Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function

ملخص تقني: المجموعات الاستثنائية للمؤلفات التي تتضمن دالة أويلر، ودالة مجموع القواسم، ودالة ديديكيند

بيان المسألة
تبحث هذه الورقة في توزيع الأعداد الصحيحة $n$ التي تنحرف فيها مؤلفات محددة من الدوال الحسابية الكلاسيكية بشكل ملحوظ عن مقدارها المتوقع. وتحديداً، يدرس المؤلف "المجموعات الاستثنائية" حيث تكون قيم $\phi(\psi(n))$ و $\phi(\sigma(n))$ و $\psi(\psi(n))$ و $\psi(\sigma(n))$ كبيرة جداً أو صغيرة جداً بشكل غير معتاد بالنسبة لـ $n$.

هنا، $\phi(n)$ هي دالة توتنت أويلر، و $\psi(n)$ هي دالة ديديكيند الحسابية، و $\sigma(n)$ هي دالة مجموع القواسم. وبينما هذه الدوال هي دوال ضربية، فإن مؤلفاتها تفقد هذه الخاصية بشكل عام، مما يجعل النظريات الكلاسيكية للدوال الضربية غير قابلة للتطبيق. تركز الدراسة على تحسين نتائج الكثافة الصفرية النوعية (التي وضعها ساندور وآخرون) إلى حدود عليا كمية لحجم هذه المجموعات الاستثنائية.

المنهجية
تعتمد البراهين على ثلاثة مكونات تحليلية رئيسية:

1. تقديرات الضرب فوق الأعداد الأولية: استخدام الصيغ التقاربية لمنتجات بالشكل $\prod (1 \pm 1/p)$ لتقييد قيم الدوال.
2. تقديرات المنخل (Sieve Estimates): تطبيق طرق المنخل لتقدير نسبة الأعداد الصحيحة الخالية من عوامل أولية محددة. ويعد الجزء الرئيسي هو التمهيدية 2.4، التي تضع حداً علوياً لعدد الأعداد الصحيحة $n \le x$ بحيث لا يقسم العدد الأولي $p$ المحدد $\psi(n)$. وهذا يكيف حجج المنخل التي استخدمها سابقاً ديكسيت وباتاشارجا.
3. نتائج القواسم الأولية الصغيرة: الاستفادة من النتائج الموجودة (غو وآخرون، ساندور) والتي تنص على أن $\psi(n)$ و $\sigma(n)$ و $\phi(n)$ لجميع الأعداد $n$ تقريباً، تقبل القسمة على جميع القوى الأولية الصغيرة حتى عتبة تبلغ تقريباً $c \frac{\log_2 x}{\log_3 x}$.

تتضمن الاستراتيجية العامة ما يلي:

• تعريف مجموعة استثنائية $E(x)$ بحجم $O(x/(\log_3 x)^2)$ حيث تفشل خاصية القاسم الأولي الصغير.
• بالنسبة لـ $n \notin E(x)$، استخدام قابلية قسمة $\psi(n)$ أو $\sigma(n)$ على الأعداد الأولية الصغيرة لتقييد المؤلف من الأعلى أو الأسفل.
• تطبيق متباينة ماركوف على المتباينات الناتجة (على سبيل المثال، $\psi(n)/n > c \log y_x$) لتقييد عدد الأعداد التي تحقق الشرط.
• استخدام الجمع الجزئي على الصيغ التقاربية المعروفة لـ $\sum \psi(n)$ و $\sum \sigma(n)$.

المساهمات والنتائج الرئيسية

1. التحسينات الكمية لـ $\phi(\psi(n))$ و $\phi(\sigma(n))$
تقدم الورقة حدوداً عليا صريحة لعدد الأعداد الصحيحة $n \le x$ التي تحقق $\phi(\psi(n)) \ge cn$ و $\phi(\sigma(n)) \ge cn$ لقيمة ثابتة $c > 0$.

• النتيجة لـ $\phi(\psi(n))$: يتم تقييد العدد بـ $\left(\frac{15}{\pi^2 c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$. وهذا يحسن نتيجة ساندور النوعية ذات الكثافة الصفرية.
• النتيجة لـ $\phi(\sigma(n))$: يتم تقييد العدد بـ $\left(\frac{\pi^2}{6c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$. وهذا يحسن نتيجة ديكسيت وباتاشارجا، اللذين حصلا على حد من رتبة $x/\log^4 x$؛ حيث يعمل العمل الحالي على تحسين الرتبة إلى $x/\log^3 x$.

2. العتبات المتغيرة
يعمم المؤلف العتبة الثابتة $c$ إلى دوال غير متناقصة $g(n)$ و $h(n)$ تحقق $g(x), h(x) = o(\log_3 x)$.

• يُظهر حجم المجموعة $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ أنه $O\left(\frac{x}{g(x) \log_3 x}\right)$.
• وبالمثل، فإن المجموعة $\{n \le x : \phi(\sigma(n)) \ge n/h(n)\}$ محدودة بـ $O\left(\frac{x}{h(x) \log_3 x}\right)$.
  تؤكد كلتا النتيجتين أن هذه المجموعات لها كثافة صفرية.

3. الحدود الدنيا لتكرارات $\psi$
تضع الورقة تقديرات كمية للكثافة الصفرية للأعداد الصحيحة حيث يكون التكرار الثاني لدالة ديديكيند صغيراً: $\psi(\psi(n)) \le cn$ و $\psi(\sigma(n)) \le cn$.

• النتيجة: لقيمة ثابتة $c > 0$، يوجد ثابت $z_c$ بحيث يكون العدد $\ll_c x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$.
• وهذا يعني أن هذه المجموعات لها كثافة صفرية. يعتمد البرهان على إظهار أنه إذا كان $\psi(\psi(n)) \le cn$، فإن $\psi(n)$ يجب أن يفتقر إلى حاصل ضرب الأعداد الأولية الصغيرة، وهو حدث ذو احتمالية منخفضة مستمدة من تقديرات المنخل.
• النتيجة المستخلصة: يمتد هذا العمل ليشمل التكرار رقم $k$ للدالة $\psi^{(k)}(n)$ لأي $k \ge 2$ ثابت.

الأهمية والادعاءات
تدعي الورقة أنها تقدم تحسينات كمية للنتائج المعروفة نوعياً.

• تصحح رتبة المقدار للحد العلوي للمجموعة الاستثنائية المرتبطة بـ $\phi(\sigma(n))$، من $x/\log^4 x$ إلى $x/\log^3 x$.
• تضع أول التقديرات الكمية للمجموعات الاستثنائية التي تتضمن كون $\psi(\psi(n))$ و $\psi(\sigma(n))$ صغيرين.
• يشير المؤلف صراحة في الملاحظات الختامية إلى أن الحدود العليا المستمدة لا يُدعى أنها مثالية. إن استخدام متباينة ماركوف على مجموعة فائقة للمجموعة الاستثنائية المستهدفة يؤدي إلى فقدان محتمل في الدقة.

يقع هذا العمل ضمن السياق الأوسع لدراسة مؤلفات وتكرارات الدوال الحسابية، بناءً على العمل التأسيسي لألاولوغ، وإردوش، وغرانفيل، وبوميرانس، وسبيرو، وساندور، وآخرين. وهو يوضح تكرار السلوك "الاستثنائي" في هذه المؤلفات، موضحاً أنه رغم وجود أمثلة مضادة لمتفاوتات مثل $\phi(\psi(n)) \le n$ (مثل $n=39270$)، إلا أنها نادرة.