A virtually nilpotent group whose Green series is not D-finite

1. Problemstellung und Kontext

Die Green-Reihe:
Der Artikel untersucht die Green-Reihe (auch bekannt als Cogrowth-Reihe), bezeichnet als $\Gamma(G, S)(z)$, für eine Gruppe $G$ mit einer endlichen erzeugenden Multimenge $S$. Sie ist definiert als:
$$\Gamma(G, S)(z) = \sum_{\ell \geq 0} c_\ell z^\ell$$
wobei $c_\ell$ die Anzahl der geschlossenen Pfade der Länge $\ell$ ist, die im Cayley-Graphen von $(G, S)$ beim Identitätselement $e_G$ beginnen und enden.

Die Hierarchie der Reihen:
Der Autor versucht, diese Reihen innerhalb einer spezifischen algebraischen Hierarchie zu klassifizieren:
$$\text{Rational} \subset \text{Algebraisch} \subset \text{Diagonale einer Rationalen} \subset \text{D-endlich} \subset \text{D-algebraisch}$$

• D-endlich (Holonom): Eine Reihe ist D-endlich, wenn ihre Koeffizienten eine lineare Rekursionsbeziehung mit polynomialen Koeffizienten erfüllen.
• Bekannte Ergebnisse:
  • Rational genau dann, wenn $G$ endlich ist.
  • Algebraisch, wenn $G$ virtually frei ist.
  • Diagonale einer rationalen Reihe, wenn $G$ virtually $F_m \times \mathbb{Z}^n$ ist.
  • Nicht D-endlich für amenable Gruppen mit superpolynomialem Wachstum (Bell & Mishna).
  • Nicht D-endlich für spezifische erzeugende Mengen von $F_2 \times F_2$ und $SL_4(\mathbb{Z})$ (Garrabrant & Pak).

Die offene Frage:
Für virtuell nilpotente Gruppen war der Konsens unklar. Während die asymptotischen Wachstumsraten der Koeffizienten oft mit denen von D-endlichen Reihen übereinstimmten, war unbekannt, ob die Reihe selbst immer D-endlich ist. Ein vorheriges Ergebnis von Pak und Soukup zeigte, dass für eine spezifische nilpotente Gruppe $UT_m(\mathbb{Z})$ (mit $m \approx 10^8$) entweder die Reihe keine Diagonale einer rationalen Reihe ist oder kein Algorithmus existiert, um sie zu berechnen. Sie bewiesen nicht, dass die Reihe strikt nicht-D-endlich ist.

Ziel:
Den ersten Beweis für eine virtuell nilpotente Gruppe mit einer spezifischen erzeugenden Menge zu liefern, deren Green-Reihe nicht D-endlich ist.

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2. Die Gruppe und die erzeugende Menge

Der Artikel konzentriert sich auf die Gruppe $vH$, definiert als das semidirekte Produkt $H_3(\mathbb{Z}) \rtimes C_2$.

• Struktur: $vH = \langle x, y, t \mid [x, [x, y]] = [y, [x, y]] = t^2 = e, txt = y \rangle$.
• Eigenschaften: Sie ist virtually 2-stufig nilpotent. Sie wurde zuvor als erstes Beispiel einer Gruppe mit polynomialem geodätischem Wachstum identifiziert, die nicht virtually abelsch ist.
• Erzeugende Menge: Die verwendete spezifische Multimenge ist $S = \{x, x^{-1}, t, t, t, t, t, t, t, t\}$. Beachten Sie die Vielfachheit des Erzeugers $t$ (acht Kopien).

Hauptsatz (Satz 1):
Die Green-Reihe $\Gamma(vH, S)(z)$ ist nicht D-endlich.

Korollar:
Da $vH$ in $SL_3(\mathbb{Z})$ eingebettet werden kann, folgt, dass $SL_3(\mathbb{Z})$ eine erzeugende Multimenge zulässt, für die die Green-Reihe nicht D-endlich ist. Dies erweitert vorherige Ergebnisse, die nur für $SL_m(\mathbb{Z})$ mit $m \geq 4$ bekannt waren.

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3. Methodik

Die Beweisstrategie adaptiert den von Garrabrant und Pak für $F_2 \times F_2$ verwendeten Ansatz und stützt sich auf Subwortkomplexität und multiplikative Folgen.

A. Reduktion auf reduzierte Wörter

Der Autor stellt zunächst die Green-Reihe $\Gamma(z)$ in Beziehung zur Wachstumsreihe der „reduzierten" Wörter $R(z)$ (Wörter ohne unmittelbares Zurücklaufen $xx^{-1}$). Unter Verwendung einer Variation der Bartholdi–Grigorchuk-Cogrowth-Formel wird gezeigt, dass $\Gamma(z)$ genau dann D-endlich ist, wenn $R(z)$ D-endlich ist.

B. Zerlegung der Pfade

Die Menge der reduzierten Wörter $R$ wird basierend auf der Anzahl der $t$-Erzeuger in drei Teilmengen partitioniert:

1. $R_1$: Wörter mit wenigen $t$'s (höchstens 4, oder 6 mit aufeinanderfolgenden $t$'s). Diese Menge entspricht einer kontextfreien Sprache und liefert eine algebraische (und somit D-endliche) Reihe.
2. $R_3$: Wörter mit vielen $t$'s (mindestens 8). Der Beitrag dieser Terme ist durch hohe Potenzen von 2 teilbar, was sie modulo spezifischer Potenzen von 2 vernachlässigbar macht.
3. $R_2$: Wörter mit genau sechs $t$'s und ohne aufeinanderfolgende $t$'s. Dies ist die kritische Menge.

C. Kombinatorische Analyse von $R_2$

Pfade in $R_2$ entsprechen spezifischen geometrischen Formen im Cayley-Graphen der Heisenberg-Untergruppe. Das Zählen dieser Pfade reduziert sich auf das Lösen eines diophantischen Systems für ganze Zahlen $(a, b, c, d)$:
$$a + b + c + d = n, \quad ab = cd$$
Die Anzahl der Lösungen, bezeichnet als $|S_n|$, wird modulo Potenzen von 2 analysiert. Der Autor identifiziert Symmetrien (Aktionen der Diedergruppe $D_8$), um das Zählen zu vereinfachen.

D. Verbindung zu multiplikativen Funktionen

Die Analyse zeigt, dass die Anzahl der Lösungen $|S_n|$ (speziell für ungerade Indizes) direkt mit einer Funktion $m(n)$ verknüpft ist, definiert als die größte ganze Zahl, sodass $m^2$ $n$ teilt.
Der Autor konstruiert eine abgeleitete Reihe $S(z)$, deren Koeffizienten modulo 2 vom Wert einer multiplikativen Funktion $f(n)$ abhängen:
$$f(n) = m\left(\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\right) \pmod 4$$
wobei $f(n) \in \{+1, -1\}$.

E. Argument zur Subwortkomplexität

Der Kern des Beweises beruht auf Satz 7 (Garrabrant–Pak): Wenn eine Reihe D-endlich ist, muss die Subwortkomplexität ihrer Koeffizienten modulo 2 $o(2^n)$ sein.
Der Autor beweist Satz 9: Für die oben konstruierte spezifische multiplikative Funktion $f(n)$ ist die Subwortkomplexität maximal ($p_f(n) = 2^n$).

• Beweis von Satz 9: Nutzt den Chinesischen Restsatz und die Spärlichkeit von Primzahlpotenzen, bei denen $f(q) = -1$ gilt, um zu zeigen, dass jedes Muster von $\pm 1$ der Länge $n$ durch $f(x+i)$ für ein gewisses $x$ realisiert werden kann.

Da die Koeffizienten der abgeleiteten Reihe $S(z)$ maximale Subwortkomplexität aufweisen, kann $S(z)$ nicht D-endlich sein. Da $S(z)$ aus $R(z)$ unter Verwendung von D-endlichkeit-erhaltenden Operationen (Extraktion gerader/ungerader Terme, lineare Kombinationen) konstruiert wurde, können die ursprüngliche Reihe $R(z)$ und folglich $\Gamma(z)$ nicht D-endlich sein.

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4. Hauptbeiträge

1. Lösung des Falls der virtually nilpotenten Gruppen: Der Artikel liefert das erste Gegenbeispiel zur Vermutung, dass Green-Reihen von virtually nilpotenten Gruppen D-endlich sind.
2. Verfeinerung von Pak-Soukup: Er stärkt das Ergebnis von Pak und Soukup, indem er beweist, dass die Reihe strikt nicht D-endlich ist (anstatt nur keine Diagonale einer rationalen Reihe oder nicht berechenbar zu sein) für eine virtually nilpotente Gruppe.
3. Erweiterung auf $SL_3(\mathbb{Z})$: Durch die Einbettung von $vH$ in $SL_3(\mathbb{Z})$ wird das Phänomen der Nicht-D-Endlichkeit auf die spezielle lineare Gruppe in Dimension 3 erweitert (bisher nur für $m \geq 4$ bekannt).
4. Methodischer Fortschritt: Der Artikel wendet die Technik der „Subwortkomplexität multiplikativer Folgen" erfolgreich auf ein nilpotentes Setting an und überwindet die Schwierigkeit, dass Standard-Asymptotiken in nilpotenten Gruppen normalerweise D-endliches Verhalten imitieren.

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5. Bedeutung und zukünftige Richtungen

• Theoretische Auswirkungen: Dieses Ergebnis stellt die Intuition in Frage, dass „schöne" geometrische Gruppen (wie nilpotente) immer „schöne" erzeugende Funktionen liefern. Es hebt hervor, dass arithmetische Eigenschaften der Gruppenstruktur (speziell die Interaktion zwischen dem Erzeuger $t$ und der Heisenberg-Untergruppe) chaotisches Verhalten in der Cogrowth-Reihe induzieren können.
• Offene Probleme:
  • Die diskrete Heisenberg-Gruppe $H_3(\mathbb{Z})$: Der Artikel stellt fest, dass der spezifische Trick, mehrere Kopien eines Erzeugers ($t$) hinzuzufügen, hier nicht unmittelbar auf $H_3(\mathbb{Z})$ selbst anwendbar ist. Die Erweiterung des Ergebnisses auf $H_3(\mathbb{Z})$ bleibt eine offene und bedeutende Herausforderung.
  • Asymptotische Häufigkeiten: Der Autor erwähnt, dass ein alternativer Beweis unter Verwendung asymptotischer Dichten quadratfreier Zahlen auf der unbewiesenen Vermutung beruhen würde, dass $\pi^2$ und die Catalan-Konstante $G$ über $\mathbb{Q}$ linear unabhängig sind.
• Breiterer Kontext: Das Ergebnis legt nahe, dass die Grenze zwischen D-endlichen und nicht-D-endlichen Reihen in der Gruppentheorie komplexer ist als bisher angenommen, insbesondere für Gruppen, die „nahe" daran sind, abelsch oder nilpotent zu sein.

Zusammenfassend nutzt Bodarts Artikel ein raffiniertes Zusammenspiel aus kombinatorischer Gruppentheorie, Zahlentheorie (multiplikative Funktionen) und der Theorie formaler Sprachen, um zu demonstrieren, dass selbst in der relativ zahmen Welt der virtually nilpotenten Gruppen Green-Reihen maximale Komplexität aufweisen können.