📈 economics

On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

تتقصى هذه الورقة خصائص الحالة المستقرة لنموذج نمو داخلي عام من نوع "بوند" (Bond-type) يتميز بدالتي إنتاج من نوع "سيس" (CES) متمايزتين، وتثبت أن مثل هذا النظام لا يستلزم بالضرورة وجود استقرار مسار السرج.

المؤلفون الأصليون: Constantin Chilarescu

نُشر 2026-04-13

📖 4 دقيقة قراءة☕ قراءة في استراحة قهوة

CC BY 4.0

المؤلفون الأصليون: Constantin Chilarescu

البحث الأصلي مرخَّص بموجب CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ هذا شرح مولَّده بالذكاء الاصطناعي للبحث أدناه. لم يكتبه المؤلفون ولم يصادقوا عليه. وللتحقق من الدقة التقنية، يرجى الرجوع إلى البحث الأصلي. اقرأ إخلاء المسؤولية الكامل

تخيل الاقتصاد كمصنع ضخم، مستدام ذاتياً، لا يتوقف أبداً عن النمو. هذا المصنع يحتوي على قسمين رئيسيين:

قسم السلع: يقوم ببناء الأشياء المادية مثل الآلات، والمباني، والأدوات (رأس المال المادي).
قسم التعليم: يقوم ببناء المعرفة، والمهارات، والخبرات (رأس المال البشري).

لكي يستمر هذا المصنع في النمو للأبد دون أن ينفد وقوده، فإنه يحتاج إلى موازنة مقدار الوقت والموارد التي ينفقها على بناء الآلات مقابل تعليم الناس.

القصة القديمة (بوند وآخرون، 1996)

في عام 1996، كتب مجموعة من الاقتصاديين يُدعون بوند وزملاؤه ورقة بحثية شهيرة حول هذا المصنع. قالوا:

"لقد وجدنا طريقة مثالية ومستقرة لعمل هذا المصنع. إذا بدأت من أي نقطة، فسيجد المصنع طريقه طبيعياً نحو هذا المسار المثالي، مثل قطار على سكة حديد تقود دائماً إلى المحطة. نحن نسمي هذا 'استقرار مسار السرج' (Saddle-path stability). وهذا يعني أن النظام يمكن التنبؤ به وآمن."

لقد افترضوا أن قواعد الإنتاج في المصنع بسيطة ومرنة (مثل وصفة معيارية).

القصة الجديدة (تشيلاريسكو، 2026)

قرر مؤلف هذه الورقة، كونستانتين تشيلاريسكو، اختبار ذلك الادعاء باستخدام وصفة أكثر تعقيداً وواقعية. فبدلاً من الوصفة البسيطة، استخدم دوال إنتاج CES.

التشبيه: "وعاء الخلط"
تخيل دالة الإنتاج كأنها وصفة لتحضير "سموذي".

الوصفة البسيطة (كوب-دوغلاس): يجب عليك استخدام 50% فاكهة و50% زبادي بالضبط لصنع السموذي المثالي. إذا غيرت النسبة، سيتغير الطعم بشكل متوقع.
الوصفة المعقدة (CES): يمكنك خلط الفاكهة والزبادي بأي نسبة تقريباً، لكن "الطعم" (الكفاءة) يتغير بطريقة معقدة وغير خطية اعتماداً على كمية كل منهما. أحياناً، إضافة المزيد من الفاكهة تجعل طعم الزبادي أفضل؛ وأحياناً أخرى تجعله أسوأ.

يقول تشيلاريسكو: "افترض بوند أن المصنع يستخدم الوصفة البسيطة. ولكن ماذا لو كان المصنع يستخدم الوصفة المعقدة والمراوغة (CES) حيث تمتلك قواعد الخلط بين القسمين خصائص مختلفة؟"

الاكتشاف الكبير

أجرى تشيلاريسكو الحسابات الرياضية لهذا المصنع المعقد ووجد نتيجة صادمة: "مسار السرج" غير موجود.

ماذا يعني ذلك باللغة البسيطة؟
تخيل أنك تحاول موازنة مكنسة على إصبعك.

ادعاء بوند: "إذا حركت يدك بعيداً عن المركز قليلاً، فإن المكنسة ستعود طبيعياً إلى المركز وتبقى هناك." (مستقر).
ما وجده تشيلاريسكو: "إذا كانت المكنسة مصنوعة من هذه المادة الغريبة والمعقدة (دوال CES)، وحركت يدك قليلاً، فقد تتأرجح المكنسة، أو تدور، أو تسقط بطريقة لا يمكننا التنبؤ بها. ليس لديها 'مسار' مضمون تتبعه للعودة إلى الاستقرار."

من الناحية التقنية، فإن "الخريطة" الرياضية التي توجه الاقتصاد للعودة إلى مسار النمو المستقر تنهار. يصبح النظام معقداً للغاية بحيث لا يمكن ضمان استقراره بشكل منظم. تصبح القيمة "المُحددة" (وهي مقياس رياضي للاستقرار) صفراً، وهو ما يشبه تحول إشارة المرور إلى اللون الأصفر؛ فهي لا تخبرك بالذهاب أو التوقف، بل تخبرك بأن الموقف غامض ويتطلب نظرة أعمق بكثير.

لماذا يهم هذا الأمر؟

الأمر ليس مجرد لعبة رياضيات: إذا كان الاقتصاد يشبه هذا المصنع المعقد، فلا يمكننا التأكد بنسبة 100% من أن السياسات الحكومية أو قوى السوق ستوجهنا طبيعياً للعودة إلى مسار نمو مستقر بعد حدوث صدمة (مثل جائحة أو انهيار مالي).
استثناء "الحالة الخاصة": يشير تشيلاريسكو إلى أنه إذا كان القسمان يمتلكان نفس قواعد الخلط تماماً (نفس مرونة الاستبدال)، فإن بوند كان على حق، والنظام يكون مستقراً. لكن في العالم الحقيقي، عملية صنع الآلات وتعليم الناس هي عمليات مختلفة جداً ولها قواعد مختلفة. لذا، فإن السيناريو "غير المستقر" هو الأرجح في الواقع.
"كوب-دوغلاس" لا تزال بخير: من المثير للاهتمام أنه عندما اختبر "الوصفة البسيطة" (كوب-دوغلاس) مرة أخرى، وجد أن النظام كان مستقراً. وهذا يش den على أن عدم الاستقرار يحدث فقط عندما نستخدم قواعد الخلط الأكثر تعقيداً وواقعية.

الخلاصة

هذه الورقة هي تحذير للاقتصاديين. تقول: "لا تفترضوا أن الاقتصاد آلة بسيطة يمكن التنبؤ بها وتجد طريقها دائماً إلى التوازن. إذا كانت قواعد الإنتاج معقدة ومختلفة بين القطاعات، فقد يعلق الاقتصاد في حالة من التذبذب، ونحن بحاجة إلى أدوات جديدة لفهم كيفية تثبيته."

الأمر يشبه إدراك أنه بينما تسير السيارة ذات المحرك البسيط في خط مستقيم، فإن السيارة ذات المحرك المعقد وعالي التقنية قد تنحرف إذا لم يكن لديك نظام توجيه متطور للغاية.

إليك ملخص تقني مفصل للورقة البحثية بعنوان "حول استقرار الحالة المستقرة لنموذج عام للنمو الداخلي باستخدام دالتي إنتاج CES" للباحث كونستانتين تشيلاريسكو.

١. بيان المشكلة

تتناول الورقة ادعاءً نظرياً محدداً ورد في العمل الرائد لـ بوند، تراسك، ووانج (1996) بخصوص نموذج نمو داخلي عام يتكون من قطاعين (قطاع السلع وقطاع التعليم). ادعى بوند وزملاؤه أن نموذجهم العام، بغض النظر عن الأشكال الدالية المحددة لدوال الإنتاج، يمتلك مسار نمو متوازن (BGP) فريداً يتميز بكونه مستقراً على مسار سرجي (saddle-path stable).

يتحدى تشيلاريسكو هذا الادعاء. تبحث الورقة فيما إذا كانت خاصية الاستقرار على المسار السرجي تظل قائمة عندما يتم نمذجة القطاعين باستخدام دوال إنتاج ثابتة المرونة بالاستبدال (CES) متميزة، حيث تختلف مرونات الاستبدال بين القطاعين ( $\sigma_1 \neq \sigma_2$ ). وتتمثل المشكلة المركزية في تحديد ما إذا كان النظام يحتفظ بخصائص الاستقرار التي زعمها بوند وآخرون تحت هذه الأشكال الدالية الأكثر عمومية ومرونة.

٢. المنهجية

يستخدم المؤلف إطاراً صارماً للتحسين الديناميكي باستخدام منهج هاميلتون (Hamiltonian approach).

هيكل النموذج:
- القطاعات: قطاع سلع (ينتج الاستهلاك ورأس المال المادي $k$ ) وقطاع تعليم (ينتج رأس المال البشري $h$ ).
- دوال الإنتاج: يستخدم كلا القطاعين دوال CES متميزة.
  - قطاع السلع: $Y_1 = A_1 [\alpha_1 (kv)^{\psi_1} + (1-\alpha_1)(hu)^{\psi_1}]^{1/\psi_1}$
  - قطاع التعليم: $Y_2 = A_2 [\alpha_2 (k(1-v))^{\psi_2} + (1-\alpha_2)(h(1-u))^{\psi_2}]^{1/\psi_2}$
  - هنا، تمثل $u$ و $v$ تخصيص الحصص من رأس المال البشري والمادي، على التوالي. $\psi_i = \frac{\sigma_i-1}{\sigma_i}$ هي معاملات الاستبدال، حيث $\psi_1 \neq \psi_2$ .
- الهدف: تعظيم المنفعة عبر الزمن $V_0 = \int_0^\infty \frac{c^{1-\varepsilon}-1}{1-\varepsilon} e^{-\rho t} dt$ مع مراعاة قيود تراكم رأس المال.
الخطوات التحليلية:
1. اشتقاق الشروط الضرورية الأولى (FOCs): قام المؤلف ببناء دالة الهاميلتوني واشتقاق الشروط الضرورية للأمثلية، بما في ذلك تطور المتغيرات المرافقة (costate variables $\lambda, \mu$ ) وقواعد التخصيص لـ $u$ و $v$ .
2. التحويل إلى متغيرات ثابتة: لتحليل الحالة المستقرة، يتم تحويل النظام. وبما أن $k$ $k$ و $h$ $h$ و $c$ $c$ تنمو بمعدل مشترك $r^*$ $r^{*}$ على مسار النمو المتوازن (BGP)، فقد عرّف المؤلف متغيرات ثابتة:
  - $z = k/h$ (نسبة رأس المال المادي إلى رأس المال البشري)
  - $q = c/k$ (نسبة الاستهلاك إلى رأس المال)
  - $u$ و $v$ (حصص التخصيص، وهي ثابتة على مسار النمو المتوازن).
3. اختزال النظام: تم اختزال النظام الديناميكي الأصلي المكون من 5 متغيرات إلى نظام من المعادلات التفاضلية التي تصف ديناميكيات $z$ و $q$ و $u$ و $v$ .
4. تحليل الاستقرار: يقيم المؤلف مصفوفة جاكوبي (Jacobian matrix) للنظام المختزل عند الحالة المستقرة لتحديد القيم الذاتية (eigenvalues) وتقييم الاستقرار.

٣. المساهمات الرئيسية

تقدم الورقة ثلاث مساهمات نظرية رئيسية:

دحض الاستقرار العام على المسار السرجي: أثبت المؤلف أن ادعاء الاستقرار على المسار السرجي المقدم من قبل بوند وآخرون (1996) لا ينطبق في الحالة العامة لدالتي إنتاج CES متميزتين.
تحديد محدد صفري: أحد النتائج التقنية الحاسمة هو أنه في حالة CES مع معاملات استبدال متميزة، يعتمد المتغير $z$ (نسبة رأس المال) صراحة على متغيرات التحكم $u$ و $v$ . وبالتالي، فإن محدد مصفوفة جاكوبي عند الحالة المستقرة يساوي صفراً.
التمييز عن حالة كود-دوجلاس (Cobb-Douglas): تقارن الورقة بين حالة CES وحالة كود-دوغلاس (حيث $\psi_1 = \psi_2 = 0$ ). وتوضح أنه بينما تسمح حالة كود-دوغلاس بالاختزال إلى نظام مكون من 3 متغيرات يمكن أن يكون مستقراً على المسار السرجي (كما أكدت المحاكاة الرقمية)، فإن حالة CES العامة تؤدي إلى نظام متدهور (degenerate) حيث لا يكفي تحليل الاستقرار الخطي القياسي لإثبات الاستقرار على المسار السرجي.

٤. النتائج

أ. وجود وفرادة الحالة المستقرة

تثبت الورقة وجود مسار نمو متوازن فريد في ظل قيود معينة على المعلمات (Proposition 1).

معدل النمو: يتم تحديد معدل النمو المشترك $r^*$ بواسطة معلمات الاقتصاد والحل الوحيد $w^*$ للمعادلة $P(w)=0$ .
الشروط: يتطلب الوجود حدوداً محددة لمعدل تفضيل الوقت ( $\rho$ ) بالنسبة للاستهلاك والإنتاجية.
شرط العبور (Transversality): يحقق الحل شروط العبور بشرط أن يكون مقلوب مرونة الاستبدال بين الفترات الزمنية $\varepsilon > 1$ .

ب. تحليل الاستقرار (النتيجة الرئيسية)

التدهور (The Degeneracy): في النظام المختزل للمتغيرات الثابتة $(z, q, u, v)$ ، تخلق العلاقة بين $z$ والمتغيرات الضابطة $(u, v)$ تبعية تؤدي إلى جعل محدد مصفوفة جاكوبي صفراً.
الآثار المترتبة: المحدد الصفري يعني أن النظام يمتلك قيمة ذاتية صفرية واحدة على الأقل. لذلك، فإن النظام ليس زائدي الشكل (not hyperbolic)، ولا يمكن الادعاء بالاستقرار على المسار السرجي بناءً على معايير القيم الذاتية القياسية المستخدمة في ورقة بوند وآخرون. قد يظهر النظام سلوكيات تشعب (bifurcation) أو سلوكيات معقدة أخرى بدلاً من التقارب عبر منحنى مستقر فريد.

ج. المقارنة مع كود-دوغلاس والأدلة الرقمية

حالة كود-دوغلاس: عندما تُقيد دوال الإنتاج لتكون من نوع كود-دوغلاس (وهي حالة خاصة من CES)، يتغير هيكل التبعية. يختزل النظام فعلياً إلى ثلاثة متغيرات مستقلة.
المحاكاة الرقمية: أجرى المؤلف محاكاة رقمية لحالة كود-دوغلاس باستخدام مجموعتين مختلفتين من المعلمات. في كلتا الحالتين، تظهر القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي جزءاً حقيقياً سالباً وجزأين حقيقيين موجبين (على سبيل المثال، $EV = [0.16; 0.89; -0.73]$ ). وهذا يؤكد أن نسخة كود-دوغلاس هي بالفعل مستقرة على المسار السرجي، مما يثبت صحة ادعاء بوند وآخرون فقط لهذا الشكل الدالي المحدد، وليس لحالة CES العامة.

٥. الأهمية

التصحيح النظري: تصحح هذه الورقة افتراضاً مقبولاً على نطاق واسع في أدبيات النمو الداخلي. فهي توضح أن خصائص استقرار نماذج التوازن العام حساسة للغاية للشكل الدالي لتقنيات الإنتاج.
الدقة المنهجية: تسلط الورقة الضوء على مخاطر افتراض الاستقرار على المسار السرجي في النماذج العامة دون التحقق من رتبة ومحدد مصفوفة جاكوبي، خاصة عندما تخلق التبعيات بين عدد متغيرات الحالة والتحكم مشكلات تقنية.
الآثار السياساتية: بما أن استقرار مسار النمو يحدد ما إذا كان الاقتصاد سينجذب نحو مسار معين أو سينحرف عنه، فإن حقيقة أن نماذج CES العامة قد تفتقر إلى الاستقرار على المسار السرجي تشير إلى أن التدخلات السياساتية في الاقتصادات ذات مرونات الاستبدال المتباينة قد تؤدي إلى آثار طويلة المدى غير متوقعة مقارنة بتنبؤات كود-دوغلاس القياسية.

في الختام، يثبت تشيلاريسكو أنه بينما يوجد مسار نمو متوازن فريد لنموذج CES ذي القطاعين، فإن النظام يفشل في تحقيق الاستقرار على المسار السرجي بسبب المحدد الصفري في مصفوفة جاكوبي، مما يبطل ادعاء الاستقرار العام الذي قدمه بوند وآخرون (1996) لهذه الفئة من النماذج.