On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

यहाँ कॉन्स्टेंटिन चिल्ारेस्कु (Constantin Chilarescu) के शोध पत्र "On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two CES production functions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बॉन्ड, ट्रस्क और वांग (1996) के एक मौलिक कार्य में किए गए एक विशिष्ट सैद्धांतिक दावे को संबोधित करता है, जो एक सामान्य दो-क्षेत्रीय एंडोजेनस ग्रोथ मॉडल (वस्तु क्षेत्र और शिक्षा क्षेत्र) से संबंधित है। बॉन्ड और अन्य ने दावा किया था कि उनका सामान्य मॉडल, उत्पादन कार्यों के विशिष्ट कार्यात्मक रूपों (functional forms) की परवाह किए बिना, एक अद्वितीय संतुलित विकास पथ (Unique Balanced Growth Path - BGP) रखता है जो कि सैडल-पाथ स्थिर (Saddle-path stable) है।

चिल्ारेस्कु इस दावे को चुनौती देते हैं। यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या स्थिरता का गुण तब भी बना रहता है जब दोनों क्षेत्रों को दो अलग-अलग कॉन्स्टेंट इलास्टिसिटी ऑफ सब्स्टीट्यूशन (CES) उत्पादन कार्यों का उपयोग करके मॉडल किया जाता है, जहाँ प्रतिस्थापन की लोच (elasticities of substitution) दोनों क्षेत्रों के बीच भिन्न होती है ($\sigma_1 \neq \sigma_2$)। मुख्य समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या अधिक सामान्य और लचीले कार्यात्मक रूपों के तहत भी यह प्रणाली उन स्थिरता गुणों को बनाए रखती है जिनका दावा बॉन्ड और अन्य ने किया था।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक हैमिल्टोनियन दृष्टिकोण (Hamiltonian approach) का उपयोग करते हुए एक कठोर गतिशील अनुकूलन ढांचे (dynamic optimization framework) का प्रयोग करते हैं।

• मॉडल संरचना (Model Structure):

  • क्षेत्र (Sectors): एक वस्तु क्षेत्र (उपभोग और भौतिक पूंजी $k$ का उत्पादन करने वाला) और एक शिक्षा क्षेत्र (मानव पूंजी $h$ का उत्पादन करने वाला)।
  • उत्पादन कार्य (Production Functions): दोनों क्षेत्र अलग-अलग CES कार्यों का उपयोग करते हैं।
    • वस्तु क्षेत्र: $Y_1 = A_1 [\alpha_1 (kv)^{\psi_1} + (1-\alpha_1)(hu)^{\psi_1}]^{1/\psi_1}$
    • शिक्षा क्षेत्र: $Y_2 = A_2 [\alpha_2 (k(1-v))^{\psi_2} + (1-\alpha_2)(h(1-u))^{\psi_2}]$
    • यहाँ $u$ और $v$ क्रमशः मानव और भौतिक पूंजी के आवंटन को दर्शाते हैं। $\psi_i = \frac{\sigma_i-1}{\sigma_i}$ प्रतिस्थापन पैरामीटर हैं, जहाँ $\psi_1 \neq \psi_2$ है।
  • उद्देश्य: पूंजी संचय बाधाओं के अधीन अंतर-कालिक उपयोगिता (intertemporal utility) $V_0 = \int_0^\infty \frac{c^{1-\varepsilon}-1}{1-\varepsilon} e^{-\rho t} dt$ को अधिकतम करना।

• विश्लेषणात्मक चरण (Analytical Steps):

  1. प्रथम-क्रम स्थितियों (FOCs) का व्युत्पन्न: लेखक अनुकूलन के लिए आवश्यक शर्तों सहित हैमिल्टोनियन का निर्माण करते हैं और लागत-स्टेट चरों ($\lambda, \mu$) के विकास और $u$ एवं $v$ के आवंटन नियमों को व्युत्पन्न करते हैं।
  2. स्थिर चरों में रूपांतरण (Transformation to Stationary Variables): स्टैडी स्टेट (steady state) का विश्लेषण करने के लिए, प्रणाली को रूपांतरित किया जाता है। चूंकि BGP पर $k, h,$ और $c$ एक समान दर $r^*$ पर बढ़ते हैं, इसलिए लेखक स्थिर चर परिभाषित करते हैं:
     • $z = k/h$ (भौतिक और मानव पूंजी का अनुपात)
     • $q = c/k$ (उपभोग-पूंजी अनुपात)
     • $u$ और $v$ (आवंटन शेयर, जो BGP पर स्थिर रहते हैं)।
  3. सिस्टम न्यूनीकरण (System Reduction): मूल 5-चरणीय गतिशील प्रणाली को $z, q, u,$ और $v$ के विभेदक समीकरणों (differential equations) की एक प्रणाली में कम किया जाता है।
  4. स्थिरता विश्लेषण (Stability Analysis): लेखक स्थिर अवस्था (steady state) पर कम की गई प्रणाली के जैकोबियन मैट्रिक्स (Jacobian matrix) का मूल्यांकन करते हैं ताकि आइगेनवैल्यू (eigenvalues) का निर्धारण किया जा सके और स्थिरता का आकलन किया जा सके।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

यह शोध पत्र तीन प्राथमिक सैद्धांतिक योगदान देता है:

1. सामान्य सैडल-पाथ स्थिरता का खंडन: लेखक सिद्ध करते हैं कि दो अलग-अलग CES उत्पादन कार्यों के सामान्य मामले में बॉन्ड और अन्य (1996) द्वारा किया गया सैडल-पाथ स्थिरता का दावा सत्य नहीं है।
2. शून्य निर्धारक (Zero Determinant) की पहचान: एक महत्वपूर्ण तकनीकी निष्कर्ष यह है कि अलग-अलग प्रतिस्थापन मापदंडों वाले CES मामले में, चर $z$ (पूंजी अनुपात) स्पष्ट रूप से नियंत्रण चरों $u$ और $v$ पर निर्भर करता है। फलस्वरूप, स्थिर अवस्था पर जैकोबियन मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होता है।
3. कोब-डगलस (Cobb-Douglas) मामले से अंतर: यह शोध पत्र CES मामले की तुलना कोब-डगलस (CD) मामले से करता है। यह दिखाता है कि जबकि CD मामला (जहाँ $\psi_1 = \psi_2 = 0$) 3-चरणीय प्रणाली में न्यूनीकरण की अनुमति देता है जो सैडल-पाथ स्थिर हो सकती है (संख्यात्मक सिमुलेशन द्वारा पुष्ट), सामान्य CES मामला एक अपभ्रष्ट (degenerate) प्रणाली की ओर ले जाता है जहाँ मानक रैखिक स्थिरता विश्लेषण, सैडल-पाथ स्थिरता का दावा करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

4. परिणाम (Results)

A. स्थिर अवस्था का अस्तित्व और विशिष्टता (Existence and Uniqueness of the Steady State)

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि विशिष्ट पैरामीटर प्रतिबंधों के तहत एक अद्वितीय संतुलित विकास पथ (unique balanced growth path) मौजूद है (प्रस्ताव 1)।

• विकास दर: सामान्य विकास दर $r^*$, अर्थव्यवस्था के मापदंडों और समीकरण $P(w)=0$ के अद्वितीय समाधान $w^*$ द्वारा निर्धारित होती है।
• शर्तें: अस्तित्व के लिए अवसादन (depreciation) और उत्पादकता मापदंडों के सापेक्ष समय प्राथमिकता की दर ($\rho$) पर विशिष्ट सीमाएँ आवश्यक हैं।
• ट्रांसवर्सलिटी (Transversality): समाधान ट्रांसवर्सलिटी शर्तों को संतुष्ट करता यदि अंतर-कालिक प्रतिस्थापन की व्युत्क्रम लोच $\varepsilon > 1$ हो।

B. स्थिरता विश्लेषण (मुख्य परिणाम) (Stability Analysis - The Main Result)

• अपभ्रष्टता (The Degeneracy): स्थिर चरों $(z, q, u, v)$ के कम किए गए सिस्टम में, $z$ और नियंत्रणों $(u, v)$ के बीच का संबंध एक ऐसी निर्भरता बनाता है जिसके कारण जैकोबियन का निर्धारक शून्य हो जाता है।
• निहितार्थ: शून्य निर्धारक का अर्थ है कि प्रणाली में कम से कम एक शून्य आइगेनवैल्यू है। इसलिए, प्रणाली हाइपरबोलिक (hyperbolic) नहीं है, और बॉड और अन्य के पेपर में उपयोग किए गए मानक आइगेनवैल्यू मानदंडों के आधार पर सैडल-पाथ स्थिरता का दावा नहीं किया जा सकता। प्रणाली जटिल व्यवहार या बाइफर्केशन (bifurcation) प्रदर्शित कर सकती है बजाय इसके कि वह एक अद्वितीय स्थिर मैनिफोल्ड (stable manifold) के साथ अभिसरित (converge) हो।

C. कोब-डगलस के साथ तुलना और संख्यात्मक साक्ष्य (Comparison with Cobb-Douglas and Numerical Evidence)

• कोब-डगलस मामला: जब उत्पादन कार्यों को कोब-डगलस (जो CES का एक विशेष मामला है) तक सीमित कर दिया जाता है, तो निर्भरता संरचना बदल जाती है। प्रणाली प्रभावी रूप से तीन स्वतंत्र चरों में सिमट जाती है।
• संख्यात्मक सिमुलेशन: लेखक दो अलग-अलग पैरामीटर सेटों के साथ कोब-डगलस मामले के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन करते हैं। दोनों मामलों में, जैकोबियन के आइगेनवैल्यू एक ऋणात्मक और दो धनात्मक वास्तविक भाग दिखाते हैं (जैसे, $EV = [0.16; 0.89; -0.73]$)। यह पुष्टि करता है कि कोब-डगलस संस्करण वास्तव में सैडल-पाथ स्थिर है, जो बॉड और अन्य के दावे को केवल उस विशिष्ट कार्यात्मक रूप के लिए मान्य करता है, लेकिन सामान्य CES मामले के लिए नहीं।

5. महत्व (Significance)

• सैद्धांतिक सुधार (Theoretical Correction): यह शोध पत्र एंडोजेनस ग्रोथ साहित्य में व्यापक रूप से स्वीकृत धारणा को सुधारता है। यह प्रदर्शित करता है कि सामान्य संतुलन मॉडल (general equilibrium models) के स्थिरता गुण उत्पादन प्रौद्योगिकियों के कार्यात्मक रूप के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं।
• कार्यप्रणाली की कठोरता (Methodological Rigor): यह इस बात पर प्रकाश डालता है कि बिना जैकोबियन मैट्रिक्स के रैंक और निर्धारक को सत्यापित किए सामान्य मॉडलों में सैडल-पाथ स्थिरता मान लेना कितना जोखिम भरा हो सकता है, विशेष रूप से जब अवस्था (state) और नियंत्रण (control) चरों की संख्या निर्भरता पैदा करती है।
• नीतिगत निहितार्थ (Policy Implications): चूंकि विकास पथ की स्थिरता यह निर्धारित करती है कि कोई अर्थव्यवस्था एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र (trajectory) की ओर बढ़ेगी या उससे विचलित होगी, यह निष्कर्ष कि सामान्य CES मॉडल में सैडल-पाथ स्थिरता की कमी हो सकती है, यह सुझाव देता है कि विषम प्रतिस्थापन लोच वाले देशों में नीतिगत हस्तक्षेपों के दीर्घकालिक प्रभाव मानक कोब-डगलस भविष्यवाणियों की तुलना में अप्रत्याशित हो सकते हैं।

निष्कर्षतः, चिल्ारेस्कु सिद्ध करते हैं कि जबकि सामान्य दो-क्षेत्रीय CES मॉडल के लिए एक अद्वितीय स्टैडी स्टेट मौजूद है, जैकोबियन मैट्रिक्स में शून्य निर्धारक के कारण यह प्रणाली सैडल-पाथ स्थिर होने में विफल रहती है, जिससे इस श्रेणी के मॉडलों के लिए बॉड और अन्य (1996) द्वारा किए गए सामान्य स्थिरता दावे अमान्य हो जाते हैं।