Data driven tensor product-based modeling and control of a damped Lotka-Volterra predator-prey process

في عالم الهندسة، غالبًا ما يبدو التحكم في آلة أو نظام بيولوجي كأنه محاولة لتوجيه سفينة عبر عاصفة بينما تستمر الخريطة في التغير. ولتوجيه نظام ما — سواء كان ذراعًا روبوتية، أو مفاعلًا كيميائيًا، أو تعدادًا لحيوانات — يحتاج المهندسون إلى نموذج رياضي، وهو مجموعة من القواعد التي تتنبأ بكيفية استجابة النظام للمدخلات المختلفة. بالنسبة للآلات البسيطة والمتوقعة، تكون هذه القواعد ثابتة وسهلة الكتابة. ولكن بالنسبة للأنظمة الحية المعقدة حيث تتغير الأشياء بناءً على حالتها الراهنة، تكون القواعد مرنة. لقد كان التحدي طويلًا هو كيفية إنشاء خريطة موثوقة لهذه المناظر الطبيعية المتغيرة باستخدام البيانات التي يمكننا قياسها فقط، دون الحاجة إلى معرفة كل التفاصيل الخفية لكيفية عمل النظام من الداخل. إذا تمكنا من بناء خريطة جيدة بما يكفي من الملاحظة وحدها، فيمكننا بعد ذلك تصميم وحدة تحكم تدفع النظام بلطف نحو مسار مرغوب، مما يحافظ على استقراره حتى عندما يحاول الانحراف عن المسار.

هذا هو اللغز الجوهري الذي عالجه أرپاد فارغا، وهو باحث في جامعة أوبودا في المجر، والذي سعى لاختبار طريقة جديدة لنمذجة والتحكم في سيناريو بيولوجي كلاسيكي: العلاقة بين المفترس والفريسة. النظام المحدد الذي درسه هو نسخة مخمدة من نموذج "لوتكا-فولتيرا"، وهو وصف رياضي شهير لكيفية ارتفاع وانخفاض تعداد المفترسات والفرائس معًا. في الطبيعة، إذا وجد الكثير من المفترسات، فإنها تأكل الكثير من الفرائس، مما يؤدي إلى انهيار تعداد الفرائس، وهو ما يؤدي في النهاية إلى تجويع المفترسات وانخفاض أعدادها، مما يسمح للفرائس بالتعافي. يمكن أن تكون هذه الدورة فوضوية، ولكن في هذه الدراسة، كان النظام "مخمدًا"، مما يعني أنه يستقر طبيعيًا بمرور الوقت بدلاً من التذبذب إلى الأبد. كان هدف الباحث هو معرفة ما إذا كان بإمكانه أخذ قياسات لهذه التعدادات، وبناء نموذج مبسط لسلوكها باستخدام تقنية رياضية محددة تسمى "نمذجة الضرب التنسوري"، ومن ثم استخدام هذا النموذج لإجبار التعدادات على البقاء عند مستوى معين ومرغوب، مما يؤدي فعليًا إلى ترويض التقلبات الجامحة للطبيعة.

للقيام بذلك، تعين على فارغا أولاً معرفة كيفية وصف النظام دون معرفة الثوابت البيولوجية الدقيقة التي تحكمه. وبدلاً من تخمين القواعد، تعامل مع النظام كصندوق أسود يمكنه مراقبته. ومن خلال قياس العدد الحالي للفرائس والمفترسات، وقياس مدى سرعة تغير هذه الأعداد في كل لحظة أيضًا، استطاع حساب لقطة لسلوك النظام. استخدم خدعة رياضية، تُعرف بعملية "المعكوس الزائف"، لعكس هندسة العلاقة بين الحالة الراهنة والتغير في الحالة. أعطاه هذا صورة تقريبية ولحظية للمنطق الداخلي للنظام. ومع ذلك، كانت هذه البيانات الخام فوضوية وصعبة الاستخدام للتحكم. ولجعلها مفيدة، قام بملاءمة منحنيات متعددة الحدود سلسة لنقاط البيانات، مما يعني رسم سطح مستمر عبر القياسات المبعثرة لتمثيل كيفية سلوك النظام عبر مستويات تعداد مختلفة.

ثم اختبر الباحث طريقة أكثر تقدمًا لتمثيل هذه البيانات نفسها: نمذجة الضرب التنسوري. تخيل البيانات كشكل معقد متعدد الأبعاد. وبدلاً من وصف هذا الشكل بمعادلة واحدة ضخمة تتطلب تخزين آلاف الأرقام، تقوم نمذجة الضرب التنسوري بتفكيك الشكل إلى شبكة من الكتل البنائية الأصغر والأبسط. إنها تحسب سلوك النظام من خلال النظر في كيفية دمج هذه الكتل بناءً على أعداد السكان الحالية. الفكرة هي أن هذا النهج قد يكون أكثر كفاءة، خاصة للأنظمة المعقدة للغاية ذات المتغيرات العديدة، لأنه يمكنه التقاط السلوك الأساسي بعدد أقل من الأرقام المخزنة مقارنة بمعادلة متعددة الحدود تقليدية. في هذه الدراسة، قارن الباحث بين الملاءمة التقليدية متعددة الحدود ونهج الضرب التنسوري الجديد ليرى أيهما ينشئ خريطة أفضل للتحكم في استخدامها.

أظهرت نتائج المحاكاة الحاسوبية أن كلا الطريقتين عملتا بشكل جيد ضمن نطاق البيانات التي رأتْها. استطاعت النماذج التنبؤ بدقة بكيفية سلوك النظام، مما سمح لخوارزمية تحكم، تعتمد على مبدأ يسمى "التحكم في عزم الدوران المحسوب"، بتوجيه التعدادات إلى رقم مستهدف. تعمل طريقة التحكم هذه من خلال حساب الفرق باستمرار بين مكان وجود النظام ومكان وجوده المفترض، ثم تطبيق قوة تصحيحية لسد تلك الفجوة. في عمليات المحاكاة، نجح كل من نموذج متعدد الحدود ونموذج الضرب التنسوري في إبقاء تعداد المفترس والفريسة مستقرين عند المستويات المرغوبة، مع أخطاء صغيرة جدًا. أظهر نموذج الضرب التنسوري عيبًا طفيفًا في هذه الحالة البسيطة المحددة: نظرًا لأن النظام يحتوي فقط على متغيرين (المفترسات والفرائس)، فإن طريقة التنسور تطلبت في الواقع تخزين أرقام أكثر من طريقة متعددة الحدود. وأشار الباحثون إلى أن ميزة نهج التنسور من المرجح أن تظهر فقط في الأنظمة الأكثر تعقيدًا ذات المتغيرات العديدة، حيث ستصبح الطريقة التقليدية ثقيلة وبطيئة للغاية للاستخدام.

ولإثبات أن هذا لم يكن مجرد خيال حاسوبي، بنى فارغا نسخة مادية من التجربة باستخدام حاسوب تناظري، وهو جهاز يستخدم الدوائر الكهربائية لمحاكاة العلاقات الرياضية في الوقت الفعلي. قام بربط هذه الأجهزة بمتحكم صناعي حديث، مما خلق نظامًا هجينًا حيث تمثل الدائرة الفيزيائية ديناميكيات المفترس والفريسة ويطبق المتحكم الرقمي التصحيحات. تضمن الإعداد إشارات جهد تمثل التعدادات، حيث تزيد الجهود الموجبة من التعداد بينما تمثل الجهود السالبة الصيد أو الإزالة. استخدم المتحكم نموذج الضرب التنسوري، المحمل في ذاكرته، لحساب التعديلات اللازمة. عندما تُرك النظام بمفرده، تذبذبت التعدادات كما هو متوقع. ولكن عندما تم تشغيل وحدة التحكم، نجحت في توجيه التعدادات من نقاط بدايتها الفوضوية إلى القيم المستقرة المحددة التي اختارها الباحث.

أكدت التجربة الفيزيائية أن النهج القائم على البيانات يعمل في العالم الحقيقي، وليس فقط في النظرية. تمكنت وحدة التحكم من تثبيت التعدادات، رغم أن التتبع كان أقل مثالية قليلاً مما كان عليه في المحاكاة الحاسوبية، وهو أمر معتاد عند الانتقال من بيئة رقمية نظيفة إلى بيئة فيزيائية بها ضجيج كهربائي وقيود للأجهزة. وجد الباحثون أن النظام يمكنه التعامل مع قيم مستهدفة مختلفة، ونقل التعدادات إلى حالات مستقرة جديدة بسلاسة. كما أظهروا أن وحدة التحكم يمكنها التكيف مع الأهداف المتغيرة في الوقت الفعلي، وهي قدرة حاسمة للتطبيقات العملية. وخلصت الدراسة إلى أنه على الرغم من أن طريقة الضرب التنسوري لم توفر ميزة في الذاكرة لهذا النظام البسيط المكون من متغيرين، إلا أن المنهجية العامة لبناء نموذج مباشرة من القياسات واستخدامه للتحكم هي منهجية قوية وفعالة.

يسلط هذا العمل الضوء على تحول في كيفية مقاربة المهندسين للأنظمة المعقدة. فبدلاً من قضاء سنوات في محاولة اشتقاق معادلات دقيقة لكل تفاعل بيولوجي أو كيميائي، من الممكن مراقبة النظام، وتعلم سلوكه من البيانات، وبناء نموذج وظيفي على الفور. هذا النهج قوي بشكل خاص للأنظمة التي تكون فيها الفيزياء الأساسية معقدة للغاية بحيث لا يمكن كتابتها بدقة، ولكن يمكن قياس سلوكها. تشير الدراسة إلى أنه بالنسبة للأنظمة الأبسط، قد تظل الطرق التقليدية كافية، ولكن مع زيادة تعقيد الأنظمة، قد يصبح القدرة على تفكيك السلوك إلى مكونات قابلة للإدارة ومرجحة أمرًا ضروريًا. وتعد هذه الأبحاث بمثابة إثبات لمفهوم أن النمذجة القائمة على البيانات يمكن أن تنجح في ترويض الإيقاعات غير المتوقعة للطبيعة، مما يوفر أداة جديدة لإدارة كل شيء من تعدادات الحياة البرية إلى العمليات الصناعية.