Data driven tensor product-based modeling and control of a damped Lotka-Volterra predator-prey process

In de wereld van de techniek voelt het besturen van een machine of een biologisch systeem vaak als het navigeren van een schip door een storm terwijl de kaart voortdurend verandert. Om een systeem te sturen—of het nu een robotarm, een chemische reactor of een populatie dieren is—hebben ingenieurs een wiskundig model nodig, een set regels die voorspelt hoe het systeem zal reageren op verschillende inputs. Voor eenvoudige, voorspelbare machines zijn deze regels vast en gemakkelijk op te schrijven. Maar voor complexe, levende systemen waar zaken veranderen op basis van hun huidige staat, zijn de regels vloeibaar. De uitdaging is lang geweest hoe men een betrouwbare kaart kan maken voor deze verschuende landschappen met alleen de gegevens die we kunnen meten, zonder dat men elk verborgen detail van hoe het systeem van binnen werkt, hoeft te kennen. Als we alleen op basis van observatie een goede genoeg kaart kunnen bouwen, kunnen we vervolgens een controller ontwerpen die het systeem zachtjes op een gewenst pad duwt, waardoor het stabiel blijft zelfs wanneer het probeert af te dwalen.

Dit is de kern van het puzzelstuk waar Árpád Varga, een onderzoeker aan de Obuda Universiteit in Hongarije, zich mee bezighoudt, die zich ermee heeft voorgedaan om een nieuwe manier van modelleren en besturen van een klassiek biologisch scenario te testen: de predator-prooi-relatie. Het specifieke systeem dat hij bestudeerde is een gedempte versie van het Lotka-Volterra-model, een beroemde wiskundige beschrijving van hoe populaties roofdieren en prooien samen stijgen en dalen. In de natuur zorgt het dat als er te veel roofdieren zijn, zij te veel prooien eten, wat ertoe leidt dat de prooi-populatie instort, wat uiteindelijk leidt tot de hongerdood van de roofdieren en hun aantallen doet dalen, waardoor de prooi kan herstellen. Deze cyclus kan chaotisch zijn, maar in deze studie was het systeem "gedempt", wat betekent dat het van nature na verloop van tijd tot rust komt in plaats van eeuwig te blijven oscilleren. Het doel van de onderzoeker was om te zien of hij de populaties kon meten, een vereenvoudigd model van hun gedrag kon bouwen met behulp van een specifieke wiskundige techniek genaamd tensorproduct-modellering, en vervolgens dat model kon gebruiken om de populaties op een specifiek, gewenst niveau te houden, waardoor de wilde schommelingen van de natuur effectief getemd worden.

Om dit te doen, moest Varga eerst uitzoeken hoe hij het systeem kon beschrijven zonder de exacte biologische constanten te kennen die het beheersen. In plaats van de regels te raden, behandelde hij het systeem als een 'black box' die hij kon observeren. Door de huidige aantallen prooi en roofdier te meten, en ook te meten hoe snel die aantallen op elk moment veranderden, kon hij een momentopname van het gedrag van het systeem berekenen. Hij gebruikte een wiskundige truc, bekend als een pseudo-inverse operatie, om de relatie tussen de huidige staat en de verandering in staat terug te ontwerpen. Dit gaf hem een ruwe, instantane blik op de interne logica van het systeem. Echter, deze ruwe data was rommelig en moeilijk te gebruiken voor besturing. Om het bruikbaar te maken, paste hij vloeiende polynoomcurven toe op de datapunten, wat in feite het tekenen van een continu oppervlak door de verspreide metingen is om te representeren hoe het systeem zich gedraagt bij verschillende populatieniveaus.

De onderzoeker testte vervolgens een geavanceerdere methode om dezelfde data te representeren: tensorproduct-modellering. Stel je de data voor als een complexe, multidimensionale vorm. In plaats van deze vorm te beschrijven met één enkele, enorme vergelijking die de opslag van duizenden getallen vereist, breekt tensorproduct-modellering de vorm af in een rooster van kleinere, eenvoudigere bouwstenen. Het berekent het gedrag van het systeem door te kijken naar hoe deze blokken combineren op basis van de huidige populatiegetallen. Het idee is dat deze aanpak efficiënter kan zijn, vooral voor zeer complexe systemen met veel variabelen, omdat het de essentiële essentie van het gedrag kan vangen met minder opgeslagen getallen dan een traditionele polynoomvergelijking. In deze studie vergeleken de onderzoekers de traditionele polynoomfit met deze nieuwe tensorproduct-aanpak om te zien welke de betere kaart creëerde voor de controller om te gebruiken.

De resultaten van de computersimulaties toonden aan dat beide methoden goed werkten binnen het bereik van de data die ze hadden gezien. De modellen konden het gedrag van het systeem accuraat voorspellen, waardoor een controle-algoritme, gebaseerd op een principe genaamd 'computed torque control', de populaties naar een doelgetal kon leiden. Deze besturingsmethode werkt door constant het verschil te berekenen tussen waar het systeem zich bevindt en waar het zou moeten zijn, en vervolgens een corrigerende kracht toe te passen om die kloof te dichten. In de simulaties slaagden zowel het polynoommodel als het tensorproductmodel erin om de predator- en prooipopulaties stabiel te houden op de gewenste niveaus, met zeer kleine fouten. Het tensorproductmodel vertoonde in dit specifieke, eenvoudige geval echter een klein nadeel: omdat het systeem slechts twee variabelen had (roofdieren en prooien), vereiste de tensor-methode feitelijk meer opslag van getallen dan de polynoommethode. De onderzoekers merkten op dat het voordeel van de tensor-aanpak waarschijnlijk pas zal optreden in veel complexere systemen met veel meer variabelen, waar de traditionele methode te zwaar en traag zou worden voor gebruik.

Om te bewijzen dat dit niet slechts een computerfantasie was, bouwde Varga een fysieke versie van het experiment met behulp van een analoge computer, een apparaat dat elektrische circuits gebruikt om wiskundige relaties in real-time te simuleren. Hij verbond deze hardware met een moderne industriële controller, waardoor een hybride systeem ontstond waarbij het fysieke circuit de predator-prooi-dynamiek representeerde en de digitale controller de correcties toepaste. De opstelling omvatte voltagesignalen die de populaties representeerden, waarbij positieve voltages de populatie toevoegden en negatieve voltages jagen of verwijderen representeerden. De controller gebruikte het tensorproductmodel, dat in zijn geheugen geladen was, om de noodzakelijke aanpassingen te berekenen. Wanneer het systeem aan zijn lot werd overgelaten, oscilleerden de populaties zoals verwacht. Maar toen de controller werd ingeschakeld, slaagde deze erin de populaties vanuit hun chaotische startpunten naar de specifieke, stabiele waarden te leiden die de onderzoeker had gekozen.

Het fysieke experiment bevestigde dat de datagedreven aanpak in de echte wereld werkt, en niet alleen in de theorie. De controller slaagde erin de populaties te stabiliseren, hoewel de tracking iets minder perfect was dan in de computersimulaties, wat gebruikelijk is bij de overgang van een schone digitale omgeving naar een fysieke omgeving met elektrische ruis en hardwarebeperkingen. De onderzoekers ontdekten dat het systeem verschillende doelwaarden kon hanteren, waarbij de populaties soepel naar nieuwe evenwichtstoestanden werden geleid. Ze demonstreerden ook dat de controller in real-time kon adapteren aan veranderende doelen, een cruciale capaciteit voor praktische toepassingen. De studie concludeerde dat hoewel de tensorproductmethode geen geheugenvoordeel bood voor dit eenvoudige systeem met twee variabelen, de algehele methodologie van het direct bouwen van een model uit metingen en het gebruiken ervan voor besturing robuust en effectief is.

Het werk benadrukt een verschuiving in de manier waarop ingenieurs complexe systemen kunnen benaderen. In plaats van jaren te besteden aan het afleiden van exacte vergelijkingen voor elke biologische of chemische interactie, is het mogelijk om het systeem te observeren, het gedrag ervan te leren van de data en ter plekke een functioneel model te construeren. Deze aanpak is bijzonder krachtig voor systemen waarbij de onderliggende fysica te ingewikkeld is om perfect op te schrijven, maar waar het gedrag wel gemeten kan worden. De studie suggereert dat voor eenvoudigere systemen traditionele methoden nog steeds voldoende kunnen zijn, maar naarmate systemen complexer worden, de mogelijkheid om het gedrag af te breken in beheersbare, gewogen componenten essentieel kan worden. Het onderzoek dient als een bewijs van concept dat datagedreven modellering succesvol de onvoorspelbare ritmes van de natuur kan temmen, en biedt een nieuw instrument voor het beheren van alles van wilde populaties tot industriële processen.