A virtually nilpotent group whose Green series is not D-finite

1. Probleemstelling en Context

De Groen-reeks:
Het artikel onderzoekt de Groen-reeks (ook bekend als de cogrowth-reeks), aangeduid als $\Gamma(G, S)(z)$, voor een groep $G$ met een eindige genererende multiset $S$. Deze wordt gedefinieerd als:
$$\Gamma(G, S)(z) = \sum_{\ell \geq 0} c_\ell z^\ell$$
waarbij $c_\ell$ het aantal gesloten paden van lengte $\ell$ is die beginnen en eindigen in het eenheidselement $e_G$ in het Cayley-graaf van $(G, S)$.

De Hiërarchie van Reeksen:
De auteur tracht deze reeksen te classificeren binnen een specifieke algebraïsche hiërarchie:
$$\text{Rationaal} \subset \text{Algebraïsch} \subset \text{Diagonaal van Rationaal} \subset \text{D-eindig} \subset \text{D-algebraïsch}$$

• D-eindig (Holonom): Een reeks is D-eindig als de coëfficiënten voldoen aan een lineaire recurrente relatie met polynoomcoëfficiënten.
• Bekende Resultaten:
  • Rationaal dan en slechts dan als $G$ eindig is.
  • Algebraïsch als $G$ virtueel vrij is.
  • Diagonaal van rationaal als $G$ virtueel $F_m \times \mathbb{Z}^n$ is.
  • Niet D-eindig voor amenabele groepen met super-polynoom groei (Bell & Mishna).
  • Niet D-eindig voor specifieke genererende verzamelingen van $F_2 \times F_2$ en $SL_4(\mathbb{Z})$ (Garrabrant & Pak).

De Open Vraag:
Voor virtueel nilpotente groepen was het consensus onduidelijk. Hoewel de asymptotische groeitempo's van de coëfficiënten vaak overeenkwamen met die van D-eindige reeksen, was onbekend of de reeks zelf altijd D-eindig was. Een eerdere uitkomst van Pak en Soukup toonde aan dat voor een specifieke nilpotente groep $UT_m(\mathbb{Z})$ (met $m \approx 10^8$), óf de reeks geen diagonaal is van rationele reeksen, óf er geen algoritme bestaat om deze te berekenen. Zij bewezen niet dat de reeks strikt niet-D-eindig was.

Doel:
Het leveren van het eerste voorbeeld van een virtueel nilpotente groep met een specifieke genererende verzameling waarvan de Groen-reeks niet D-eindig is.

---

2. De Groep en Genererende Verzameling

Het artikel focust op de groep $vH$, gedefinieerd als het semidirect product $H_3(\mathbb{Z}) \rtimes C_2$.

• Structuur: $vH = \langle x, y, t \mid [x, [x, y]] = [y, [x, y]] = t^2 = e, txt = y \rangle$.
• Eigenschappen: Het is virtueel 2-staps nilpotent. Het werd eerder geïdentificeerd als het eerste voorbeeld van een groep met polynoom geodetische groei die niet virtueel abels is.
• Genererende Verzameling: De specifieke multiset die wordt gebruikt is $S = \{x, x^{-1}, t, t, t, t, t, t, t, t\}$. Merk de multipliciteit van de generator $t$ op (acht exemplaren).

Hoofdstelling (Stelling 1):
De Groen-reeks $\Gamma(vH, S)(z)$ is niet D-eindig.

Corollarium:
Aangezien $vH$ inbedt in $SL_3(\mathbb{Z})$, volgt hieruit dat $SL_3(\mathbb{Z})$ een genererende multiset toestaat waarvoor de Groen-reeks niet D-eindig is. Dit breidt eerdere resultaten uit die alleen bekend waren voor $SL_m(\mathbb{Z})$ met $m \geq 4$.

---

3. Methodologie

De bewijsstrategie past de aanpak aan die door Garrabrant en Pak voor $F_2 \times F_2$ werd gebruikt, en vertrouwt op subwoordcomplexiteit en multiplicatieve rijen.

A. Reductie tot Gereduceerde Woorden

De auteur relateert eerst de Groen-reeks $\Gamma(z)$ aan de groeireeks van "gereduceerde" woorden $R(z)$ (woorden zonder onmiddellijke terugkeer $xx^{-1}$). Met behulp van een variatie op de Bartholdi–Grigorchuk cogrowth-formule wordt aangetoond dat $\Gamma(z)$ D-eindig is dan en slechts dan als $R(z)$ D-eindig is.

B. Decompositie van Paden

De verzameling gereduceerde woorden $R$ wordt gepartitioneerd in drie subsets op basis van het aantal $t$-generatoren:

1. $R_1$: Woorden met weinig $t$'s (maximaal 4, of 6 met opeenvolgende $t$'s). Deze verzameling correspondeert met een contextvrije taal en levert een algebraïsche (dus D-eindige) reeks op.
2. $R_3$: Woorden met veel $t$'s (minimaal 8). De bijdrage van deze termen is deelbaar door hoge machten van 2, waardoor ze verwaarloosbaar zijn modulo specifieke machten van 2.
3. $R_2$: Woorden met exact zes $t$'s en geen opeenvolgende $t$'s. Dit is de kritieke verzameling.

C. Combinatorische Analyse van $R_2$

Paden in $R_2$ corresponderen met specifieke geometrische vormen in het Cayley-graaf van de Heisenberg-subgroep. Het tellen van deze paden reduceert tot het oplossen van een Diophantisch systeem voor gehele getallen $(a, b, c, d)$:
$$a + b + c + d = n, \quad ab = cd$$
Het aantal oplossingen, aangeduid als $|S_n|$, wordt geanalyseerd modulo machten van 2. De auteur identificeert symmetrieën (acties van de dihedrale groep $D_8$) om het tellen te vereenvoudigen.

D. Verband met Multiplicatieve Functies

De analyse onthult dat het aantal oplossingen $|S_n|$ (specifiek voor oneven indices) direct gerelateerd is aan een functie $m(n)$, gedefinieerd als het grootste gehele getal zodat $m^2$ $n$ deelt.
De auteur construeert een afgeleide reeks $S(z)$ waarvan de coëfficiënten modulo 2 afhankelijk zijn van de waarde van een multiplicatieve functie $f(n)$:
$$f(n) = m\left(\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\right) \pmod 4$$
waarbij $f(n) \in \{+1, -1\}$.

E. Argument over Subwoordcomplexiteit

De kern van het bewijs rust op Stelling 7 (Garrabrant–Pak): Als een reeks D-eindig is, moet de subwoordcomplexiteit van zijn coëfficiënten modulo 2 $o(2^n)$ zijn.
De auteur bewijst Stelling 9: Voor de hierboven geconstrueerde specifieke multiplicatieve functie $f(n)$ is de subwoordcomplexiteit maximaal ($p_f(n) = 2^n$).

• Bewijs van Stelling 9: Gebruikt de Chinese Reststelling en de schaarsheid van priemkrachten waar $f(q) = -1$ om aan te tonen dat elk patroon van $\pm 1$ van lengte $n$ kan worden gerealiseerd door $f(x+i)$ voor zekere $x$.

Aangezien de coëfficiënten van de afgeleide reeks $S(z)$ maximale subwoordcomplexiteit vertonen, kan $S(z)$ niet D-eindig zijn. Aangezien $S(z)$ is geconstrueerd uit $R(z)$ met behulp van D-eindigheidbehoudende bewerkingen (extractie van even/oneven termen, lineaire combinaties), kan de oorspronkelijke reeks $R(z)$ en bijgevolg $\Gamma(z)$ niet D-eindig zijn.

---

4. Belangrijkste Bijdragen

1. Oplossing van het Virtueel Nilpotente Geval: Het artikel levert het eerste tegenvoorbeeld voor de conjectuur dat Groen-reeksen van virtueel nilpotente groepen D-eindig zijn.
2. Verfijning van Pak-Soukup: Het versterkt het resultaat van Pak en Soukup door te bewijzen dat de reeks strikt niet D-eindig is (in plaats van slechts geen diagonaal van rationele reeksen of niet-berekenbaar) voor een virtueel nilpotente groep.
3. Uitbreiding naar $SL_3(\mathbb{Z})$: Door $vH$ in te bedden in $SL_3(\mathbb{Z})$, breidt het resultaat het fenomeen van niet-D-eindigheid uit naar de speciale lineaire groep in dimensie 3 (voorheen alleen bekend voor $m \geq 4$).
4. Methodologische Vooruitgang: Het artikel past succesvol de techniek van "subwoordcomplexiteit van multiplicatieve rijen" toe op een nilpotente setting, waarbij het de moeilijkheid overwint dat standaard asymptotische groeitempo's in nilpotente groepen meestal D-eindig gedrag nabootsen.

---

5. Betekenis en Toekomstige Richtingen

• Theoretische Impact: Dit resultaat daagt de intuïtie uit dat "mooie" geometrische groepen (zoals nilpotente groepen) altijd "mooie" genererende functies opleveren. Het benadrukt dat de rekenkundige eigenschappen van de groepstructuur (specifiek de interactie tussen de generator $t$ en de Heisenberg-subgroep) chaotisch gedrag in de cogrowth-reeks kunnen induceren.
• Open Problemen:
  • De Discrete Heisenberg-groep $H_3(\mathbb{Z})$: Het artikel merkt op dat de specifieke truc van het toevoegen van meerdere exemplaren van een generator ($t$) die hier wordt gebruikt, niet direct van toepassing is op $H_3(\mathbb{Z})$ zelf. Het uitbreiden van het resultaat naar $H_3(\mathbb{Z})$ blijft een open en aanzienlijke uitdaging.
  • Asymptotische Frequenties: De auteur vermeldt dat een alternatief bewijs met behulp van asymptotische dichtheden van kwadraatvrije getallen zou vertrouwen op de onbewezen conjectuur dat $\pi^2$ en de Catalan-constante $G$ lineair onafhankelijk zijn over $\mathbb{Q}$.
• Brede Context: Het resultaat suggereert dat de grens tussen D-eindige en niet-D-eindige reeksen in de groepentheorie complexer is dan eerder werd gedacht, met name voor groepen die "dicht" bij abels of nilpotent zijn.

Kort samengevat, gebruikt Bodarts artikel een verfijnd samenspel tussen combinatorische groepentheorie, getaltheorie (multiplicatieve functies) en theorie van formele talen om aan te tonen dat zelfs in de relatief tamme wereld van virtueel nilpotente groepen, Groen-reeksen maximale complexiteit kunnen vertonen.