètres testés.

Signification et Revendications
L'article affirme que sa principale contribution est le résultat d'existence rigoureux pour le système d'inclusion différentielle $q$ -fractionnaire non linéaire proposé, qui présente une combinaison unique de quatre caractéristiques :

Une structure couplée à $k$ dimensions.
Une structure d'opérateurs imbriqués impliquant des dérivées $q$ -fractionnaires de Caputo et de Riemann–Liouville liées par des transformations non linéaires de $p$ -Laplacien.
Une dépendance de la multifunction vis-à-vis du vecteur d'état complet et de sa dérivée $q$ .
Des conditions aux limites non locales agissant à différents niveaux d'opérateurs.

Les auteurs soulignent que le cadre mathématique développé (fonctions de Green par couches et formulation de point fixe dans des espaces produits) est nécessaire pour traiter ces caractéristiques simultanées. L'illustration aérospatiale sert à relier la théorie de l'existence abstraite à un contexte physique impliquant un amortissement dépendant de la mémoire, démontrant comment le cadre théorique peut être instancié dans la modélisation technique. L'article conclut modestement, notant que des travaux futurs pourraient aborder l'unicité, la stabilité, l'approximation numérique et les extensions orientées vers le contrôle, mais ne fait aucune revendication concernant l'optimalité des paramètres fractionnaires dans le modèle de vibration.

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