Data driven tensor product-based modeling and control of a damped Lotka-Volterra predator-prey process

इंजीनियरिंग की दुनिया में, किसी मशीन या जैविक प्रणाली को नियंत्रित करना अक्सर एक ऐसे जहाज को तूफान के बीच से चलाने की कोशिश करने जैसा लगता है जहाँ नक्शा बार-बार बदलता रहता है। किसी प्रणाली का मार्गदर्शन करने के लिए—चाहे वह एक रोबोटिक हाथ हो, एक रासायनिक रिएक्टर हो, या जानवरों की एक आबादी—इंजीनियरों को एक गणितीय मॉडल की आवश्यकता होती है, जो नियमों का एक ऐसा समूह हो जो यह भविष्यवाणी कर सके कि विभिन्न इनपुट के प्रति प्रणाली कैसे प्रतिक्रिया देगी। सरल, अनुमानित मशीनों के लिए, ये नियम निश्चित होते हैं और उन्हें लिखना आसान होता है। लेकिन जटिल, जीवित प्रणालियों के लिए जहाँ चीजें अपनी वर्तमान स्थिति के आधार पर बदलती हैं, नियम तरल होते हैं। चुनौती लंबे समय से यह रही है कि केवल उस डेटा का उपयोग करके इन बदलते परिदृश्यों के लिए एक विश्वसनीय नक्शा कैसे बनाया जाए, जिसमें यह जानने की आवश्यकता न हो कि सिस्टम के अंदर कैसे काम करता है। यदि हम केवल अवलोकन से एक पर्याप्त अच्छा नक्शा बना सकें, तो हम फिर एक नियंत्रक (कंट्रोलर) डिजाइन कर सकते है जो प्रणाली को धीरे से वांछित पथ पर धकेल दे, जिससे वह भटकने के प्रयासों के बावजूद स्थिर बनी रहे।

यह वही मुख्य पहेली है जिसे हंगरी के ओबुडा विश्वविद्यालय के एक शोधकर्ता, आर्पाद वर्गा (Árpád Varga) ने हल करने का प्रयास किया, जिन्होंने एक क्लासिक जैविक परिदृश्य: शिकारी-शिकार (प्रिडेटर-प्रे) संबंध के मॉडलिंग और नियंत्रण के एक नए तरीके का परीक्षण करने का निर्णय लिया। उन्होंने जिस विशिष्ट प्रणाली का अध्ययन किया वह लोटका-वोल्टेरा मॉडल (Lotka-Volterra model) का एक 'डैम्प्ड' (damped) संस्करण है, जो शिकारियों और शिकार की आबादी के एक साथ बढ़ने और घटने का एक प्रसिद्ध गणितीय विवरण है। प्रकृति में, यदि शिकारियों की संख्या बहुत अधिक हो जाती है, तो वे बहुत अधिक शिकार खा जाते हैं, जिससे शिकार की आबादी गिर जाती है, जिसके कारण अंततः शिकारी भूखे मर जाते हैं और उनकी संख्या कम हो जाती है, जिससे शिकार को उबरने का अवसर मिलता है। यह चक्र अराजक हो सकता है, लेकिन इस अध्ययन में, प्रणाली "डैम्प्ड" थी, जिसका अर्थ है कि यह हमेशा दोलन करने के बजाय समय के साथ स्वाभाविक रूप से स्थिर हो जाती है। शोधकर्ता का लक्ष्य यह देखना था कि क्या वह इन आबादी के माप ले सकता है, 'टेन्सर प्रोडक्ट मॉडलिंग' नामक एक विशिष्ट गणितीय तकनीक का उपयोग करके उनके व्यवहार का एक सरलीकृत मॉडल बना सकता है, और फिर उस मॉडल का उपयोग करके आबादी को एक विशिष्ट, वांछित स्तर पर बनाए रखने के लिए मजबूर कर सकता है, प्रभावी रूप से प्रकृति के अनियंत्रित उतार-चढ़ाव को नियंत्रित कर सकता है।

इसे करने के लिए, वर्गा को पहले यह पता लगाना था कि बिना उन सटीक जैविक स्थिरांकों (constants) को जाने इस प्रणाली का वर्णन कैसे किया जाए जो इसे नियंत्रित करते हैं। नियमों का अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने प्रणाली को एक 'ब्लैक बॉक्स' के रूप में माना जिसे वह देख सकते थे। शिकार और शिकारियों की वर्तमान संख्या को मापकर, और साथ ही हर क्षण उन संख्याओं के बदलने की गति को मापकर, वह प्रणाली के व्यवहार का एक स्नैपशॉट निकाल सकते थे। उन्होंने एक गणितीय युक्ति का उपयोग किया, जिसे 'स्यूडो-इनवर्स ऑपरेशन' (pseudo-inverse operation) के रूप में जाना जाता है, ताकि वर्तमान स्थिति और परिवर्तन की स्थिति के बीच के संबंध को रिवर्स-इंजीनियर किया जा सके। इससे उन्हें सिस्टम के आंतरिक तर्क की एक कच्ची, तात्कालिक तस्वीर मिली। हालाँकि, यह कच्चा डेटा अव्यवस्थित था और उपयोग के लिए कठिन था। इसे उपयोगी बनाने के लिए, उन्होंने डेटा बिंदुओं पर चिकनी 'पॉलीनोमियल कर्व्स' (polynomial curves) फिट कीं, जो अनिवार्य रूप से बिखरे हुए मापों के माध्यम से एक निरंतर सतह बनाकर यह दर्शाती हैं कि प्रणाली विभिन्न जनसंख्या स्तरों पर कैसे व्यवहार करती है।

इसके बाद शोधकर्ता ने इसी डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अधिक उन्नत विधि का परीक्षण किया: टेन्सर प्रोडक्ट मॉडलिंग। डेटा की कल्पना एक जटिल, बहु-आयामी आकार के रूप में करें। इस आकार को एक विशाल समीकरण के साथ वर्णित करने के बजाय, जिसमें हजारों नंबरों को स्टोर करने की आवश्यकता होती है, टेन्सर प्रोडक्ट मॉडलिंग इस आकार को छोटे, सरल बिल्डिंग ब्लॉक्स के ग्रिड में तोड़ देता है। यह वर्तमान जनसंख्या संख्या के आधार पर ये ब्लॉक कैसे संयोजित होते हैं, इसे देखकर सिस्टम के व्यवहार की गणना करता है। विचार यह है कि यह दृष्टिकोण अधिक कुशल हो सकता है, विशेष रूप से कई चरों वाले बहुत जटिल सिस्टम के लिए, क्योंकि यह पारंपरिक पॉलीनोमियल समीकरण की तुलना में कम संग्रहीत नंबरों के साथ आवश्यक व्यवहार को पकड़ सकता है। इस अध्ययन में, शोधकर्ता ने पारंपरिक पॉलीनोमियल फिट बनाम इस नए टेन्सर प्रोडक्ट दृष्टिकोण की तुलना की ताकि यह देखा जा सके कि कौन सा बेहतर नक्शा तैयार करता है।

कंप्यूटर सिमुलेशन के परिणामों ने दिखाया कि दोनों विधियाँ देखे गए डेटा की सीमा के भीतर अच्छी तरह से काम करती हैं। मॉडल सटीक रूप से भविष्यवाणी कर सकते थे कि सिस्टम कैसे व्यवहार करेगा, जिससे एक नियंत्रण एल्गोरिदम, जो 'कम्प्यूटेड टॉर्क कंट्रोल' (computed torque control) के सिद्धांत पर आधारित है, आबादी को एक लक्ष्य संख्या तक निर्देशित कर सकता है। यह नियंत्रण विधि इस आधार पर काम करती है कि सिस्टम वर्तमान में कहाँ है और उसे कहाँ होना चाहिए, इसके बीच के अंतर की लगातार गणना करती है, और फिर उस अंतर को भरने के लिए एक सुधारात्मक बल लगाती है। सिमुलेशन में, पॉलीनोमियल मॉडल और टेन्सर प्रोडक्ट मॉडल दोनों ने सफलतापूर्वक शिकारियों और शिकार की आबादी को वांछित स्तरों पर स्थिर रखा, जिसमें त्रुटियां बहुत कम थीं। टेन्सर प्रोडक्ट मॉडल ने इस विशिष्ट, सरल मामले में एक मामूली नुकसान भी दिखाया: क्योंकि सिस्टम में केवल दो चर (शिकारी और शिकार) थे, टेन्सर विधि को पॉलीनोमियल विधि की तुलना में वास्तव में अधिक नंबर स्टोर करने की आवश्यकता थी। शोधकर्ताओं ने उल्लेख किया कि टेन्सर दृष्टिकोण का लाभ संभवतः बहुत अधिक चरों वाले बहुत अधिक जटिल सिस्टम में दिखाई देगा, जहाँ पारंपरिक विधि बहुत भारी और धीमी हो जाएगी।

यह सिद्ध करने के लिए कि यह केवल एक कंप्यूटर कल्पना नहीं थी, वर्गा ने एक 'एनालॉग कंप्यूटर' का उपयोग करके प्रयोग का एक भौतिक संस्करण बनाया, जो एक ऐसा उपकरण है जो वास्तविक समय में गणितीय संबंधों को सिम्युलेट करने के लिए विद्युत सर्किट का उपयोग करता है। उन्होंने इस हार्डवेयर को एक आधुनिक औद्योगिक नियंत्रक (इंडस्ट्रियल कंट्रोलर) से जोड़ा, जिससे एक हाइब्रिड सिस्टम बना जहाँ भौतिक सर्किट शिकारी-शिकार की गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करता था और डिजिटल कंट्रोलर सुधार लागू करता था। सेटअप में वोल्टेज सिग्नल शामिल थे जो आबादी का प्रतिनिधित्व करते थे, जिसमें सकारात्मक वोल्टेज आबादी को बढ़ाते थे और नकारात्मक वोल्टेज शिकार या निष्कासन का प्रतिनिधित्व करते थे। कंट्रोलर ने टेन्सर प्रोडक्ट मॉडल का उपयोग किया, जिसे उसकी मेमोरी में लोड किया गया था, ताकि आवश्यक समायोजन की गणना की जा सके। जब सिस्टम को अकेला छोड़ दिया गया, तो आबादी उम्मीद के मुताबिक दोलन करने लगी। लेकिन जब कंट्रोलर चालू किया गया, तो उसने सफलतापूर्वक आबादी को उनके अराजक शुरुआती बिंदुओं से उन विशिष्ट, स्थिर मूल्यों तक निर्देशित किया जिन्हें शोधकर्ता ने चुना था।

भौतिक प्रयोग ने पुष्टि की कि डेटा-संचालित दृष्टिकोण वास्तविक दुनिया में भी काम करता है, न कि केवल सिद्धांत में। कंट्रोलर ने आबादी को स्थिर करने में सफलता प्राप्त की, हालांकि ट्रैकिंग कंप्यूटर सिमुलेशन की तुलना में थोड़ी कम सटीक थी, जो कि विद्युत शोर (electrical noise) और हार्डवेयर सीमाओं वाले भौतिक वातावरण में जाना सामान्य है। शोधकर्ताओं ने पाया कि सिस्टम अलग-अलग लक्ष्य मानों को संभाल सकता था, जिससे आबादी को नए स्थिर अवस्थाओं में सुचारू रूप से ले जाया जा सका। उन्होंने यह भी प्रदर्शित किया कि कंट्रोलर वास्तविक समय में बदलते लक्ष्यों के अनुकूल हो सकता है, जो व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए एक महत्वपूर्ण क्षमता है। अध्ययन का निष्कर्ष निकला कि भले ही टेन्सर प्रोडक्ट विधि ने इस सरल दो-चर वाले सिस्टम के लिए मेमोरी का लाभ नहीं दिया, लेकिन सीधे मापों से एक मॉडल बनाने और उसका उपयोग करने की समग्र कार्यप्रणाली मजबूत और प्रभावी है।

यह कार्य इस बात को उजागर करता है कि इंजीनियर जटिल प्रणालियों के प्रति अपना दृष्टिकोण कैसे बदल सकते हैं। हर जैविक या रासायनिक अंतःक्रिया के लिए सटीक समीकरण निकालने में वर्षों बिताने के बजाय, यह संभव है कि सिस्टम का अवलोकन किया जाए, डेटा से उसके व्यवहार को सीखा जाए, और मौके पर ही एक कार्यात्मक मॉडल बनाया जाए। यह दृष्टिकोण उन प्रणालियों के लिए विशेष रूप से शक्तिशाली है जहाँ अंतर्निहित भौतिकी को पूरी तरह से लिखना बहुत जटिल है लेकिन व्यवहार को मापा जा सकता है। अध्ययन बताता है कि सरल प्रणालियों के लिए, पारंपरिक विधियाँ अभी भी पर्याप्त हो सकती हैं, लेकिन जैसे-जैसे सिस्टम जटिल होते जाते हैं, व्यवहार को प्रबंधनीय, भारित घटकों में तोड़ने की क्षमता आवश्यक हो सकती है। यह शोध एक 'प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट' है कि डेटा-संचित मॉडलिंग सफलतापूर्वक प्रकृति की अप्रत्याशित लय को नियंत्रित कर सकता है, जो वन्यजीव आबादी से लेकर औद्योगिक प्रक्रियाओं तक के प्रबंधन के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है।