Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function

技术摘要：涉及欧拉函数、除数和函数及 Dedekind 函数的复合函数的异常集

问题陈述
本文研究了在特定经典算术函数复合后，其值相对于 $n$ 的预期量级发生显著偏离的整数 $n$ 的分布情况。具体而言，作者研究了当 $\phi(\psi(n))$、$\phi(\sigma(n))$、$\psi(\psi(n))$ 和 $\psi(\sigma(n))$ 相对于 $n$ 过大或过小时的“异常集”。

此处，$\phi(n)$ 是欧拉函数，$\psi(n)$ 是 Dedekind 算术函数，$\sigma(n)$ 是除数和函数。虽然这些函数是积性的，但它们的复合函数通常会失去这一性质，使得经典的积性函数理论不再适用。本研究的重点在于将 Sándor 等人建立的定性密度为零的结果，转化为这些异常集大小的定量上界。

研究方法
证明过程依赖于三个主要的分析要素：

1. 素数乘积估计： 利用形式为 $\prod (1 \pm 1/p)$ 的乘积的渐近公式来限制函数的值。
2. 筛法估计： 应用筛法来估计不含特定素因子的整数比例。一个关键组成部分是引理 2.4，该引理建立了满足给定素数 $p$ 不整除 $\psi(n)$ 的整数 $n \le x$ 的数量的上界。这改编了 Dixit 和 Bhattacharjee 之前使用的筛法论证。
3. 小素因子结果： 利用现有的结果（Guo 等人、Sándor），即对于几乎所有的 $n$，$\psi(n)$、$\sigma(n)$ 和 $\phi(n)$ 都能被直到约 $c \frac{\log_2 x}{\log_3 x}$ 阈值的全部小素幂整除。

总体策略包括：

• 定义一个大小为 $O(x/(\log_3 x)^2)$ 的异常集 $E(x)$，在该集合中，小素因子性质失效。
• 对于 $n \notin E(x)$，利用 $\psi(n)$ 或 $\sigma(n)$ 可被小素数整除的特性，从上方或下方限制复合函数。
• 对所得不等式（例如 $\psi(n)/n > c \log y_x$）应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），以限制满足条件的整数计数。
• 对 $\sum \psi(n)$ 和 $\sum \sigma(n)$ 的已知渐近公式使用分部求和法。

主要贡献与结果

1. $\phi(\psi(n))$ 与 $\phi(\sigma(n))$ 的定量精化
本文为满足 $\phi(\psi(n)) \ge cn$ 且 $\phi(\sigma(n)) \ge cn$（其中 $c > 0$ 为常数）的整数 $n \le x$ 的数量提供了显式的上界。

• 针对 $\phi(\psi(n))$ 的结果： 其计数被限制在 $\left(\frac{15}{\pi^2 c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$。这精化了 Sándor 的定性密度为零的结果。
• 针对 $\phi(\sigma(n))$ 的结果： 其计数被限制在 $\left(\frac{\pi^2}{6c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$。这改进了 Dixit 和 Bhattacharjee 的结果，后者的界限为 $x/\log^4 x$ 的阶；当前工作将阶数改进为 $x/\log^3 x$。

2. 可变阈值
作者将固定阈值 $c$ 推广到满足 $g(x), h(x) = o(\log_3 x)$ 的非减函数 $g(n)$ 和 $h(n)$。

• 集合 $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ 的大小被证明为 $O\left(\frac{x}{g(x) \log_3 x}\right)$。
• 类似地，集合 $\{n \le x : \phi(\sigma(n)) \ge n/h(n)\}$ 被限制在 $O\left(\frac{x}{h(x) \log_3 x}\right)$。
  这两个结果均证实了这些集合的密度为零。

3. $\psi$ 迭代函数的下界
本文为第二次迭代的 Dedekind 函数较小的整数建立了定量密度为零的估计：$\psi(\psi(n)) \le cn$ 且 $\psi(\sigma(n)) \le cn$。

• 结果： 对于固定的 $c > 0$，存在一个常数 $z_c$，使得计数为 $\ll_c x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$。
• 这意味着这些集合的密度为零。证明过程依赖于展示：如果 $\psi(\psi(n)) \le cn$，则 $\psi(n)$ 必须缺乏一组小素数的乘积，而这是一个由筛法估计得出的低概率事件。
• 推论： 该结果对于任何固定的 $k \ge 2$ 的 $k$ 次迭代 $\psi^{(k)}(n)$ 均成立。

意义与声明
本文声称提供了对已知定性结果的定量精化。

• 它修正了与 $\phi(\sigma(n))$ 相关的异常集上界的数量级，从 $x/\log^4 x$ 提升至 $x/\log^3 x$。
• 它建立了涉及 $\psi(\psi(n))$ 和 $\psi(\sigma(n))$ 较小的异常集的首次定量估计。
• 作者在结论部分明确指出，所导出的上界并不声称是最佳的。在目标异常集的超集上使用马尔可夫不等式可能会引入精度的损失。

这项工作处于研究算术函数复合与迭代的更广泛背景之下，建立在 Alaoglu、Erdős、Granville、Pomerance、Spiro、Sándor 等人的基础性工作之上。它阐明了这些复合函数中“异常”行为发生的频率，表明尽管存在违反如 $\phi(\psi(n)) \le n$ 不等式的反例（例如 $n=39270$），但这些反例是非常稀疏的。