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Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function

यह शोध पत्र ऑयलर के टोटिएंट (Euler's totient), डेडेकइंड के (Dedekind's), और विभाजकों के योग (sum-of-divisors) फलनों के संयोजन से संबंधित पूर्णांकों के अपवादित समुच्चयों के लिए मात्रात्मक ऊपरी सीमाएँ और घनत्व-शून्य अनुमान स्थापित करता है, जिससे सैंडोर, दीक्षित और भट्टाचार्जी के पिछले घनत्व परिणामों को परिष्कृत किया गया है।

मूल लेखक: Aimin Guo

प्रकाशित 2026-08-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Aimin Guo

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संख्या सिद्धांत के विशाल परिदृश्य में, गणितज्ञ अक्सर इस बात का अध्ययन करते हैं कि जब संख्याओं को उनके निर्माण खंडों (building blocks) में तोड़ा जाता है, तो वे कैसा व्यवहार करती हैं। इन गुणों को मापने के लिए तीन विशिष्ट उपकरणों का उपयोग किया जाता है। पहला उपकरण विभाजकों के योग का एक रूपांतरण है, जो प्रत्येक संख्या के लिए एक थोड़ा अलग प्रोफाइल बनाने के लिए उन विभाजकों की गणना करने में एक विशिष्ट मोड़ जोड़ता है। दूसरा उपकरण यह गिनता है कि कितनी छोटी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के दी गई संख्या में समा सकती हैं, जो इसकी आंतरिक संरचना का एक माप है। तीसरा उपकरण किसी संख्या के सभी विभाजकों को जोड़ता है, जिससे कारकों की दुनिया में उसके कुल भार का बोध होता है। हालाँकि ये उपकरण अपने आप में अच्छी तरह से काम करते हैं, लेकिन गणितज्ञ लंबे समय से इस बात को लेकर जिज्ञासु रहे हैं कि जब इन्हें एक के ऊपर एक रखा जाता है, तो क्या होता है। यदि आप एक संख्या लेते हैं, उस पर एक उपकरण लागू करते हैं, और फिर तुरंत दूसरे उपकरण को उसके परिणाम पर लागू करते हैं, तो क्या अंतिम संख्या मूल संख्या के करीब रहती है, या वह उससे बहुत दूर चली जाती है? यह प्रश्न कि ये फलन (functions) आपस में कैसे क्रिया करते हैं, एक नए अध्ययन के केंद्र में है जो उन दुर्लभ अपवादों को मैप करने का प्रयास करता है जहाँ ये गणितीय संबंध अपने सामान्य पैटर्न को तोड़ देते हैं।

दशकों तक, एक विशिष्ट अनुमान (conjecture) ने सुझाव दिया कि जब आप किसी भी एक से बड़ी संख्या के लिए पहले उपकरण के परिणाम पर दूसरे उपकरण को लागू करते हैं, तो परिणाम हमेशा शुरुआती संख्या से छोटा होगा। यह एक व्यवस्थित, अनुमानित नियम था जो जाँची गई पहली दस हज़ार संख्याओं के लिए सही प्रतीत होता था। हालाँकि, इसे अंततः गलत साबित कर दिया गया। संख्या 39,270 पर एक विशिष्ट प्रति-उदाहरण (counterexample) पाया गया, जहाँ इस प्रक्रिया ने वास्तव में मूल संख्या से बड़ा परिणाम दिया। जबकि इस एकल अपवाद ने एक सार्वभौमिक नियम के विचार को छिन्न-भिन्न कर दिया, नया शोध पुष्टि करता है कि ऐसे अपवाद अविश्वसनीय रूप से दुर्लभ हैं। अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि जैसे-जैसे आप संख्याओं के बड़े और बड़े संग्रहों को देखते हैं, अपेक्षित व्यवहार का उल्लंघन करने वाली संख्याओं का अनुपात नगण्य होता जाता है। वास्तव में, शोधकर्ताओं ने गणना की है कि किसी भी दिए गए दायरे के भीतर ऐसे कितने आउटलेयर्स (outliers) हो सकते हैं, यह दिखाते हुए कि अधिकांश संख्याएँ अभी भी अपेक्षित प्रवृत्ति का पालन करती हैं, भले ही नियम पूर्ण न हो।

यह शोध लेख इन गणितीय उपकरणों के चार विशिष्ट संयोजनों पर ध्यान केंद्रित करता है। शोधकर्ताओं ने जांच की कि जब दूसरे उपकरण को पहले के परिणाम पर लागू किया जाता है, जब दूसरे उपकरण को विभाजकों के योग पर लागू किया जाता है, जब पहले उपकरण को स्वयं पर लागू किया जाता है, और जब पहले उपकरण को विभाजकों के योग पर लागू किया जाता है, तब क्या होता है। पहले दो संयोजनों के लिए, टीम ने उन पूर्णांकों की सख्त ऊपरी सीमाएं स्थापित कीं जो असामान्य रूप से बड़े परिणाम उत्पन्न करते हैं। उन्होंने पाया कि इन "अपवाद संबंधी" मामलों की संख्या जाँची जा रही कुल पूर्णांकों की संख्या की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ती है। विशेष रूप से, उन्होंने पिछले अनुमानों में सुधार करते हुए दिखाया कि इन दुर्लभ संख्याओं की गणना पहले के गणितज्ञों द्वारा अनुमानित संख्या से काफी कम है, जिससे यह समझने में सूक्ष्मता आई कि संख्याएँ बड़ी होने पर ये विसंगतियाँ कितनी तेजी से गायब होती हैं।

अध्ययन ने उन मामलों को भी देखा जहाँ परिणाम असामान्य रूप से छोटे थे। जब पहले उपकरण को दो बार लागू किया जाता है, या जब इसे विभाजकों के योग पर लागू किया जाता है, तो शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि मूल संख्या के एक निश्चित अंश से कम मान उत्पन्न करने वाले पूर्णांकों की संख्या भी नगण्य है। उन्होंने दिखाया कि इन संख्याओं के समूह इतने विरल हैं कि विस्तार होने पर वे सभी पूर्णांकों के परिदृश्य से प्रभावी रूप से गायब हो जाते हैं। यह एक ऐसी विधि विकसित करके प्राप्त किया गया जिसमें यह गणना की गई कि कितने नंबर कुछ छोटे अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) से बचते हैं, एक ऐसी तकनीक जिसने टीम को इन अपवाद समूहों के आकार को उच्च सटीकता के साथ सीमित करने की अनुमति दी।

इन निश्चित सीमाओं के परे, शोधकर्ताओं ने एक अधिक लचीली परिदृश्य की खोज की जहाँ "अपवाद" के रूप में क्या गिना जाए, इसके लिए दहलीज (threshold) को संख्याओं के बड़े होने के साथ धीरे-धीरे बदलने की अनुमति दी गई है। इस अतिरिक्त जटिलता के बावजूद, परिणाम स्थिर रहे। अध्ययन ने पुष्टि की कि जब तक दहलीज एक मध्यम गति से बढ़ती है, तब तक उन पूर्णांकों की संख्या जो शर्त को पूरा करने में विफल रहते हैं, कुल का एक छोटा सा हिस्सा बनी रहती है। यह सुझाव देता है कि इन अंकगणितीय फलनों के बीच एक मजबूत अंतर्निहित व्यवस्था है, जहाँ सामान्य से विचलन न केवल दुर्लभ हैं, बल्कि गणितीय रूप से यह सुनिश्चित है कि वे व्यापक परिप्रेक्ष्य में लगभग अस्तित्वहीन हों। यह कार्य पूर्णतम संभव सीमा खोजने का दावा नहीं करता है, यह स्वीकार करते हुए कि आगे के परिशोधन की गुंजाइश हो सकती है, लेकिन यह इन संयुक्त फलनों के व्यवहार की पहले की तुलना में बहुत अधिक स्पष्ट और सटीक तस्वीर प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: यूलर फलन (Euler's Function), भाजक-योग फलन (Divisor-Sum Function) और डेडेकिंड फलन (Dedekind's Function) से संबंधित रचनाओं के लिए अपवादजनक समुच्चय

समस्या विवरण
यह शोध पत्र उन पूर्णांकों $n$ के वितरण की जांच करता है जिनके लिए विशिष्ट शास्त्रीय अंकगणितीय फलनों (arithmetic functions) की रचनाएँ (compositions) उनके अपेक्षित परिमाण से काफी भिन्न होती हैं। विशेष रूप से, लेखक उन "अपवादजनक समुच्चयों" (exceptional sets) का अध्ययन करते हैं जहाँ $\phi(\psi(n))$ , $\phi(\sigma(n))$ , $\psi(\psi(n))$ , और $\psi(\sigma(n))$ के मान $n$ के सापेक्ष या तो असामान्य रूप से बड़े होते हैं या असामान्य रूप से छोटे होते हैं।

यहाँ, $\phi(n)$ यूलर का टोटिएंट फलन है, $\psi(n)$ डेडेकिंड का अंकगणितीय फलन है, और $\sigma(n)$ भाजक-योग फलन है। यद्यपि ये फलन गुणनीय (multiplicative) हैं, उनकी रचनाएँ सामान्यतः इस गुण को खो देती हैं, जिससे शास्त्रीय गुणिक फलनों के सिद्धांत अप्रभावी हो जाते हैं। यह अध्ययन इन अपवादजनक समुच्चयों के आकार के लिए गुणात्मक घनत्व-शून्य (density-zero) परिणामों (जो सैंडोर और अन्य द्वारा स्थापित किए गए थे) को मात्रात्मक ऊपरी सीमाओं (quantitative upper bounds) में बदलने पर केंद्रित है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
प्रमाण तीन प्राथमिक विश्लेषणात्मक घटकों पर निर्भर करते हैं:

अभाज्य संख्याओं पर उत्पाद अनुमान (Product Estimates over Primes): फलनों के मानों को सीमित करने के लिए $\prod (1 \pm 1/p)$ के रूप में उत्पादों के विषमymptotic सूत्रों का उपयोग करना।
छाननी अनुमान (Sieve Estimates): उन पूर्णांकों के अनुपात का अनुमान लगाने के लिए कि वे विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों से मुक्त हैं। एक प्रमुख घटक लेम्मा 2.4 है, जो $x$ तक के उन पूर्णांकों की संख्या के लिए एक ऊपरी सीमा स्थापित करता है जहाँ एक निर्धारित अभाज्य $p$ , $\psi(n)$ को विभाजित नहीं करता है। यह दीक्षित और भट्टाचार्जी द्वारा पहले उपयोग किए गए छाननी तर्कों को अनुकूलित करता है।
लघु अभाज्य विभाजक परिणाम (Small Prime Divisor Results): मौजूदा परिणामों (गुओ एट अल., सैंडोर) का लाभ उठाना जो यह बताते हैं कि लगभग सभी $n$ के लिए, $\psi(n)$ , $\sigma(n)$ , और $\phi(n)$ , लगभग $c \frac{\log_2 x}{\log_3 x}$ की दहलीज तक के सभी लघु अभाज्य घातों (small prime powers) द्वारा विभाज्य हैं।

सामान्य रणनीति में शामिल है:

एक अपवादजनक सेट $E(x)$ को $O(x/(\log_3 x)^2)$ आकार के रूप में परिभाषित करना जहाँ लघु अभाज्य विभाजक गुण विफल हो जाता है।
$n \notin E(x)$ के लिए, रचना को ऊपर या नीचे से सीमित करने के लिए लघु अभाज्यो के $\psi(n)$ या $\sigma(n)$ के विभाज्यता का उपयोग करना।
परिणामी असमानताओं (जैसे, $\psi(n)/n > c \log y_x$ ) पर मार्कोव की असमानता (Markov's inequality) लागू करना ताकि शर्तों को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों की गणना को सीमित किया जा सके।
$\sum \psi(n)$ और $\sum \sigma(n)$ के ज्ञात विषमymptotic सूत्रों पर आंशिक योग (partial summation) का उपयोग करना।

प्रमुख योगदान और परिणाम

1. $\phi(\psi(n))$ और $\phi(\sigma(n))$ के लिए मात्रात्मक परिशोधन
शोध पत्र निश्चित $c > 0$ के लिए उन पूर्णांकों की संख्या के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा प्रदान करता है जो $\phi(\psi(n)) \ge cn$ और $\phi(\sigma(n)) \ge cn$ को संतुष्ट करते हैं।

$\phi(\psi(n))$ के लिए परिणाम: गणना $\left(\frac{15}{\pi^2 c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$ द्वारा सीमित है। यह सैंडोर के गुणात्मक घनत्व-शून्य परिणाम को परिष्कृत करता है।
$\phi(\sigma(n))$ के लिए परिणाम: गणना $\left(\frac{\pi^2}{6c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$ द्वारा सीमित है। यह दीक्षित और भट्टाचार्जी के परिणाम में सुधार करता है, जिन्होंने $x/\log^4 x$ का क्रम प्राप्त किया था; वर्तमान कार्य क्रम को $x/\log^3 x$ तक सुधारता है।

2. परिवर्तनीय दहलीज (Variable Thresholds)
लेखक निश्चित दहलीज $c$ को गैर-घटते फलनों $g(n)$ और $h(n)$ के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो $g(x), h(x) = o(\log_3 x)$ को संतुष्ट करते हैं।

समुच्चय $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ का आकार $O\left(\frac{x}{g(x) \log_3 x}\right)$ दिखाया गया है।
इसी प्रकार, समुच्चय $\{n \le x : \phi(\sigma(n)) \ge n/h(n)\}$ को $O\left(\frac{x}{h(x) \log_3 x}\right)$ द्वारा सीमित किया गया है।
दोनों परिणाम पुष्टि करते हैं कि ये समुच्चय घनत्व शून्य रखते हैं।

3. $\psi$ के पुनरावृत्तियों (Iterates) के लिए निचली सीमाएँ
शोध पत्र उन पूर्णांकों के लिए मात्रात्मक घनत्व-शून्य अनुमान स्थापित करता है जहाँ डेडेकिंड फलन का दूसरा पुनरावृत्ति (second iterate) छोटा है: $\psi(\psi(n)) \le cn$ और $\psi(\sigma(n)) \le cn$ ।

परिणाम: एक निश्चित $c > 0$ के लिए, एक स्थिरांक $z_c$ मौजूद है, जिससे गणना $\ll_c x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$ है।
यह दर्शाता है कि इन समुच्चयों का घनत्व शून्य है। प्रमाण इस बात पर निर्भर करता है कि यदि $\psi(\psi(n)) \le cn$ है, तो $\psi(n)$ में लघु अभाज्यो के एक उत्पाद का अभाव होना चाहिए, जो कि छाननी अनुमानों से प्राप्त एक कम संभावना वाली घटना है।
उपपत्ति (Corollary): यह परिणाम किसी भी निश्चित $k \ge 2$ के लिए $k$ -वीं पुनरावृत्ति $\psi^{(k)}(n)$ तक विस्तृत होता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह पहले से ज्ञात गुणात्मक परिणामों के मात्रात्मक परिशोधन प्रदान करता है।

यह $\phi(\sigma(n))$ से जुड़े अपवादजनक समुच्चय के ऊपरी बाउंड के लिए परिमाण के क्रम को $x/\log^4 x$ से बदलकर $x/\log^3 x$ में सुधार करता है।
यह $\psi(\psi(n))$ और $\psi(\sigma(n))$ के छोटे होने से संबंधित अपवादजनक समुच्चयों के लिए पहले मात्रात्मक अनुमान स्थापित करता है।
लेखक निष्कर्ष टिप्पणी में स्पष्ट रूप से उल्लेख करते हैं कि प्राप्त ऊपरी सीमाएँ इष्टतम (optimal) होने का दावा नहीं करती हैं। लक्षित अपवादजनक समुच्चय के एक सुपरसेट (superset) पर मार्कोव की असमानता का उपयोग करने से सटीकता में संभावित कमी आती है।

यह कार्य अंकगणितीय फलनों की रचनाओं और पुनरावृत्तियों के अध्ययन के व्यापक संदर्भ में स्थित है, जो अलाओला, एर्डोस, ग्रैनविले, पोमेरेंस, स्पिरो, सैंडोर और अन्य के आधारभूत कार्य पर निर्मित है। यह इन मिश्रित फलनों में "अपवादजनक" व्यवहार की आवृत्ति को स्पष्ट करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि हालांकि $\phi(\psi(n)) \le n$ जैसी असमानताओं के प्रति-उदाहरण (counterexamples) मौजूद हैं (जैसे, $n=39270$ ), वे अत्यंत विरल हैं।

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