A virtually nilpotent group whose Green series is not D-finite

1. Enunciato del Problema e Contesto

La Serie di Green:
L'articolo indaga la serie di Green (nota anche come serie di cogrowth), denotata $\Gamma(G, S)(z)$, per un gruppo $G$ con un multinsieme finito di generatori $S$. È definita come:
$$\Gamma(G, S)(z) = \sum_{\ell \geq 0} c_\ell z^\ell$$
dove $c_\ell$ è il numero di cammini chiusi di lunghezza $\ell$ che partono e terminano all'elemento identità $e_G$ nel grafo di Cayley di $(G, S)$.

La Gerarchia delle Serie:
L'autore cerca di classificare queste serie all'interno di una specifica gerarchia algebrica:
$$\text{Razionale} \subset \text{Algebrica} \subset \text{Diagonale di Razionale} \subset \text{D-finita} \subset \text{D-algebrica}$$

• D-finita (Olonomica): Una serie è D-finita se i suoi coefficienti soddisfano una relazione di ricorrenza lineare con coefficienti polinomiali.
• Risultati Noti:
  • Razionale se e solo se $G$ è finito.
  • Algebrica se $G$ è virtualmente libero.
  • Diagonale di razionale se $G$ è virtualmente $F_m \times \mathbb{Z}^n$.
  • Non D-finita per gruppi amenabili a crescita super-polinomiale (Bell & Mishna).
  • Non D-finita per specifici insiemi di generatori di $F_2 \times F_2$ e $SL_4(\mathbb{Z})$ (Garrabrant & Pak).

La Domanda Aperta:
Per i gruppi virtualmente nilpotenti, il consenso non era chiaro. Sebbene i tassi di crescita asintotici dei coefficienti corrispondessero spesso a quelli delle serie D-finite, non era noto se la serie stessa fosse sempre D-finita. Un risultato precedente di Pak e Soukup aveva mostrato che per un specifico gruppo nilpotente $UT_m(\mathbb{Z})$ (con $m \approx 10^8$), o la serie non è una diagonale di serie razionali, o non esiste un algoritmo per calcolarla. Non avevano dimostrato che la serie fosse strettamente non-D-finita.

Obiettivo:
Fornire il primo esempio di un gruppo virtualmente nilpotente con un specifico insieme di generatori la cui serie di Green non è D-finita.

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2. Il Gruppo e l'Insieme di Generatori

L'articolo si concentra sul gruppo $vH$, definito come il prodotto semidiretto $H_3(\mathbb{Z}) \rtimes C_2$.

• Struttura: $vH = \langle x, y, t \mid [x, [x, y]] = [y, [x, y]] = t^2 = e, txt = y \rangle$.
• Proprietà: È virtualmente nilpotente di passo 2. Era stato precedentemente identificato come il primo esempio di un gruppo con crescita geodetica polinomiale che non è virtualmente abeliano.
• Insieme di Generatori: Il multinsieme specifico utilizzato è $S = \{x, x^{-1}, t, t, t, t, t, t, t, t\}$. Si noti la molteplicità del generatore $t$ (otto copie).

Teorema Principale (Teorema 1):
La serie di Green $\Gamma(vH, S)(z)$ non è D-finita.

Corollario:
Poiché $vH$ si immerge in $SL_3(\mathbb{Z})$, ne consegue che $SL_3(\mathbb{Z})$ ammette un multinsieme di generatori per il quale la serie di Green non è D-finita. Questo estende i risultati precedenti noti solo per $SL_m(\mathbb{Z})$ con $m \geq 4$.

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3. Metodologia

La strategia di prova adatta l'approccio utilizzato da Garrabrant e Pak per $F_2 \times F_2$, basandosi sulla complessità delle sotto-parole e sulle sequenze moltiplicative.

A. Riduzione alle Parole Ridotte

L'autore collega inizialmente la serie di Green $\Gamma(z)$ alla serie di crescita delle parole "ridotte" $R(z)$ (parole senza backtracking immediato $xx^{-1}$). Utilizzando una variazione della formula di cogrowth di Bartholdi–Grigorchuk, si dimostra che $\Gamma(z)$ è D-finita se e solo se $R(z)$ è D-finita.

B. Decomposizione dei Cammini

L'insieme delle parole ridotte $R$ è partizionato in tre sottoinsiemi in base al numero di generatori $t$:

1. $R_1$: Parole con pochi $t$ (al massimo 4, o 6 con $t$ consecutivi). Questo insieme corrisponde a un linguaggio context-free e produce una serie algebrica (quindi D-finita).
2. $R_3$: Parole con molti $t$ (almeno 8). Il contributo di questi termini è divisibile per alte potenze di 2, rendendoli trascurabili modulo specifiche potenze di 2.
3. $R_2$: Parole con esattamente sei $t$ e senza $t$ consecutivi. Questo è l'insieme critico.

C. Analisi Combinatoria di $R_2$

I cammini in $R_2$ corrispondono a forme geometriche specifiche nel grafo di Cayley del sottogruppo di Heisenberg. Il conteggio di questi cammini si riduce alla risoluzione di un sistema diofanteo per interi $(a, b, c, d)$:
$$a + b + c + d = n, \quad ab = cd$$
Il numero di soluzioni, denotato $|S_n|$, è analizzato modulo potenze di 2. L'autore identifica simmetrie (azioni del gruppo diedrale $D_8$) per semplificare il conteggio.

D. Connessione con Funzioni Moltiplicative

L'analisi rivela che il numero di soluzioni $|S_n|$ (specificamente per indici dispari) è direttamente correlato a una funzione $m(n)$, definita come il più grande intero tale che $m^2$ divida $n$.
L'autore costruisce una serie derivata $S(z)$ i cui coefficienti modulo 2 dipendono dal valore di una funzione moltiplicativa $f(n)$:
$$f(n) = m\left(\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\right) \pmod 4$$
dove $f(n) \in \{+1, -1\}$.

E. Argomento sulla Complessità delle Sotto-parole

Il nucleo della prova si basa sul Teorema 7 (Garrabrant–Pak): se una serie è D-finita, la complessità delle sotto-parole dei suoi coefficienti modulo 2 deve essere $o(2^n)$.
L'autore dimostra il Teorema 9: per la specifica funzione moltiplicativa $f(n)$ costruita sopra, la complessità delle sotto-parole è massimale ($p_f(n) = 2^n$).

• Dimostrazione del Teorema 9: Utilizza il Teorema Cinese del Resto e la scarsità delle potenze di primi per cui $f(q) = -1$ per mostrare che qualsiasi pattern di $\pm 1$ di lunghezza $n$ può essere realizzato da $f(x+i)$ per qualche $x$.

Poiché i coefficienti della serie derivata $S(z)$ esibiscono complessità delle sotto-parole massimale, $S(z)$ non può essere D-finita. Poiché $S(z)$ è costruita da $R(z)$ utilizzando operazioni che preservano la D-finitezza (estrazione di termini pari/dispari, combinazioni lineari), la serie originale $R(z)$ e di conseguenza $\Gamma(z)$ non possono essere D-finite.

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4. Contributi Chiave

1. Risoluzione del Caso Virtualmente Nilpotente: L'articolo fornisce il primo controesempio alla congettura secondo cui le serie di Green dei gruppi virtualmente nilpotenti sono D-finite.
2. Raffinamento di Pak-Soukup: Rafforza il risultato di Pak e Soukup dimostrando che la serie è strettamente non D-finita (piuttosto che semplicemente non una diagonale di serie razionali o non calcolabile) per un gruppo virtualmente nilpotente.
3. Estensione a $SL_3(\mathbb{Z})$: Immergendo $vH$ in $SL_3(\mathbb{Z})$, il risultato estende il fenomeno della non-D-finitezza al gruppo lineare speciale in dimensione 3 (precedentemente noto solo per $m \geq 4$).
4. Avanzamento Metodologico: L'articolo applica con successo la tecnica della "complessità delle sotto-parole di sequenze moltiplicative" a un contesto nilpotente, superando la difficoltà secondo cui i tassi di crescita asintotici standard nei gruppi nilpotenti solitamente mimano il comportamento D-finito.

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5. Significato e Direzioni Future

• Impatto Teorico: Questo risultato sfida l'intuizione secondo cui i gruppi geometrici "gentili" (come quelli nilpotenti) producono sempre funzioni generatrici "gentili". Evidenzia che le proprietà aritmetiche della struttura del gruppo (in particolare l'interazione tra il generatore $t$ e il sottogruppo di Heisenberg) possono indurre comportamenti caotici nella serie di cogrowth.
• Problemi Aperti:
  • Il Gruppo di Heisenberg Discreto $H_3(\mathbb{Z})$: L'articolo nota che il trucco specifico di aggiungere copie multiple di un generatore ($t$) usato qui non si applica immediatamente al $H_3(\mathbb{Z})$ stesso. Estendere il risultato a $H_3(\mathbb{Z})$ rimane una sfida aperta e significativa.
  • Frequenze Asintotiche: L'autore menziona che una prova alternativa utilizzando le densità asintotiche dei numeri privi di quadrati si baserebbe sulla congettura non dimostrata che $\pi^2$ e la costante di Catalan $G$ siano linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$.
• Contesto Più Ampio: Il risultato suggerisce che il confine tra serie D-finite e non D-finite nella teoria dei gruppi è più complesso di quanto pensato in precedenza, in particolare per i gruppi che sono "vicini" ad essere abeliani o nilpotenti.

In sintesi, l'articolo di Bodart utilizza un'interazione sofisticata tra teoria combinatoria dei gruppi, teoria dei numeri (funzioni moltiplicative) e teoria dei linguaggi formali per dimostrare che anche nel mondo relativamente tranquillo dei gruppi virtualmente nilpotenti, le serie di Green possono esibire complessità massimale.