Maximal Controlled Invariant-MPC: Enhancing Feasibility and Reducing Conservatism through Terminal CBF Constraint in Safety-Critical Control

Riepilogo Tecnico: MPC con Invarianza Controllata Massimale

Enunciato del Problema
I sistemi di controllo critici per la sicurezza spesso si affidano alle Funzioni di Barriera di Controllo (CBF) per imporre vincoli. Tuttavia, la costruzione di una CBF minimamente conservativa è computazionalmente intrattabile per sistemi di ordine superiore. Di conseguenza, gli approcci standard spesso risultano in insiemi sicuri ($X_{safe}$) eccessivamente conservativi che limitano il sistema a un sottoinsieme del vero insieme sicuro controllato invariante massimale ($X^*_{safe}$). Tale conservativismo riduce l'ottimalità e la fattibilità del sistema, in particolare in compiti di navigazione complessi dove il sistema deve operare vicino ai confini delle regioni note come insicure ($X_{avoid}$). Le formulazioni esistenti del Controllo Predittivo a Modello (MPC) che integrano le CBF si basano o su vincoli geometrici miopi, o richiedono variabili di slack e sintonizzazione del tasso di decadimento, o impongono vincoli quasi-CBF multi-step, spesso fallendo nel fornire garanzie formali sulla riduzione del conservativismo o sull'espansione degli insiemi raggiungibili all'aumentare degli orizzonti di previsione.

Metodologia
Gli autori propongono una nuova formulazione MPC, denominata MPC-MCI (Controllo Predittivo a Modello con vincoli di Invarianza Controllata Massimale), che disaccoppia la sicurezza transitoria dall'invarianza terminale per ridurre il conservativismo mantenendo al contempo garanzie formali di sicurezza.

1. Formulazione: Il problema di ottimizzazione minimizza una funzione di costo standard su un orizzonte di previsione $N$ soggetto a:

   • Vincoli Transitori: Viene imposto che una funzione di distanza firmata $d(x)$ sia non negativa ($d(x_{t+k}) \ge 0$) per tutti i passi $k \in \{0, \dots, N-1\}$. Ciò garantisce che il sistema non entri mai nell'insieme noto come insicuro $X_{avoid}$ durante l'orizzonte di previsione.
   • Vincolo Terminale: Un singolo vincolo di Funzione di Barriera di Controllo a un passo è imposto solo sullo stato terminale ($h(x_{t+N}) \ge 0$). Ciò ancora lo stato terminale all'interno dell'insieme sicuro noto $X_{safe}$, che è un sottoinsieme dell'insieme controllato invariante massimale $X^*_{safe}$.

2. Garanzie Teoriche:

   • Fattibilità Ricorsiva: Gli autori forniscono una prova costruttiva che dimostra che se il problema è fattibile a $t=0$, rimane fattibile per ogni $t > 0$. La prova si basa sul fatto che $X_{safe}$ è invariante per il controllo; pertanto, esiste una sequenza di controllo valida per mantenere il sistema all'interno di $X_{safe}$ indefinitamente una volta raggiunto lo stato terminale.
   • Sicurezza: Si dimostra che la traiettoria in anello chiuso rimane all'interno di $X^*_{safe}$ (il sottoinsieme controllato invariante massimale di $X \setminus X_{avoid}$), garantendo la sicurezza anche se la traiettoria entra temporaneamente in regioni dove il valore della CBF è negativo ($h < 0$) ma la distanza firmata rimane positiva ($d \ge 0$).
   • Miglioramento della Raggiungibilità: Attraverso un'analisi di raggiungibilità, il documento dimostra che l'insieme raggiungibile a un passo per MPC-MCI si espande monotonicamente all'aumentare dell'orizzonte di previsione $N$. Al contrario, l'insieme raggiungibile per i metodi precedenti (nello specifico NMPC-DCBF) rimane statico indipendentemente dalla lunghezza dell'orizzonte.

3. Efficienza Computazionale: La natura costruttiva della prova di fattibilità permette il warm-starting dell'ottimizzazione non lineare. L'ottimizzatore utilizza la traiettoria calcolata in precedenza, estesa con una politica di controllo di recupero, come ipotesi iniziale. Ciò riduce significativamente il tempo computazionale senza sacrificare le garanzie di fattibilità.

Contributi Chiave

• Framework di Ottimizzazione: Sviluppo di un framework MPC ricorsivamente fattibile che garantisce la sicurezza mantenendo il sistema all'interno del sottoinsieme sicuro controllato invariante massimale, affrontando le limitazioni dei lavori precedenti [3, 4].
• Riduzione del Conservativismo: Il metodo richiede solo la fattibilità iniziale per garantire la sicurezza futura, permettendo al sistema di operare in regioni esterne al conservativo $X_{safe}$ (ovvero all'interno di $X^*_{safe} \setminus X_{safe}$) purché siano geometricamente sicure ($d \ge 0$).
• Vincoli Semplificati: A differenza degli approcci che utilizzano vincoli quasi-CBF a due passi [7] o variabili di slack con tassi di decadimento [4], MPC-MCI impone un singolo vincolo CBF terminale e un vincolo di distanza lungo l'orizzonte, eliminando la necessità di sintonizzazione dei parametri (ad es. $\gamma$) o funzioni di vincolo ausiliarie.
• Prove Costruttive: Il documento fornisce prove costruttive per la fattibilità ricorsiva che abilitano il warm-starting, accelerando sostanzialmente il calcolo.
• Analisi di Raggiungibilità: Dimostrazione formale che gli insiemi fattibili e raggiungibili si espandono all'aumentare dell'orizzonte di previsione, una proprietà non garantita nelle precedenti formulazioni NMPC-DCBF.

Risultati
Il metodo proposto è stato validato attraverso simulazioni su un sistema unicycle non olonomo 2D con un ostacolo circolare.

• Miglioramento della Fattibilità: Il numero di stati iniziali non fattibili è diminuito di un fattore compreso tra 1.74 e 2.73 rispetto all'approccio NMPC-DCBF. Nello specifico, per un caso ad alta velocità, i punti non fattibili sono scesi da 5.560 a 2.034.
• Dipendenza dall'Orizzonte: All'aumentare dell'orizzonte di previsione $N$ (da 2 a 21), la frazione di stati fattibili per MPC-MCI è aumentata monotonicamente (ad esempio, da 0.74 a 0.84 nel Caso 1), mentre la frazione fattibile per NMPC-DCBF è rimasta costante.
• Inseguimento della Traiettoria: Il sistema ha tracciato con successo una traiettoria di riferimento che giaceva interamente nella regione "insicura" della CBF ($h < 0$) ma rimaneva geometricamente sicura ($d \ge 0$). Il conservativo NMPC-DCBF non è riuscito a tracciare questa traiettoria, deviando significativamente o muovendosi troppo lentamente.

Significato
Il documento afferma che ancorare la sicurezza allo stato terminale, piuttosto che imporre vincoli CBF lungo l'intero orizzonte, è un metodo principiato per recuperare l'ottimalità persa a causa di un design CBF conservativo. Sfruttando la funzione di distanza firmata per la sicurezza transitoria e la CBF solo per l'invarianza terminale, la formulazione MPC-MCI realizza un controllore provatamente sicuro che ammette traiettorie che si avventurano in regioni di "sicurezza sconosciuta" ($X^*_{safe} \setminus X_{safe}$). Questo approccio elimina la necessità di variabili di slack, sintonizzazione del tasso di decadimento o vincoli multi-step complessi, offrendo un'alternativa computazionalmente efficiente e meno conservativa per il controllo critico per la sicurezza in sistemi non lineari.