Data driven tensor product-based modeling and control of a damped Lotka-Volterra predator-prey process

공학의 세계에서 기계나 생물학적 시스템을 제어하는 것은 마치 지도가 계속 변하는 폭풍 속에서 배를 조종하는 것처럼 느껴지곤 합니다. 로봇 팔, 화학 반응기, 혹은 동물의 개체군과 같이 시스템을 안내하기 위해서 엔지니어들은 시스템이 서로 다른 입력에 어떻게 반응할지를 예측하는 일련의 규칙인 수학적 모델이 필요합니다. 단순하고 예측 가능한 기계의 경우, 이러한 규칙은 고정되어 있으며 기술하기 쉽습니다. 하지만 현재 상태에 따라 변화하는 복잡한 생명 시스템의 경우, 규칙은 유동적입니다. 오랫동안 지속된 과제는 내부의 모든 숨겨진 세부 사항을 알 필요 없이, 우리가 측정할 수 있는 데이터만을 사용하여 이러한 변화하는 지형에 대한 신뢰할 수 있는 지도를 어떻게 만드느냐 하는 것이었습니다. 만약 관찰만으로 충분히 좋은 지도를 만들 수 있다면, 우리는 시스템이 경로를 벗어나려 할 때도 안정성을 유지하며 원하는 경로로 부드럽게 밀어주는 제어기를 설계할 수 있습니다.

이것이 바로 헝가리 오부다 대학교의 연구원인 아르파드 바르가(Árpád Varga)가 고전적인 생물학적 시나리오인 포식자-피식자 관계를 모델링하고 제어하는 새로운 방법을 테스트하기 위해 해결하고자 했던 핵심적인 퍼즐입니다. 그가 연구한 구체적인 시스템은 포식자와 피식자의 개체수가 함께 상승하고 하락하는 방식을 설명하는 유명한 수학적 기술인 로트카-볼테라(Lotka-Volterra) 모델의 감쇠 버전입니다. 자연계에서 포식자가 너무 많으면 피식자를 너무 많이 잡아먹어 피식자 개체수가 급감하게 되고, 이는 결국 포식자의 굶주림으로 이어져 개체수가 줄어들게 함으로써 피식자가 다시 회복될 수 있게 합니다. 이 순환은 혼돈스러울 수 있지만, 이 연구에서 시스템은 "감쇠"되었습니다. 즉, 영원히 진동하는 대신 시간이 지남에 따라 자연스럽게 안정되는 상태를 의미합니다. 연구자의 목표는 이러한 개체군을 측정하여 텐서 곱 모델링(tensor product modeling)이라는 특정 수학적 기법을 사용해 행동의 단순화된 모델을 구축하고, 그 모델을 사용하여 개체군이 특정하고 원하는 수준에 머물도록 강제함으로써 자연의 거친 요동을 효과적으로 길들이는 것인지 확인하는 것이었습니다.

이를 위해 바르가는 먼저 시스템을 지배하는 정확한 생물학적 상수를 알지 못한 채로 시스템을 기술하는 방법을 찾아야 했습니다. 규칙을 추측하는 대신, 그는 시스템을 관찰 가능한 블랙박스로 취급했습니다. 현재의 피식자와 포식자 수를 측정하고, 또한 매 순간 그 수치가 얼마나 빠르게 변하는지를 측정함으로써, 그는 시스템의 행동에 대한 스냅샷을 계산할 수 있었습니다. 그는 의사 역행렬(pseudo-inverse) 연산이라고 알려진 수학적 트릭을 사용하여 현재 상태와 변화 상태 사이의 관계를 역설계했습니다. 이를 통해 그는 시스템의 내부 논리에 대한 대략적이고 즉각적인 그림을 얻을 수 있었습니다. 그러나 이 가공되지 않은 데이터는 지저도 사용하기 어려웠습니다. 이를 유용하게 만들기 위해, 그는 데이터 포인트에 매끄러운 다항식 곡선을 적합시켰으며, 이는 본질적으로 흩어진 측정값들을 통과하는 연속적인 표면을 그려내어 시스템이 다양한 개체수 수준에 따라 어떻게 행동하는지를 나타내는 작업이었습니다.

그 후 연구자는 동일한 데이터를 표현하기 위한 더 발전된 방법인 텐서 곱 모델링을 테스트했습니다. 데이터를 복잡한 다차원 형상이라고 상상해 보십시오. 이 형상을 수천 개의 숫자를 저장해야 하는 하나의 거대한 방정식으로 설명하는 대신, 텐서 곱 모델링은 이 형상을 더 작고 단순한 구성 요소들의 격자로 분해합니다. 이 방식은 현재의 개체수 수치에 따라 이 블록들이 어떻게 결합하는지를 살펴봄으로써 시스템의 행동을 계산합니다. 이 접근 방식은 훨씬 더 많은 변수를 가진 매우 복잡한 시스템에서 더 효율적일 수 있는데, 왜냐하면 전통적인 다항식 방정식보다 더 적은 숫자를 저장하면서도 핵심적인 행동을 포착할 수 있기 때문입니다. 이 연구에서 연구원은 전통적인 다항식 적합 방식과 이 새로운 텐서 곱 접근 방식을 비교하여 어떤 것이 제어기가 사용하기에 더 나은 지도를 만드는지 확인했습니다.

컴퓨터 시뮬레이션 결과, 두 방법 모두 관찰된 데이터 범위 내에서 잘 작동하는 것으로 나타났습니다. 모델들은 시스템이 어떻게 행동할지를 정확하게 예측할 수 있었으며, 이를 통해 계산된 토크 제어(computed torque control)라는 원리에 기반한 제어 알고리즘이 개체군을 목표 수치로 유도할 수 있었습니다. 이 제어 방법은 시스템이 현재 있는 곳과 있어야 할 곳 사이의 차이를 끊임없이 계산한 다음, 그 간극을 메우기 위해 교정력을 가하는 방식으로 작동합니다. 시뮬레이션에서 다항식 모델과 텐서 곱 모델 모두 포식자와 피식자 개체군을 원하는 수준으로 안정적으로 유지하며 매우 작은 오차를 보였습니다. 텐서 곱 모델은 이 특정하고 단순한 사례에서 약간의 불리함을 보였습니다. 시스템에 변수가 두 개(포식자와 피식자)뿐이었기 때문에, 텐서 방식이 다항식 방식보다 더 많은 숫자를 저장해야 했기 때문입니다. 연구진은 텐서 접근 방식의 이점은 변수가 훨씬 더 많은 훨씬 더 복렴한 시스템에서 나타날 가능성이 높다고 언급했습니다. 그곳에서는 전통적인 방식이 너무 무겁고 느려져 사용하기 어려워질 것이기 때문입니다.

이것이 단순히 컴퓨터상의 환상이 아님을 증명하기 위해, 바르가는 수학적 관계를 실시간으로 시뮬레이션하는 전기 회로를 사용하는 장치인 아날로그 컴퓨터를 사용하여 실험의 물리적 버전을 구축했습니다. 그는 이 하드웨어를 현대적인 산업용 컨트롤러에 연결하여, 물리적 회로가 포식자-피식자 역학을 나타내고 디지털 컨트롤러가 교정을 적용하는 하이브리드 시스템을 만들었습니다. 이 설정에는 개체군을 나타내는 전압 신호가 포함되었으며, 양(+)의 전압은 개체수를 증가시키고 음(-)의 전압은 사냥이나 제거를 나타냈습니다. 컨트롤러는 메모리에 로드된 텐서 곱 모델을 사용하여 필요한 조정을 계산했습니다. 시스템을 그대로 두었을 때 개체군은 예상대로 진동했습니다. 그러나 컨트롤러를 켜자, 시스템은 혼돈스러운 시작점에서 연구자가 선택한 특정하고 안정적인 값으로 개체군을 성공적으로 유도했습니다.

물리적 실험은 데이터 기반 접근 방식이 이론뿐만 아니라 실제 세계에서도 작동함을 확인시켜 주었습니다. 컨트롤러는 개체군을 안정화하는 데 성공했지만, 전기적 노이즈와 하드웨어의 한계가 있는 물리적 환경으로 넘어올 때 흔히 발생하는 현상처럼 추적 성능이 컴퓨터 시뮬레이션보다는 약간 덜 완벽했습니다. 연구진은 시스템이 서로 다른 목표치를 처리할 수 있으며, 개체군을 새로운 정상 상태로 부드럽게 이동시킬 수 있다는 것을 발견했습니다. 또한 그들은 컨트롤러가 실시간으로 변하는 목표치에 적응할 수 있음을 보여주었으며, 이는 실제 응용 분야에서 매우 중요한 능력입니다. 연구는 텐서 곱 방식이 이 단순한 두 변수 시스템에서 메모리 이점을 제공하지는 못했지만, 측정으로부터 직접 모델을 구축하고 이를 사용하는 전체적인 방법론은 견고하고 효과적이라는 결론을 내렸습니다.

이 연구는 엔지니어들이 복잡한 시스템에 어떻게 접근할 수 있는지에 대한 인식의 전환을 강조합니다. 모든 생물학적 또는 화학적 상호작용에 대한 정확한 방정식을 도출하기 위해 수년을 보내는 대신, 시스템을 관찰하고, 데이터로부터 행동을 학습하며, 기능적인 모델을 즉석에서 구축하는 것이 가능합니다. 이 접근 방식은 물리적 법칙을 완벽하게 써 내려가기에는 너무 복잡하지만 행동은 측정할 수 있는 시스템에 특히 강력합니다. 이 연구는 더 단순한 시스템의 경우 전통적인 방식이 여전히 충분할 수 있지만, 시스템이 복잡해짐에 따라 행동을 관리 가능한 가중 구성 요소로 분해하는 능력이 필수적이 될 수 있음을 시사합니다. 이 연구는 데이터 기반 모델링이 자연의 예측 불가능한 리듬을 성공적으로 길들일 수 있음을 보여주는 개념 증명으로서, 야생 동물 개체군 관리부터 산업 공정에 이르기까지 다양한 분야를 관리할 수 있는 새로운 도구를 제공합니다.