Data driven tensor product-based modeling and control of a damped Lotka-Volterra predator-prey process

エンジニアリングの世界において、機械や生物学的システムを制御することは、地図が刻々と変化する中で嵐の中を航海する船を操縦しようとするような感覚に近い。ロボットアームであれ、化学反応器であれ、あるいは動物の個体数であれ、システムを導くためには、異なる入力に対してシステムがどのように反応するかを予測する数学的モデル、すなわち一連のルールが必要である。単純で予測可能な機械の場合、これらのルールは固定されており、記述することも容易である。しかし、現在の状態に応じて変化する複雑な生命システムの場合、ルールは流動的である。長年の課題は、内部のあらゆる隠れた詳細を知る必要なく、観測可能なデータのみを用いて、いかにしてこの移り変わる風景に対して信頼できる地図を作成するかということであった。もし、観察のみから十分に優れた地図を構築できれば、システムを望ましい経路へと優しく押し戻し、迷走しようとしても安定を保てるようなコントローラーを設計することができる。

これは、ハンガリーのオブダ大学の研究者であるアーパード・ヴァルガ（Árpád Varga）が取り組んだ核心的なパズルである。彼は、古典的な生物学的シナリオである捕食者・被食者の関係をモデリングし、制御するための新しい手法をテストすることに乗り出した。彼が研究した特定のシステムは、有名なロトカ・ヴォルテラ・モデル（捕食者と被食者の個体数がどのように共に増減するかを記述した数学的モデル）の減衰版である。自然界では、捕食者が多すぎると被食者を食べ過ぎてしまい、その結果、被食者の個体数が激減し、最終的には捕食者が飢餓に陥って数が減少することで、被食者が回復できるようになる。このサイクルは混沌（カオス）としたものになり得るが、本研究におけるシステムは「減衰」しており、つまり、永遠に振動し続けるのではなく、時間の経過とともに自然に落ち着くようになっている。研究者の目的は、これらの個体数の測定値から、テンソル積モデリングと呼ばれる特定の数学的手法を用いて行動の簡略化されたモデルを構築し、その後、そのモデルを用いて個体数を特定の望ましいレベルに維持させ、自然の荒々しい変動を事実上「手懐ける」ことができるかどうかを確認することであった。

これを行うために、ヴァルガはまず、そのシステムを支配する正確な生物学的定数を知ることなく、どのように記述するかを考えなければならなかった。ルールを推測する代わりに、彼はシステムを観察可能な「ブラックボックス」として扱った。被食者と捕食者の現在の数、およびそれらの数が各瞬間においてどのように変化しているかを測定することで、システムの挙動のスナップショットを計算することができた。彼は、疑似逆行列演算として知られる数学的なトリックを用い、現在の状態と状態の変化との間の関係を逆算した。これにより、システムの内部ロジックに関する、大まかな瞬間のイメージを得ることができた。しかし、この生のデータは乱雑で使いにくかった。これを有用なものにするために、彼はデータポイントに対して滑らかな多項式曲線（ポリノミアル・カーブ）を適合させた。つまり、散在する測定値の間に連続的な曲面を描くことで、異なる個体数レベルにおいてシステムがどのように振る舞うかを表したのである。

次に、研究者はこの同じデータを表現するためのより高度な手法、すなわちテンソル積モデリングをテストした。データを複雑な多次元の形状として想像してみてほしい。この形状を、何千もの数値を保存する必要がある一つの巨大な方程式で記述する代わりに、テンソル積モデリングは、この形状をより小さく単純な構成要素のグリッドへと分解する。それは、現在の個体数に基づいてこれらのブロックがどのように組み合わさるかを見ることで、システムの挙動を計算する。このアプローチの考え方は、非常に複雑な変数を持つシステムにおいて、伝統的な多項式方程式よりも少ない保存数値で本質的な挙動を捉えることができるため、より効率的である可能性があるということである。本研究では、研究者は、どちらがコントローラーが使用するためのより優れた地図を作成するかを確認するために、伝統的な多項式適合とこの新しいテンソル積アプローチを比較した。

コンピュータ・シミュレーションの結果は、両方の手法が、既知のデータの範囲内において良好に機能したことを示した。モデルはシステムの挙動を正確に予測でき、「計算トルク制御（computed torque control）」と呼ばれる原理に基づいた制御アルゴリズムによって、個体数を目標値へと導くことができた。この制御手法は、システムが現在どこにあり、どこにあるべきかの差を常に計算し、そのギャップを埋めるための修正力を適用することで機能する。シミュレーションにおいて、多項式モデルとテンソル積モデルはともに、捕食者と被食者の個体数を望ましいレベルで安定させることに成功し、誤差は極めて小さかった。ただし、この特定の単純なケースにおいては、テンソル積モデルにはわずかな不利も見られた。システムが捕食者と被食者という2つの変数しか持っていなかったため、テンソル法は実際には多項式法よりも多くの数値を保持する必要があった。研究者らは、テンソルアプローチの利点は、より多くの変数を持つはるかに複雑なシステムにおいて現れる可能性が高いと指摘している。そのような場合、伝統的な手法はあまりにも重く、動作が遅くなってしまうからである。

これが単なるコンピュータ上の空想ではないことを証明するために、ヴァルガはアナログコンピュータを用いた物理的な実験装置を構築した。アナログコンピュータとは、数学的な関係をリアルタイムでシミュレートするために電気回路を使用する装置である。彼はこのハードウェアを現代的な産業用コントローラーに接続し、物理的な回路が捕食者・被食者のダイナミクスを表し、デジタルコントローラーが修正を加えるというハイブリッドシステムを作り上げた。セットアップには、個体数を表す電圧信号が含まれており、正の電圧は個体数を増やし、負の電圧は狩猟や除去を表している。コントローラーは、メモリにロードされたテンソル積モデルを使用して、必要な調整を計算した。システムを放置すると、個体数は予想通りに振動した。しかし、コントローラーをオンにすると、個体数を混沌とした開始点から、研究者が選択した特定の安定した値へと見事に導いた。

物理実験は、データ駆動型のアプローチが理論だけでなく現実世界でも機能することを裏付けた。コントローラーは個体数を安定させることに成功したが、電気的なノイズやハードウェアの制限がある物理的な環境へ移行すると、コンピュータ・シミュレーションよりも追従性がわずかに劣るという結果となった。これは、クリーンなデジタル環境から物理的な環境へ移行する際には典型的な現象である。研究者らは、システムが異なる目標値にも対応でき、個体数を新しい定常状態へとスムーズに移動させられることを発見した。また、コントローラーがリアルタイムで変化する目標に適応できることも実証した。これは実用的なアプリケーションにおいて極めて重要な能力である。研究は、テンソル積法がこの単純な2変数システムにおいてメモリの利点をもたらさなかったとしても、測定から直接モデルを構築し、それを使用して制御するという全体的な手法は堅牢で効果的であると結論づけた。

この研究は、エンジニアが複雑なシステムに対してどのようにアプローチすべきかというパラダイムの転換を浮き彫りにしている。あらゆる生物学的または化学的な相互作用について正確な方程式を導き出すために何年も費やす代わりに、システムを観察し、データからその挙動を学習し、機能的なモデルを即座に構築することが可能なのである。このアプローチは、基礎となる物理学を完璧に書き下ろすことは難しくても、その挙動を測定できるシステムにおいて特に強力である。本研究は、より単純なシステムにおいては伝統的な手法が依然として十分である可能性がある一方で、システムが複雑さを増すにつれて、その挙動を管理可能な加重成分へと分解する能力が不可欠になる可能性があることを示唆している。この研究は、データ駆動型のモデリングが自然の予測不可能なリズムを制御できることを示す概念実証であり、野生動物の個体数管理から産業プロセスに至るまで、あらゆるものを管理するための新しいツールを提供している。