A virtually nilpotent group whose Green series is not D-finite

Aquí se presenta un resumen técnico detallado del artículo "A VIRTUALLY NILPOTENT GROUP WHOSE GREEN SERIES IS NOT D-FINITE" de Corentin Bodart.

1. Planteamiento del Problema y Contexto

La Serie de Green:
El artículo investiga la serie de Green (también conocida como serie de cogrowth), denotada $\Gamma(G, S)(z)$, para un grupo $G$ con un multiconjunto generador finito $S$. Se define como:
$$\Gamma(G, S)(z) = \sum_{\ell \geq 0} c_\ell z^\ell$$
donde $c_\ell$ es el número de caminos cerrados de longitud $\ell$ que comienzan y terminan en el elemento identidad $e_G$ en el grafo de Cayley de $(G, S)$.

La Jerarquía de Series:
El autor busca clasificar estas series dentro de una jerarquía algebraica específica:
$$\text{Racional} \subset \text{Algebraica} \subset \text{Diagonal de Racional} \subset \text{D-finita} \subset \text{D-algebraica}$$

• D-finita (Holónoma): Una serie es D-finita si sus coeficientes satisfacen una relación de recurrencia lineal con coeficientes polinómicos.
• Resultados Conocidos:
  • Racional si y solo si $G$ es finito.
  • Algebraica si $G$ es virtualmente libre.
  • Diagonal de racional si $G$ es virtualmente $F_m \times \mathbb{Z}^n$.
  • No D-finita para grupos amenables de crecimiento superpolinomial (Bell & Mishna).
  • No D-finita para conjuntos generadores específicos de $F_2 \times F_2$ y $SL_4(\mathbb{Z})$ (Garrabrant & Pak).

La Pregunta Abierta:
Para grupos virtualmente nilpotentes, el consenso no estaba claro. Si bien las tasas de crecimiento asintótico de los coeficientes a menudo coincidían con las de las series D-finitas, se desconocía si la serie en sí misma era siempre D-finita. Un resultado anterior de Pak y Soukup mostró que, para un grupo nilpotente específico $UT_m(\mathbb{Z})$ (con $m \approx 10^8$), o bien la serie no es una diagonal de series racionales, o bien no existe un algoritmo para calcularla. No demostraron que la serie fuera estrictamente no D-finita.

Objetivo:
Proporcionar el primer ejemplo de un grupo virtualmente nilpotente con un conjunto generador específico cuya serie de Green es no D-finita.

---

2. El Grupo y el Conjunto Generador

El artículo se centra en el grupo $vH$, definido como el producto semidirecto $H_3(\mathbb{Z}) \rtimes C_2$.

• Estructura: $vH = \langle x, y, t \mid [x, [x, y]] = [y, [x, y]] = t^2 = e, txt = y \rangle$.
• Propiedades: Es virtualmente nilpotente de paso 2. Fue identificado previamente como el primer ejemplo de un grupo con crecimiento geodésico polinomial que no es virtualmente abeliano.
• Conjunto Generador: El multiconjunto específico utilizado es $S = \{x, x^{-1}, t, t, t, t, t, t, t, t\}$. Obsérvese la multiplicidad del generador $t$ (ocho copias).

Teorema Principal (Teorema 1):
La serie de Green $\Gamma(vH, S)(z)$ es no D-finita.

Corolario:
Dado que $vH$ se incrusta en $SL_3(\mathbb{Z})$, se deduce que $SL_3(\mathbb{Z})$ admite un multiconjunto generador para el cual la serie de Green no es D-finita. Esto extiende resultados anteriores conocidos solo para $SL_m(\mathbb{Z})$ con $m \geq 4$.

---

3. Metodología

La estrategia de prueba adapta el enfoque utilizado por Garrabrant y Pak para $F_2 \times F_2$, basándose en la complejidad de subpalabras y las secuencias multiplicativas.

A. Reducción a Palabras Reducidas

El autor relaciona primero la serie de Green $\Gamma(z)$ con la serie de crecimiento de las palabras "reducidas" $R(z)$ (palabras sin retroceso inmediato $xx^{-1}$). Utilizando una variación de la fórmula de cogrowth de Bartholdi–Grigorchuk, se demuestra que $\Gamma(z)$ es D-finita si y solo si $R(z)$ es D-finita.

B. Descomposición de Caminos

El conjunto de palabras reducidas $R$ se particiona en tres subconjuntos basados en el número de generadores $t$:

1. $R_1$: Palabras con pocos $t$'s (como máximo 4, o 6 con $t$'s consecutivos). Este conjunto corresponde a un lenguaje libre de contexto y produce una serie algebraica (por tanto, D-finita).
2. $R_3$: Palabras con muchos $t$'s (al menos 8). La contribución de estos términos es divisible por altas potencias de 2, haciéndolos despreciables módulo potencias específicas de 2.
3. $R_2$: Palabras con exactamente seis $t$'s y sin $t$'s consecutivos. Este es el conjunto crítico.

C. Análisis Combinatorio de $R_2$

Los caminos en $R_2$ corresponden a formas geométricas específicas en el grafo de Cayley del subgrupo de Heisenberg. El conteo de estos caminos se reduce a resolver un sistema diofántico para enteros $(a, b, c, d)$:
$$a + b + c + d = n, \quad ab = cd$$
El número de soluciones, denotado $|S_n|$, se analiza módulo potencias de 2. El autor identifica simetrías (acciones del grupo diédrico $D_8$) para simplificar el conteo.

D. Conexión con Funciones Multiplicativas

El análisis revela que el número de soluciones $|S_n|$ (específicamente para índices impares) está directamente relacionado con una función $m(n)$, definida como el mayor entero tal que $m^2$ divide a $n$.
El autor construye una serie derivada $S(z)$ cuyos coeficientes módulo 2 dependen del valor de una función multiplicativa $f(n)$:
$$f(n) = m\left(\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\right) \pmod 4$$
donde $f(n) \in \{+1, -1\}$.

E. Argumento de Complejidad de Subpalabras

El núcleo de la prueba se basa en el Teorema 7 (Garrabrant–Pak): Si una serie es D-finita, la complejidad de subpalabras de sus coeficientes módulo 2 debe ser $o(2^n)$.
El autor demuestra el Teorema 9: Para la función multiplicativa específica $f(n)$ construida anteriormente, la complejidad de subpalabras es máxima ($p_f(n) = 2^n$).

• Demostración del Teorema 9: Utiliza el Teorema Chino del Resto y la escasez de potencias de primos donde $f(q) = -1$ para mostrar que cualquier patrón de $\pm 1$ de longitud $n$ puede ser realizado por $f(x+i)$ para algún $x$.

Dado que los coeficientes de la serie derivada $S(z)$ exhiben complejidad de subpalabras máxima, $S(z)$ no puede ser D-finita. Dado que $S(z)$ se construye a partir de $R(z)$ utilizando operaciones que preservan la D-finitud (extracción de términos pares/impares, combinaciones lineales), la serie original $R(z)$ y, en consecuencia, $\Gamma(z)$ no pueden ser D-finitas.

---

4. Contribuciones Clave

1. Resolución del Caso Virtualmente Nilpotente: El artículo proporciona el primer contraejemplo a la conjetura de que las series de Green de grupos virtualmente nilpotentes son D-finitas.
2. Refinamiento de Pak-Soukup: Fortalece el resultado de Pak y Soukup demostrando que la serie es estrictamente no D-finita (en lugar de simplemente no ser una diagonal de series racionales o no computable) para un grupo virtualmente nilpotente.
3. Extensión a $SL_3(\mathbb{Z})$: Al incrustar $vH$ en $SL_3(\mathbb{Z})$, el resultado extiende el fenómeno de no D-finitud al grupo lineal especial en dimensión 3 (anteriormente conocido solo para $m \geq 4$).
4. Avance Metodológico: El artículo aplica con éxito la técnica de "complejidad de subpalabras de secuencias multiplicativas" a un entorno nilpotente, superando la dificultad de que las tasas de crecimiento asintótico estándar en grupos nilpotentes suelen imitar el comportamiento D-finito.

---

5. Significado y Direcciones Futuras

• Impacto Teórico: Este resultado desafía la intuición de que los grupos geométricos "bonitos" (como los nilpotentes) siempre producen funciones generadoras "bonitas". Destaca que las propiedades aritméticas de la estructura del grupo (específicamente la interacción entre el generador $t$ y el subgrupo de Heisenberg) pueden inducir un comportamiento caótico en la serie de cogrowth.
• Problemas Abiertos:
  • El Grupo de Heisenberg Discreto $H_3(\mathbb{Z})$: El artículo señala que el truco específico de agregar múltiples copias de un generador ($t$) utilizado aquí no se aplica inmediatamente al propio $H_3(\mathbb{Z})$. Extender el resultado a $H_3(\mathbb{Z})$ sigue siendo un desafío abierto y significativo.
  • Frecuencias Asintóticas: El autor menciona que una prueba alternativa utilizando densidades asintóticas de números libres de cuadrados dependería de la conjetura no demostrada de que $\pi^2$ y la constante de Catalan $G$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$.
• Contexto Amplio: El resultado sugiere que la frontera entre series D-finitas y no D-finitas en la teoría de grupos es más compleja de lo que se pensaba anteriormente, particularmente para grupos que están "cerca" de ser abelianos o nilpotentes.

En resumen, el artículo de Bodart utiliza una sofisticada interacción entre la teoría de grupos combinatoria, la teoría de números (funciones multiplicativas) y la teoría de lenguajes formales para demostrar que incluso en el mundo relativamente tranquilo de los grupos virtualmente nilpotentes, las series de Green pueden exhibir complejidad máxima.