Maximal Controlled Invariant-MPC: Enhancing Feasibility and Reducing Conservatism through Terminal CBF Constraint in Safety-Critical Control

Résumé technique : MPC à Invariance Contrôlée Maximale

Énoncé du problème
Les systèmes de contrôle critiques pour la sécurité reposent souvent sur des fonctions barrières de contrôle (CBF) pour imposer des contraintes. Cependant, la construction d'une CBF minimisant le conservatisme est computationnellement intraitable pour les systèmes d'ordre supérieur. Par conséquent, les approches standard aboutissent souvent à des ensembles sûrs ($X_{safe}$) excessivement conservateurs qui restreignent le système à un sous-ensemble de l'ensemble sûr invariant contrôlé maximal réel ($X^*_{safe}$). Ce conservatisme réduit l'optimalité et la faisabilité du système, en particulier dans des tâches de navigation complexes où le système doit opérer près des frontières des régions connues comme dangereuses ($X_{avoid}$). Les formulations existantes de contrôle prédictif de modèle (MPC) intégrant des CBF reposent soit sur des contraintes géométriques myopes, soit sur des variables de relâchement et un réglage du taux de décroissance, soit sur des contraintes quasi-CBF multi-étapes, échouant souvent à fournir des garanties formelles sur la réduction du conservatisme ou l'expansion des ensembles accessibles avec l'augmentation des horizons de prédiction.

Méthodologie
Les auteurs proposent une nouvelle formulation MPC, nommée MPC-MCI (Contrôle Prédictif de Modèle avec contraintes d'Invariance Contrôlée Maximale), qui découple la sécurité transitoire de l'invariance terminale afin de réduire le conservatisme tout en maintenant des garanties formelles de sécurité.

1. Formulation : Le problème d'optimisation minimise une fonction de coût standard sur un horizon de prédiction $N$ soumis à :

   • Contraintes transitoires : Une fonction de distance signée $d(x)$ est imposée comme non négative ($d(x_{t+k}) \ge 0$) pour toutes les étapes $k \in \{0, \dots, N-1\}$. Cela garantit que le système n'entre jamais dans l'ensemble dangereux connu $X_{avoid}$ durant l'horizon de prédiction.
   • Contrainte terminale : Une contrainte de fonction barrière de contrôle à un seul pas est imposée uniquement sur l'état terminal ($h(x_{t+N}) \ge 0$). Cela ancre l'état terminal dans l'ensemble sûr connu $X_{safe}$, qui est un sous-ensemble de l'ensemble invariant contrôlé maximal $X^*_{safe}$.

2. Garanties théoriques :

   • Faisabilité récursive : Les auteurs fournissent une preuve constructive montrant que si le problème est faisable à $t=0$, il reste faisable pour tout $t > 0$. La preuve repose sur le fait que $X_{safe}$ est invariant par contrôle ; ainsi, une séquence de contrôle valide existe pour maintenir le système dans $X_{safe}$ indéfiniment une fois l'état terminal atteint.
   • Sécurité : La trajectoire en boucle fermée est prouvée comme restant dans $X^*_{safe}$ (le sous-ensemble invariant contrôlé maximal de $X \setminus X_{avoid}$), garantissant la sécurité même si la trajectoire entre temporairement dans des régions où la valeur de la CBF est négative ($h < 0$) mais où la distance signée reste positive ($d \ge 0$).
   • Amélioration de l'accessibilité : Grâce à une analyse d'accessibilité, l'article démontre que l'ensemble accessible à un pas pour MPC-MCI s'étend de manière monotone à mesure que l'horizon de prédiction $N$ augmente. En revanche, l'ensemble accessible pour les méthodes antérieures (spécifiquement NMPC-DCBF) reste statique quelle que soit la longueur de l'horizon.

3. Efficacité computationnelle : La nature constructive de la preuve de faisabilité permet le démarrage à chaud de l'optimisation non linéaire. L'optimiseur utilise la trajectoire précédemment calculée, complétée par une politique de contrôle de récupération, comme estimation initiale. Cela réduit considérablement le temps de calcul sans sacrifier les garanties de faisabilité.

Contributions clés

• Cadre d'optimisation : Développement d'un cadre MPC récursivement faisable garantissant la sécurité en maintenant le système dans le sous-ensemble sûr invariant contrôlé maximal, répondant aux limitations des travaux antérieurs [3, 4].
• Réduction du conservatisme : La méthode ne requiert que la faisabilité initiale pour garantir la sécurité future, permettant au système d'opérer dans des régions en dehors de l'ensemble conservateur $X_{safe}$ (c'est-à-dire dans $X^*_{safe} \setminus X_{safe}$) à condition qu'elles soient géométriquement sûres ($d \ge 0$).
• Contraintes simplifiées : Contrairement aux approches utilisant des quasi-CBF à deux pas [7] ou des variables de relâchement avec des taux de décroissance [4], MPC-MCI impose une seule contrainte terminale CBF et une contrainte de distance le long de l'horizon, éliminant le besoin de réglage de paramètres (par exemple, $\gamma$) ou de fonctions de contraintes auxiliaires.
• Preuves constructives : L'article fournit des preuves constructives de la faisabilité récursive permettant le démarrage à chaud, accélérant substantiellement le calcul.
• Analyse d'accessibilité : Démonstration formelle que les ensembles faisables et accessibles s'étendent avec l'augmentation de l'horizon de prédiction, une propriété non garantie dans les formulations NMPC-DCBF précédentes.

Résultats
La méthode proposée a été validée par des simulations sur un système unicycle non holonome 2D avec un obstacle circulaire.

• Amélioration de la faisabilité : Le nombre d'états initiaux non faisables a diminué d'un facteur de 1,74 à 2,73 par rapport à l'approche NMPC-DCBF. Plus précisément, pour un cas à haute vitesse, les points non faisables sont passés de 5 560 à 2 034.
• Dépendance à l'horizon : À mesure que l'horizon de prédiction $N$ augmentait (de 2 à 21), la fraction d'états faisables pour MPC-MCI augmentait de manière monotone (par exemple, de 0,74 à 0,84 dans le Cas 1), tandis que la fraction faisable pour NMPC-DCBF restait constante.
• Suivi de trajectoire : Le système a suivi avec succès une trajectoire de référence située entièrement dans la région « dangereuse » de la CBF ($h < 0$) mais restant géométriquement sûre ($d \ge 0$). Le NMPC-DCBF conservateur a échoué à suivre cette trajectoire, soit en s'écartant significativement, soit en se déplaçant trop lentement.

Signification
L'article affirme que l'ancrage de la sécurité à l'état terminal, plutôt que l'imposition de contraintes CBF le long de tout l'horizon, est une méthode fondamentale pour récupérer l'optimalité perdue due à une conception de CBF conservatrice. En exploitant la fonction de distance signée pour la sécurité transitoire et la CBF uniquement pour l'invariance terminale, la formulation MPC-MCI réalise un contrôleur prouvé sûr qui admet des trajectoires s'aventurant dans des régions de « sécurité inconnue » ($X^*_{safe} \setminus X_{safe}$). Cette approche élimine le besoin de variables de relâchement, de réglage du taux de décroissance ou de contraintes multi-étapes complexes, offrant une alternative computationnellement efficace et moins conservatrice pour le contrôle critique pour la sécurité dans les systèmes non linéaires.