Maximal Controlled Invariant-MPC: Enhancing Feasibility and Reducing Conservatism through Terminal CBF Constraint in Safety-Critical Control

Technische Samenvatting: Maximaal Gecontroleerd Invariant-MPC

Probleemstelling
Veiligheidskritieke regelsystemen vertrouwen vaak op Control Barrier Functions (CBF's) om beperkingen af te dwingen. Het construeren van een minimaal conservatieve CBF is echter computationeel onuitvoerbaar voor systemen van hogere orde. Bijgevolg resulteren standaardbenaderingen vaak in te conservatieve veilige verzamelingen ($X_{safe}$) die het systeem beperken tot een deelverzameling van de ware maximaal gecontroleerde invariante veilige verzameling ($X^*_{safe}$). Dit conservatisme vermindert de optimaliteit en haalbaarheid van het systeem, met name in complexe navigatietaken waarbij het systeem moet opereren nabij de grenzen van bekende onveilige gebieden ($X_{avoid}$). Bestaande Model Predictive Control (MPC)-formuleringen die CBF's integreren, vertrouwen óf op kortzichtige geometrische beperkingen, vereisen sluitvariabelen en afstemming van vervalraten, of leggen meerstaps quasi-CBF-beperkingen op, en falen vaak om formele garanties te bieden voor het verminderen van conservatisme of het uitbreiden van bereikbare verzamelingen bij toenemende voorspellingshorizons.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe MPC-formulering voor, genaamd MPC-MCI (Model Predictive Control met Maximaal Gecontroleerd Invariante beperkingen), die transiënte veiligheid ontkoppelt van terminale invariantie om conservatisme te verminderen terwijl formele veiligheidsgaranties behouden blijven.

1. Formulering: Het optimalisatieprobleem minimaliseert een standaard kostfunctie over een voorspellingshorizon $N$ onderworpen aan:

   • Transiënte Beperkingen: Een getekende afstandsfunctie $d(x)$ wordt afgedwongen om niet-negatief te zijn ($d(x_{t+k}) \ge 0$) voor alle stappen $k \in \{0, \dots, N-1\}$. Dit zorgt ervoor dat het systeem nooit het bekende onveilige gebied $X_{avoid}$ binnentreedt tijdens de voorspellingshorizon.
   • Terminale Beperking: Een enkelstaps Control Barrier Function-beperking wordt alleen opgelegd aan de terminale toestand ($h(x_{t+N}) \ge 0$). Dit verankert de terminale toestand binnen de bekende veilige verzameling $X_{safe}$, die een deelverzameling is van de maximaal gecontroleerde invariante verzameling $X^*_{safe}$.

2. Theoretische Garanties:

   • Recursieve Haalbaarheid: De auteurs leveren een constructief bewijs dat aantoont dat als het probleem haalbaar is bij $t=0$, het haalbaar blijft voor alle $t > 0$. Het bewijs rust op het feit dat $X_{safe}$ controle-invariant is; zodra de terminale toestand is bereikt, bestaat er dus een geldige reeks besturingen om het systeem onbepaald binnen $X_{safe}$ te houden.
   • Veiligheid: De gesloten-lus trajectorie wordt bewezen binnen $X^*_{safe}$ te blijven (de maximaal gecontroleerde invariante deelverzameling van $X \setminus X_{avoid}$), waardoor veiligheid wordt gewaarborgd zelfs als de trajectorie tijdelijk gebieden binnentreedt waar de CBF-waarde negatief is ($h < 0$) maar de getekende afstand positief blijft ($d \ge 0$).
   • Verbetering van Bereikbaarheid: Via bereikbaarheidsanalyse toont het artikel aan dat de eenstaps-bereikbare verzameling voor MPC-MCI monotoon uitbreidt naarmate de voorspellingshorizon $N$ toeneemt. Daarentegen blijft de bereikbare verzameling voor eerdere methoden (specifiek NMPC-DCBF) statisch, ongeacht de horizonlengte.

3. Computationele Efficiëntie: Het constructieve karakter van het haalbaarheidsbewijs maakt warm-starting van de niet-lineaire optimalisatie mogelijk. De optimalisator gebruikt de eerder berekende trajectorie, aangevuld met een herstelbesturingsbeleid, als startgissing. Dit vermindert de rekentijd aanzienlijk zonder afbreuk te doen aan haalbaarheidsgaranties.

Belangrijkste Bijdragen

• Optimalisatiekader: Ontwikkeling van een recursief haalbaar MPC-kader dat veiligheid garandeert door het systeem binnen de maximaal gecontroleerde invariante veilige deelverzameling te houden, waarmee beperkingen in eerdere werken [3, 4] worden aangepakt.
• Verminderd Conservatisme: De methode vereist alleen initiële haalbaarheid om toekomstige veiligheid te garanderen, waardoor het systeem kan opereren in gebieden buiten de conservatieve $X_{safe}$ (d.w.z. binnen $X^*_{safe} \setminus X_{safe}$), mits deze geometrisch veilig zijn ($d \ge 0$).
• Vereenvoudigde Beperkingen: In tegenstelling tot benaderingen die gebruikmaken van tweestaps quasi-CBF's [7] of sluitvariabelen met vervalraten [4], legt MPC-MCI slechts één terminale CBF-beperking en een afstandsbepaling langs de horizon op, waardoor de noodzaak voor parameterafstemming (bijv. $\gamma$) of hulpbeperkingen wordt geëlimineerd.
• Constructieve Bewijzen: Het artikel levert constructieve bewijzen voor recursieve haalbaarheid die warm-starting mogelijk maken, wat de berekening aanzienlijk versnelt.
• Bereikbaarheidsanalyse: Formele demonstratie dat de haalbare en bereikbare verzamelingen uitbreiden met een toenemende voorspellingshorizon, een eigenschap die niet gegarandeerd was in eerdere NMPC-DCBF-formuleringen.

Resultaten
De voorgestelde methode werd gevalideerd via simulaties op een 2D niet-holonomisch unicycle-systeem met een cirkelvormig obstakel.

• Verbetering van Haalbaarheid: Het aantal onhaalbare initiële toestanden nam af met een factor van 1,74 tot 2,73 vergeleken met de NMPC-DCBF-benadering. Specifiek daalden voor een geval met hoge snelheid de onhaalbare punten van 5.560 naar 2.034.
• Afhankelijkheid van Horizon: Naarmate de voorspellingshorizon $N$ toenam (van 2 tot 21), nam het fractie van haalbare toestanden voor MPC-MCI monotoon toe (bijvoorbeeld van 0,74 naar 0,84 in Geval 1), terwijl het haalbare fractie voor NMPC-DCBF constant bleef.
• Trajectvolging: Het systeem volgde succesvol een referentietrajectorie die volledig lag binnen het "onveilige" gebied van de CBF ($h < 0$) maar geometrisch veilig bleef ($d \ge 0$). Het conservatieve NMPC-DCBF faalde in het volgen van deze trajectorie, waarbij het ofwel significant afweek of te traag bewoog.

Betekenis
Het artikel stelt dat het verankeren van veiligheid bij de terminale toestand, in plaats van het afdwingen van CBF-beperkingen langs de hele horizon, een principiële methode is om optimaliteit terug te winnen die verloren is gegaan door conservatief CBF-ontwerp. Door gebruik te maken van de getekende afstandsfunctie voor transiënte veiligheid en de CBF uitsluitend voor terminale invariantie, bereikt de MPC-MCI-formulering een bewezen veilige regelaar die trajectoires toelaat die doordringen in gebieden met "onbekende veiligheid" ($X^*_{safe} \setminus X_{safe}$). Deze aanpak elimineert de noodzaak voor sluitvariabelen, afstemming van vervalraten of complexe meerstapsbeperkingen, en biedt een computationeel efficiënt en minder conservatief alternatief voor veiligheidskritieke regeling in niet-lineaire systemen.