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Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function

이 논문은 오일러의 토티언트 함수, 데데킨트 함수, 그리고 약수의 합 함수의 합성형을 포함하는 정수들의 예외 집합에 대하여 정량적 상한 및 밀도 영(zero) 추정치를 확립함으로써, 산도르, 딕시트, 그리고 바타차르지의 기존 밀도 결과를 정교화한다.

원저자: Aimin Guo

게시일 2026-08-21

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CC BY 4.0

원저자: Aimin Guo

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정수론의 광활한 풍경 속에서, 수학자들은 숫자들이 그 구성 요소로 분해될 때 어떻게 행동하는지를 종종 연구합니다. 이러한 성질을 측정하기 위해 세 가지 특정한 도구가 사용됩니다. 첫 번째 도구는 약수의 합의 변형으로, 각 숫자에 대해 약간 다른 프로필을 만들기 위해 약수를 계산하는 방식에 특정한 변화를 가합니다. 두 번째 도구는 주어진 숫자에 나누어떨어지는 더 작은 숫자들의 개수를 세는 것으로, 그 내부 구조의 척도가 됩니다. 세 번째 도구는 숫자의 모든 약수를 더하여, 인수의 세계에서 그 숫자가 갖는 전체적인 무게감을 부여합니다. 이 도구들은 각각 단독으로도 잘 작동하지만, 수학자들은 이들을 하나 위에 다른 하나를 쌓아 올릴 때 어떤 일이 발생하는지에 대해 오랫동안 궁금해해 왔습니다. 만약 어떤 숫자에 하나의 도구를 적용한 직후, 곧바로 다른 도구를 적용한다면, 최종 결과값은 원래의 숫자와 가까운 상태를 유지할까요, 아니면 멀리 벗어나 버릴까요? 이러한 함수들이 합성될 때 어떻게 상호작용하는지에 대한 질문은, 이러한 수학적 관계가 일반적인 패턴을 깨뜨리는 희귀한 예외들을 지도화하고자 하는 새로운 연구의 핵심입니다.

수십 년 동안, 특정 추측은 1보다 큰 모든 수에 대해 첫 번째 도구의 결과값에 두 번째 도구를 적용했을 때, 그 결과가 항상 시작했던 숫자보다 작을 것이라고 제안했습니다. 이는 처음 만 개의 숫자를 확인했을 때 성립했던 깔끔하고 예측 가능한 규칙이었습니다. 그러나 이 규칙은 결국 거짓으로 판명되었습니다. 숫자 39,270에서 특정 반례가 발견되었는데, 이 과정은 실제로 원래의 숫자보다 더 큰 결과를 만들어냈습니다. 이 단 하나의 예외가 보편적인 규칙이라는 생각을 산산조각 냈지만, 새로운 연구는 그러한 예외가 믿기 힘들 정도로 드물다는 것을 확인해 줍니다. 연구는 우리가 더 크고 더 큰 숫자 집합을 살펴볼수록, 기대되는 행동을 위반하는 숫자의 비율이 소멸하듯 작아진다는 것을 입증합니다. 실제로 연구자들은 주어진 범위 내에 그러한 이상치가 얼마나 존재할 수 있는지에 대한 정밀한 한계치를 계산해 냈으며, 이를 통해 대다수의 숫자가 비록 규칙이 절대적이지는 않더라도 여전히 기대되는 추세를 따르고 있음을 보여주었습니다.

이 논문은 이 수학적 도구들의 네 가지 특정한 조합에 초점을 맞춥니다. 연구진은 두 번째 도구가 첫 번째의 결과에 적용되는 경우, 두 번째 도구가 약수의 합에 적용되는 경우, 첫 번째 도구가 자기 자신에게 적용되는 경우, 그리고 첫 번째 도구가 약수의 합에 적용되는 경우를 조사했습니다. 처음 두 가지 조합에 대해, 연구팀은 유난히 큰 결과를 생성하는 정수의 상한선을 엄격하게 설정했습니다. 그들은 이러한 "예외적인" 사례의 개수가 검토되는 전체 정수의 개수보다 훨씬 더 느리게 증가한다는 것을 발견했습니다. 구체적으로, 그들은 이러한 희귀한 숫자들의 개수가 숫자가 커짐에 따라 얼마나 빨리 사라지는지에 대한 이해를 정교화함으로써, 이전의 수학자들이 예측했던 것보다 이 숫자의 수가 현저히 낮다는 것을 보여줌으로써 기존의 추정치를 개선했습니다.

연구는 또한 결과값이 유난히 작아지는 경우들을 살펴보았습니다. 첫 번째 도구가 두 번 적용되거나, 혹은 약수의 합에 적용될 때, 연구진은 결과값이 원래 값의 고정된 분율보다 작게 나오는 정수의 개수 또한 무시할 수 있는 수준임을 증명했습니다. 그들은 이러한 숫자 집합이 매우 희박하여 범위가 확장됨에 따라 모든 정수의 풍경 속에서 사실상 사라진다는 것을 보여주었습니다. 이는 특정 작은 소인수를 갖지 않는 숫자의 개수를 세는 방법을 개발함으로써 달성되었으며, 이 기법을 통해 연구팀은 이러한 예외적인 집단들의 크기를 높은 정밀도로 제한할 수 있었습니다.

이러한 고정된 한계를 넘어, 연구진은 "예외"라고 간주되는 임계치가 숫자가 커짐에 따라 천천히 변할 수 있도록 허용하는 더 유연한 시나리오를 탐구했습니다. 이러한 추가된 복잡성에도 불구하고, 결과는 확고하게 유지되었습니다. 연구는 임계치가 완만한 속도로 성장하는 한, 조건을 충족하지 못하는 정수의 수는 전체의 아주 작은 부분으로 남는다는 것을 확인했습니다. 이는 산술 함수들이 상호작용하는 방식에 있어 견고한 근본적 질서가 존재하며, 규범에서 벗어나는 일은 단순히 드문 것이 아니라 거대한 체계 안에서 거의 존재하지 않는 수준으로 수학적으로 제약되어 있음을 시사합니다. 이 연구는 절대적인 최선의 한계치를 찾아냈다고 주장하는 것은 아니며, 추가적인 정교화의 여지가 있을 수 있음을 인정하지만, 이전에 이용 가능했던 것보다 합성된 함수들의 행동에 대해 훨씬 더 날카롭고 정확한 그림을 제공합니다.

기술 요약: 오일러 함수, 디비저-섬 함수 및 데데킨트 함수를 포함하는 합성 함수의 예외적 집합

문제 정의
본 논문은 고전적인 산술 함수들의 특정 합성이 기대되는 크기에서 크게 벗어나는 정수 $n$ 의 분포를 조사한다. 구체적으로 저자는 $\phi(\psi(n))$ , $\phi(\sigma(n))$ , $\psi(\psi(n))$ , 그리고 $\psi(\sigma(n))$ 의 값이 $n$ 에 비해 지나치게 크거나 작은 "예외적 집합"을 연구한다.

여기서 $\phi(n)$ 은 오일러 토션 함수(Euler's totient function), $\psi(n)$ 은 데데킨트 산술 함수(Dedekind's arithmetic function), $\sigma(n)$ 은 약수의 합 함수(sum-of-divisors function)이다. 이러한 함수들은 곱셈적(multiplicative)이지만, 이들의 합성은 일반적으로 그 성질을 잃기 때문에 고전적인 곱셈적 함수의 이론을 적용할 수 없다. 본 연구는 Sándor 등이 확립한 질적 밀도-영(density-zero) 결과를 양적 상한값으로 정교화하는 데 초점을 맞춘다.

방법론
증명은 세 가지 주요 분석적 재료에 의존한다:

소수에 대한 곱 추정: 함수들의 값을 제한하기 위해 $\prod (1 \pm 1/p)$ 형태의 곱에 대한 점근 공식 활용.
체(Sieve) 추정: 특정 소인수를 갖지 않는 정수의 비율을 추정하기 위해 체 방법(sieve methods)을 적용. 핵심 요소인 보조정리 2.4는 주어진 소수 $p$ 가 $\psi(n)$ 을 나누지 않는 $n \le x$ 인 정수의 개수에 대한 상한을 설정한다. 이는 Dixit와 Bhattacharjee가 이전에 사용했던 체 논리를 변형한 것이다.
작은 소인수 결과: 거의 모든 $n$ 에 대해 $\psi(n), \sigma(n), \phi(n)$ 이 대략 $c \frac{\log_2 x}{\log_3 x}$ 의 임계값까지의 모든 작은 소수의 거듭제곱으로 나누어진다는 기존 결과(Guo 등, Sándor)를 활용.

일반적인 전략은 다음과 같다:

작은 소인수 성질이 실패하는 크기 $O(x/(\log_3 x)^2)$ 를 가진 예외 집합 $E(x)$ 를 정의한다.
$n \notin E(x)$ 인 경우, 작은 소수들에 의한 $\psi(n)$ 또는 $\sigma(n)$ 의 가해성(divisibility)을 사용하여 합성을 상한 또는 하한으로 제한한다.
결과적인 부등식(예: $\psi(n)/n > c \log y_x$ )에 마르코프 부등식(Markov's inequality)을 적용하여 조건을 만족하는 정수의 수를 제한한다.
$\sum \psi(n)$ 및 $\sum \sigma(n)$ 에 대한 알려진 점근 공식에 부분 합산(partial summation)을 적용한다.

주요 기여 및 결과

1. $\phi(\psi(n))$ 및 $\phi(\sigma(n))$ 에 대한 양적 정교화
본 논문은 고정된 $c > 0$ 에 대해 $\phi(\psi(n)) \ge cn$ 및 $\phi(\sigma(n)) \ge cn$ 을 만족하는 정수 $n \le x$ 의 개수에 대한 명시적인 상한을 제공한다.

$\phi(\psi(n))$ 에 대한 결과: 개수는 $\left(\frac{15}{\pi^2 c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$ 로 제한된다. 이는 Sándor의 질적 밀도-영 결과를 정교화한다.
$\phi(\sigma(n))$ 에 대한 결과: 개수는 $\left(\frac{\pi^2}{6c} + o(1)\right) \frac{x}{\log_3 x}$ 로 제한된다. 이는 $x/\log^4 x$ 의 차수를 얻었던 Dixit와 Bhattacharjee의 결과를 개선한 것이며, 본 연구는 차수를 $x/\log^3 x$ 로 개선하였다.

2. 가변 임계값
저자는 고정된 임계값 $c$ 를 $g(x), h(x) = o(\log_3 x)$ 를 만족하는 비감소 함수 $g(n)$ 과 $h(n)$ 으로 일반화한다.

집합 $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ 의 크기는 $O\left(\frac{x}{g(x) \log_3 x}\right)$ 임이 밝혀졌다.
유사하게, 집합 $\{n \le x : \phi(\sigma(n)) \ge n/h(n)\}$ 는 $O\left(\frac{x}{h(x) \log_3 x}\right)$ 로 제한된다.
두 결과 모두 이 집합들이 밀도 영임을 확인한다.

3. $\psi$ 반복 적용에 대한 하한
본 논문은 데데킨트 함수의 두 번째 반복 적용이 작은 경우, 즉 $\psi(\psi(n)) \le cn$ 및 $\psi(\sigma(n)) \le cn$ 인 정수에 대한 양적 밀도-영 추정치를 확립한다.

결과: 고정된 $c > 0$ 에 대해, $x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$ 를 따르는 상수 $z_c$ 가 존재하여 개수가 $\ll_c x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{1/z_c}$ 이다.
이는 해당 집합들이 밀도 영임을 의미한다. 증명은 만약 $\psi(\psi(n)) \le cn$ 이라면 $\psi(n)$ 이 작은 소수들의 곱을 결여해야 함을 보여주는 것에 기초하며, 이는 체 추정치로부터 도출된 낮은 확률의 사건이다.
따로붙임(Corollary): 이 결과는 임의의 고정된 $k \ge 2$ 에 대해 $k$ 번째 반복 $\psi^{(k)}(n)$ 으로 확장된다.

의의 및 주장
본 논문은 기존에 알려진 질적 결과들에 대한 양적 정교화를 제공한다고 주장한다.

$\phi(\sigma(n))$ 과 관련된 예외 집합의 상한 차수를 $x/\log^4 x$ 에서 $x/\log^3 x$ 로 수정하였다.
$\psi(\psi(n))$ 및 $\psi(\sigma(n))$ 이 작아지는 예외 집합에 대한 최초의 양적 추정치를 확립하였다.
저자는 결론 부분에서 도출된 상한들이 최적이라고 주장하지 않음을 명시적으로 언급하였다. 대상이 되는 예외 집합의 상위 집합(superset)에 마르코프 부등식을 사용하는 과정에서 정밀도의 손실이 발생할 가능성이 있다.

이 연구는 합성 함수 및 반복 함수 연구의 광범위한 맥락 내에 위치하며, Alaoglu, Erdős, Granville, Pomerance, Spiro, Sándor 등의 기초적인 연구를 바탕으로 한다. 본 연구는 이러한 합성 함수들에서 "예외적인" 행동이 발생하는 빈도를 명확히 하며, $\phi(\psi(n)) \le n$ 과 같은 부등식에 대한 반례(예: $n=39270$ )가 존재하더라도 그것이 매우 드물다는 것을 보여준다.

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