Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function

Technische Samenvatting: Uitzonderlijke verzamelingen voor composities met betrekking tot de Euler-functie, de divisor-somfunctie en de Dedekind-functie

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de distributie van gehele getallen $n$ waarvoor specifieke composities van klassieke rekenkundige functies significant afwijken van hun verwachte grootte. Specifiek bestudeert de auteur "uitzonderlijke verzamelingen" waar de waarden van $\phi(\psi(n))$, $\phi(\sigma(n))$, $\psi(\psi(n))$ en $\psi(\sigma(n))$ ofwel ongewoon groot of ongewoon klein zijn ten opzichte van $n$.

Hierbij is $\phi(n)$ de Euler-totiëntfunctie, $\psi(n)$ de Dedekind-rekenkundige functie en $\sigma(n)$ de som-van-divisorenfunctie. Hoewel deze functies multiplicatief zijn, verliezen hun composities over het algemeen deze eigenschap, waardoor klassieke theorieën voor multiplicatieve functies niet toepasbaar zijn. De studie richt zich op het verfijnen van kwalitatieve resultaten met een dichtheid van nul (vastgesteld door Sándor en anderen) naar kwantitatieve bovengrenzen voor de grootte van deze uitzonderlijke verzamelingen.

Methodologie
De bewijzen steunen op drie primaire analytische ingrediënten:

1. Productschattingen over priemgetallen: Het gebruik van asymptotische formules voor producten van de vorm $\prod (1 \pm 1/p)$ om de waarden van de functies te begrenzen.
2. Zeefschattingen: Het toepassen van zeefmethoden om de proportie gehele getallen te schatten die vrij zijn van specifieke priemfactoren. Een cruciaal onderdeel is Lemma 2.4, die een bovengrens vaststelt voor het aantal gehele getallen $n \le x$ waarvoor een voorgeschreven priem $p$ niet deelbaar is in $\psi(n)$. Dit past zeefargumenten aan die eerder door Dixit en Bhattacharjee zijn gebruikt.
3. Resultaten over kleine priemdelers: Het benutten van bestaande resultaten (Guo et al., Sándor) dat $\psi(n)$, $\sigma(n)$ en $\phi(n)$ voor bijna alle $n$ deelbaar zijn door alle kleine priemmachten tot een drempelwaarde van ongeveer $c \frac{\log_2 x}{\log_3 x}$.

De algemene strategie omvat:

• Het definiëren van een uitzonderlijke verzameling $E(x)$ van grootte $O(x/(\log_3 x)^2)$ waar de eigenschap van kleine priemdelers faalt.
• Voor $n \notin E(x)$, het gebruik van de deelbaarheid van $\psi(n)$ of $\sigma(n)$ door kleine priemgetallen om de compositie van boven of van onderen te begrenzen.
• Het toepassen van de Markov-ongelijkheid op de resulterende ongelijkheden (bijv. $\psi(n)/n > c \log y_x$) om de telling van gehele getallen die aan de conditie voldoen te begrenzen.

4. Het gebruik van partiële sommatie op bekende asymptotische formules voor $\sum \psi(n)$ en $\sum \sigma(n)$.

Belangrijkste bijdragen en resultaten

1. Kwantitatieve verfijningen voor $\phi(\psi(n))$ en $\phi(\sigma(n))$
Het artikel biedt expliciete bovengrenzen voor het aantal gehele getallen $n \le x$ die voldoen aan $\phi(\psi(n)) \ge cn$ en $\phi(\sigma(n)) \ge cn$ voor een vaste $c > 0$.

• Resultaat voor $\phi(\psi(n))$: De telling wordt begrensd door $\left(\frac{15}{\pi^2 c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$. Dit verfijnt de kwalitatieve resultaten van Sándor met een dichtheid van nul.
• Resultaat voor $\phi(\sigma(n))$: De telling wordt begrensd door $\left(\frac{\pi^2}{6c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$. Dit verbetert het resultaat van Dixit en Bhattacharjee, die een grens van de orde $x/\log^4 x$ verkregen; het huidige werk verbetert de orde naar $x/\log^3 x$.

2. Variabele drempelwaarden
De auteur generaliseert de vaste drempel $c$ naar niet-dalende functies $g(n)$ en $h(n)$ die voldoen aan $g(x), h(x) = o(\log_3 x)$.

• De grootte van de verzameling $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ wordt aangetoond als $O\left(\frac{x}{g(x) \log_3 x}\right)$.
• Op dezelfde wijze is de verzameling $\{n \le x : \phi(\sigma(n)) \ge n/h(n)\}$ begrensd door $O\left(\frac{x}{h(x) \log_3 x}\right)$.
  Beide resultaten bevestigen dat deze verzamelingen een dichtheid van nul hebben.

3. Ondergrenzen voor iteraties van $\psi$
Het artikel stelt kwantitatieve dichtheid-nul schattingen vast voor gehele getallen waarbij de tweede iteratie van de Dedekind-functie klein is: $\psi(\psi(n)) \le cn$ en $\psi(\sigma(n)) \le cn$.

• Resultaat: Voor een vaste $c > 0$ bestaat er een constante $z_c$ waarvoor de telling $\ll_c x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$ is.
• Dit impliceert dat de verzamelingen een dichtheid van nul hebben. Het bewijs berust op het aantonen dat als $\psi(\psi(n)) \le cn$, dan $\psi(n)$ een product van kleine priemgetallen mist, een gebeurtenis met een lage waarschijnlijkheid afgeleid uit zeefschattingen.
• Corollary: Dit resultaat breidt zich uit naar de $k$-de iteratie $\psi^{(k)}(n)$ voor elke vaste $k \ge 2$.

Betekenis en claims
Het artikel claimt kwantitatieve verfijningen te bieden van eerder bekende kwalitatieve resultaten.

• Het corrigeert de orde van grootte voor de bovengrens van de uitzonderlijke verzameling geassocieerd met $\phi(\sigma(n))$, van $x/\log^4 x$ naar $x/\log^3 x$.
• Het stelt de eerste kwantitatieve schattingen vast voor de uitzonderlijke verzamelingen waarbij $\psi(\psi(n))$ en $\psi(\sigma(n))$ klein zijn.
• De auteur merkt in de afsluitende opmerkingen expliciet op dat de afgeleide bovengrenzen niet worden geclaimd optimaal te zijn. Het gebruik van de Markov-ongelijkheid op een bovengroep van de doelstelling uitzonderlijke verzameling introduceert een potentieel verlies in precisie.

Het werk is gesitueerd binnen de bredere context van het bestuderen van composities en iteraties van rekenkundige functies, voortbouwend op het fundamentele werk van Alaoglu, Erdős, Granville, Pomerance, Spiro, Sándor en anderen. Het verheldert de frequentie van "uitzonderlijk" gedrag in deze samengestelde functies, waarbij wordt aangetoond dat hoewel tegenvoorbeelden voor ongelijkheden zoals $\phi(\psi(n)) \le n$ bestaan (bijv. $n=39270$), deze schaars zijn.