Maximal Controlled Invariant-MPC: Enhancing Feasibility and Reducing Conservatism through Terminal CBF Constraint in Safety-Critical Control

ملخص تقني: التحكم التنبئي بالنماذج ذو التحكم الأقصى في الثبات (Maximal Controlled Invariant-MPC)

بيان المشكلة
تعتمد أنظمة التحكم ذات الأهمية الحرجة للسلامة غالباً على دوال حاجز التحكم (Control Barrier Functions - CBFs) لفرض القيود. ومع ذلك، فإن بناء دالة حاجز تحكم (CBF) غير محافظة (minimally conservative) يعد أمراً مستعصياً حاسوبياً للأنظمة ذات الرتب العليا. ونتيجة لذلك، تؤدي النهج القياسية غالباً إلى مجموعات آمنة ($X_{safe}$) مفرطة في التحفظ، مما يقيد النظام ضمن مجموعة فرعية من مجموعة الأمان القصوى المتحكم في ثباتها ($X^*_{safe}$). هذا التحفظ يقلل من المثالية والقدرة على التنفيذ، لا سيما في مهام الملاحة المعقدة حيث يجب أن يعمل النظام بالقرب من حدود المناطق المعروفة بأنها غير آمنة ($X_{avoid}$). إن صياغات التحكم التنبئي بالنماذج (MPC) الحالية التي تدمج دوال (CBFs) إما تعتمد على قيود هندسية قصيرة النظر، أو تتطلب متغيرات إضافية (slack variables) وضبط معدلات الاضمحلال، أو تفرض قيود (quasi-CBF) متعددة الخطوات، مما يؤدي غالباً إلى الفشل في توفير ضمانات رسمية بشأن تقليل التحفظ أو توسيع المجموعات القابلة للوصول مع زيادة أفق التنبؤ.

المنهجية
يقترح المؤلفون صياغة جديدة للتحكم التنبئي بالنماذج، تُسمى MPC-MCI (التحكم التنبئي بالنماذج مع قيود التحكم الأقصى في الثبات)، والتي تفصل بين السلامة العابرة والثبات النهائي لتقليل التحفظ مع الحفاظ على ضمانات السلامة الرسمية.

1. الصياغة: تعمل مسألة الأمثلة على تقليل دالة تكلفة قياسية عبر أفق تنبؤ $N$ مع الخضوع لـ:

   • القيود العابرة: يتم فرض دالة المسافة الموقعة $d(x)$ لتكون غير سالبة ($d(x_{t+k}) \ge 0$) لجميع الخطوات $k \in \{0, \dots, N-1\}$. يضمن هذا عدم دخول النظام في مجموعة عدم الأمان المعروفة $X_{avoid}$ خلال أفق التنبؤ.
   • القيد النهائي: يتم فرض قيد دالة حاجز تحكم (CBF) لخطوة واحدة فقط على الحالة النهائية ($h(x_{t+N}) \ge 0$). هذا يثبت الحالة النهائية داخل مجموعة الأمان المعروفة $X_{safe}$، وهي مجموعة فرعية من المجموعة القصوى المتحكم في ثباتها $X^*_{safe}$.

2. الضمانات النظرية:

   • قابلية التنفيذ المتكرر (Recursive Feasibility): يقدم المؤلفون برهاناً بنائياً يوضح أنه إذا كانت المسألة قابلة للتنفيذ عند $t=0$، فإنها ستظل قابلة للتنفيذ لجميع قيم $t > 0$. يعتمد البرهان على حقيقة أن $X_{safe}$ هي مجموعة متحكم في ثباتها، وبالتالي يوجد تسلسل تحكم صالح لإبقاء النظام داخل $X_{safe}$ إلى الأبد بمجرد الوصول إلى الحالة النهائية.
   • السلامة: تم إثبات أن مسار الحلقة المغلقة يظل ضمن $X^*_{safe}$ (المجموعة الفرعية القصوى المتحكم في ثباتها من $X \setminus X_{avoid}$)، مما يضمن السلامة حتى لو دخل المسار مؤقتاً في مناطق تكون فيها قيمة الـ CBF سالبة ($h < 0$) ولكن المسافة الموقعة تظل موجبة ($d \ge 0$).
   • تعزيز القدرة على الوصول (Reachability Enhancement): من خلال تحليل القدرة على الوصول، يوضح البحث أن المجموعة القابلة للوصول لخطوة واحدة في MPC-MCI تتوسع بشكل رتيب مع زيادة أفق التنبؤ $N$. وفي المقابل، تظل المجموعة القابلة للوصول في الطرق السابقة (تحديداً NMPC-DCBF) ثابتة بغض النظر عن طول الأفق.

3. الكفاءة الحسابية: تسمة الطبيعة البنائية لبرهان القابلية للتنفيذ إمكانية البدء الدافئ (warm-starting) للأمثلة غير الخطية. يستخدم المُحسِّن (optimizer) المسار المحسوب سابقاً، مضافاً إليه سياسة تحكم استردادية، كتقدير أولي. هذا يقلل من وقت الحساب بشكل كبير دون التضحية بضمانات القابلية للتنفيذ.

المساهمات الرئيسية

• إطار الأمثلة: تطوير إطار عمل MPC قابل للتنفيذ بشكل متكرر يضمن السلامة من خلال إبقاء النظام ضمن المجموعة الفرعية القصوى المتحكم في ثباتها، مما يعالج أوجه القصور في الأعمال السابقة [3, 4].
• تقليل التحفظ: تتطلب الطريقة فقط القابلية للتنفيذ الأولية لضمان السلامة المستقبلية، مما يسمح للنظام بالعمل في مناطق خارج $X_{safe}$ المحافظة (أي داخل $X^*_{safe} \setminus X_{safe}$) بشرط أن تكون آمنة هندسياً ($d \ge 0$).
• تبسيط القيود: على عكس النهج التي تستخدم (two-step quasi-CBFs) [7] أو المتغيرات الإضافية مع معدلات الاضمحلال [4]، يفرض MPC-MCI قيد CBF نهائياً واحداً وقيد مسافة على طول الأفق، مما يلغي الحاجة إلى ضبط المعلمات (مثل $\gamma$) أو الدوال المساعدة.
• البراهين البنائية: يقدم البحث براهين بنائية للقابلية للتنفيذ المتكرر تتيح البدء الدافئ، مما يسرع عملية الحساب بشكل كبير.
• تحليل القدرة على الوصول: تقديم برهان رسمي بأن المجموعات القابلة للتنفيذ والوصول تتوسع مع زيادة أفق التنبؤ، وهي خاصية لا تضمنها صياغات NMPC-DCBF السابقة.

النتائج
تم التحقق من صحة الطريقة المقترحة من خلال عمليات محاكاة على نظام "يونيسيكل" (unicycle) غير هولونومي ثنائي الأبعاد مع عائق دائري.

• تعزيز القابلية للتنفيذ: انخفض عدد الحالات الأولية غير القابلة للتنفيذ بمعامل يتراوح بين 1.74 إلى 2.73 مقارنة بنهج NMPC-DCBF. وتحديداً، في حالة السرعة العالية، انخفضت النقاط غير القابلة للتنفيذ من 5,560 إلى 2,034.
• الاعتماد على الأفق: مع زيادة أفق التنبؤ $N$ (من 2 إلى 21)، زادت نسبة الحالات القابلة للتنفيذ لـ MPC-MCI بشكل رتيب (على سبيل المثال، من 0.74 إلى 0.84 في الحالة 1)، بينما ظلت نسبة الحالات القابلة للتنفيذ لـ NMPC-DCBF ثابتة.
• تتبع المسار: نجح النظام في تتبع مسار مرجعي يقع بالكامل داخل المنطقة "غير الآمنة" للـ CBF ($h < 0$) ولكنه ظل آمناً هندسياً ($d \ge 0$). فشل نظام NMPC-DCBF المحافظ في تتبع هذا المسار، إما بالانحراف الكبير أو بالتحرك ببطء شديد.

الأهمية
يزعم البحث أن تثبيت السلامة عند الحالة النهائية، بدلاً من فرض قيود CBF على طول الأفق بأكمله، هو وسيلة منهجية لاستعادة المثالية المفقودة بسبب تصميم الـ CBF المحافظ. من خلال الاستفادة من دالة المسافة الموقعة للسلامة العابرة ومن الـ CBF للثبات النهائي فقط، يحقق صياغة MPC-MCI متحكماً آمناً بشكل مثبت يسمح للمسارات بالدخول إلى مناطق "السلامة غير المعروفة" ($X^*_{safe} \setminus X_{safe}$). يلغي هذا النهج الحاجة إلى المتغيرات الإضافية، أو ضبط معدلات الاضمحلال، أو القيود المعقدة متعددة الخطوات، مما يوفر بديلاً فعالاً حاسوبياً وأقل تحفظاً للتحكم في الأنظمة غير الخطية ذات الأهمية الحرجة للسلامة.