Maximal Controlled Invariant-MPC: Enhancing Feasibility and Reducing Conservatism through Terminal CBF Constraint in Safety-Critical Control

Resumen Técnico: Invariante Controlado Máximo-MPC

Enunciado del Problema
Los sistemas de control críticos para la seguridad a menudo dependen de Funciones de Barrera de Control (CBF) para imponer restricciones. Sin embargo, construir una CBF mínimamente conservadora es computacionalmente intratable para sistemas de orden superior. En consecuencia, los enfoques estándar suelen resultar en conjuntos seguros ($X_{safe}$) excesivamente conservadores que restringen el sistema a un subconjunto del verdadero conjunto seguro invariante controlado máximo ($X^*_{safe}$). Este conservadurismo reduce la optimalidad y la factibilidad del sistema, particularmente en tareas de navegación complejas donde el sistema debe operar cerca de los límites de las regiones inseguras conocidas ($X_{avoid}$). Las formulaciones existentes de Control Predictivo Basado en Modelos (MPC) que integran CBFs dependen ya sea de restricciones geométricas miope, requieren variables de holgura y ajuste de tasas de decaimiento, o imponen restricciones cuasi-CBF de múltiples pasos, a menudo fallando en proporcionar garantías formales sobre la reducción del conservadurismo o la expansión de los conjuntos alcanzables con horizontes de predicción crecientes.

Metodología
Los autores proponen una formulación novedosa de MPC, denominada MPC-MCI (Control Predictivo Basado en Modelos con restricciones de Invariante Controlado Máximo), que desacopla la seguridad transitoria de la invarianza terminal para reducir el conservadurismo mientras mantiene garantías formales de seguridad.

1. Formulación: El problema de optimización minimiza una función de costo estándar sobre un horizonte de predicción $N$ sujeto a:

   • Restricciones Transitorias: Se impone que una función de distancia firmada $d(x)$ sea no negativa ($d(x_{t+k}) \ge 0$) para todos los pasos $k \in \{0, \dots, N-1\}$. Esto asegura que el sistema nunca entre en el conjunto inseguro conocido $X_{avoid}$ durante el horizonte de predicción.
   • Restricción Terminal: Se impone una restricción de Función de Barrera de Control de un solo paso únicamente en el estado terminal ($h(x_{t+N}) \ge 0$). Esto ancla el estado terminal dentro del conjunto seguro conocido $X_{safe}$, que es un subconjunto del conjunto invariante controlado máximo $X^*_{safe}$.

2. Garantías Teóricas:

   • Factibilidad Recursiva: Los autores proporcionan una prueba constructiva que demuestra que si el problema es factible en $t=0$, permanece factible para todo $t > 0$. La prueba se basa en el hecho de que $X_{safe}$ es invariante bajo control; por lo tanto, existe una secuencia de control válida para mantener el sistema dentro de $X_{safe}$ indefinidamente una vez alcanzado el estado terminal.
   • Seguridad: Se demuestra que la trayectoria de lazo cerrado permanece dentro de $X^*_{safe}$ (el subconjunto invariante controlado máximo de $X \setminus X_{avoid}$), asegurando la seguridad incluso si la trayectoria entra temporalmente en regiones donde el valor de la CBF es negativo ($h < 0$) pero la distancia firmada permanece positiva ($d \ge 0$).
   • Mejora de la Alcanzabilidad: Mediante análisis de alcanzabilidad, el artículo demuestra que el conjunto alcanzable de un paso para MPC-MCI se expande monótonamente a medida que aumenta el horizonte de predicción $N$. Por el contrario, el conjunto alcanzable para métodos anteriores (específicamente NMPC-DCBF) permanece estático independientemente de la longitud del horizonte.

3. Eficiencia Computacional: La naturaleza constructiva de la prueba de factibilidad permite el arranque en caliente (warm-starting) de la optimización no lineal. El optimizador utiliza la trayectoria calculada previamente, adjuntada con una política de control de recuperación, como estimación inicial. Esto reduce significativamente el tiempo computacional sin sacrificar las garantías de factibilidad.

Contribuciones Clave

• Marco de Optimización: Desarrollo de un marco de MPC recursivamente factible que garantiza la seguridad manteniendo el sistema dentro del subconjunto seguro invariante controlado máximo, abordando limitaciones en trabajos anteriores [3, 4].
• Reducción del Conservadurismo: El método requiere únicamente factibilidad inicial para garantizar la seguridad futura, permitiendo que el sistema opere en regiones fuera del $X_{safe}$ conservador (es decir, dentro de $X^*_{safe} \setminus X_{safe}$) siempre que sean geométricamente seguras ($d \ge 0$).
• Restricciones Simplificadas: A diferencia de los enfoques que utilizan cuasi-CBFs de dos pasos [7] o variables de holgura con tasas de decaimiento [4], MPC-MCI impone una única restricción terminal de CBF y una restricción de distancia a lo largo del horizonte, eliminando la necesidad de ajuste de parámetros (por ejemplo, $\gamma$) o funciones de restricción auxiliares.
• Pruebas Constructivas: El artículo proporciona pruebas constructivas para la factibilidad recursiva que permiten el arranque en caliente, acelerando sustancialmente el cálculo.
• Análisis de Alcanzabilidad: Demostración formal de que los conjuntos factibles y alcanzables se expanden con el aumento del horizonte de predicción, una propiedad no garantizada en las formulaciones anteriores de NMPC-DCBF.

Resultados
El método propuesto fue validado mediante simulaciones en un sistema unidireccional no holonómico 2D con un obstáculo circular.

• Mejora de la Factibilidad: El número de estados iniciales infactibles disminuyó en un factor de 1.74 a 2.73 en comparación con el enfoque NMPC-DCBF. Específicamente, para un caso de alta velocidad, los puntos infactibles cayeron de 5,560 a 2,034.
• Dependencia del Horizonte: A medida que aumentó el horizonte de predicción $N$ (de 2 a 21), la fracción de estados factibles para MPC-MCI aumentó monótonamente (por ejemplo, de 0.74 a 0.84 en el Caso 1), mientras que la fracción factible para NMPC-DCBF permaneció constante.
• Seguimiento de Trayectoria: El sistema rastreó con éxito una trayectoria de referencia que se encontraba enteramente dentro de la región "insegura" de la CBF ($h < 0$) pero permanecía geométricamente segura ($d \ge 0$). El NMPC-DCBF conservador no pudo rastrear esta trayectoria, desviándose significativamente o moviéndose demasiado lento.

Significado
El artículo afirma que anclar la seguridad en el estado terminal, en lugar de imponer restricciones de CBF a lo largo de todo el horizonte, es un método principiado para recuperar la optimalidad perdida debido al diseño conservador de CBF. Al aprovechar la función de distancia firmada para la seguridad transitoria y la CBF únicamente para la invarianza terminal, la formulación MPC-MCI logra un controlador demostrablemente seguro que admite trayectorias que se aventuran en regiones de "seguridad desconocida" ($X^*_{safe} \setminus X_{safe}$). Este enfoque elimina la necesidad de variables de holgura, ajuste de tasas de decaimiento o restricciones complejas de múltiples pasos, ofreciendo una alternativa computacionalmente eficiente y menos conservadora para el control crítico para la seguridad en sistemas no lineales.