On the absence of anomalous dissipation for the Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions: a sufficient condition

Titel:

Über das Fehlen anomaler Dissipation für die Navier-Stokes-Gleichungen mit Navier-Randbedingungen: Eine hinreichende Bedingung

Autoren: Claude Bardos, Daniel W. Boutros und Edriss S. Titi

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1. Problemstellung und Motivation

Das Paper adressiert ein fundamentales Problem in der mathematischen Strömungsmechanik: das Verhalten der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen (NS) im Grenzwert verschwindender Viskosität ($\nu \to 0$) gegenüber den Euler-Gleichungen (E).

• Anomale Dissipation: Ein zentrales Phänomen in der Turbulenztheorie ist die "anomale Dissipation" (auch als Kolmogorovs Nulltes Gesetz bekannt). Dies beschreibt den Fall, dass die viskose Dissipation auch dann nicht gegen Null geht, wenn die Viskosität $\nu$ gegen Null strebt. Mathematisch bedeutet dies, dass die Energieerhaltung der Euler-Gleichungen verletzt wird, obwohl die NS-Lösungen schwach konvergieren.
• Randbedingungen: Der Fokus liegt auf Navier-Randbedingungen (gleitende Wandbedingungen), im Gegensatz zu den klassischen Dirichlet-Randbedingungen (Haftbedingung/no-slip). Bei Navier-Bedingungen ist die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit nicht notwendigerweise Null, sondern wird durch eine Beziehung zwischen Scherspannung und Geschwindigkeit (oder Wirbelstärke) bestimmt.
• Lücken in der bisherigen Forschung: Bisherige Ergebnisse zur Beseitigung anomaler Dissipation (z. B. das Kato-Kriterium) erforderten oft starke Regularitätsannahmen für die Druckkomponente nahe dem Rand oder die Existenz einer starken Lösung der Euler-Gleichungen. Das Ziel dieses Papers ist es, eine hinreichende Bedingung zu finden, die keine Annahmen über das Druckverhalten am Rand und keine Existenz einer starken Euler-Lösung voraussetzt.

2. Mathematisches Modell und Rahmenbedingungen

Die Autoren betrachten die 3D inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in einem beschränkten Gebiet $\Omega$ mit $C^4$-Rand:
$$\partial_t u_\nu + \nabla \cdot (u_\nu \otimes u_\nu) - \nu \Delta u_\nu + \nabla p_\nu = 0, \quad \nabla \cdot u_\nu = 0$$
mit den Navier-Randbedingungen:

1. Undurchlässigkeit: $u_\nu \cdot n = 0$ auf $\partial\Omega$.
2. Verallgemeinerte Navier-Bedingung: $(D(u_\nu) \cdot n)_\tau + \lambda(\nu, x) \cdot u_\nu = 0$ auf $\partial\Omega$.
   • Hier ist $D(v)$ der symmetrische Gradient (Deformationstensor).
   • $\lambda$ ist eine gegebene, stetige, positiv semidefinite Funktion.
   • Diese Klasse umfasst Robin-Bedingungen und Bedingungen, die Wirbelstärke oder Spannungstensor betreffen.

Die schwache Formulierung (Leray-Hopf-Lösungen) wird so definiert, dass die Randbedingung integral in die schwache Form eingebettet ist, anstatt nur im Sinne von Spuren zu gelten.

3. Methodik und Schlüsseltechniken

Die Beweismethodik stützt sich auf mehrere fortgeschrittene analytische Werkzeuge:

• Reguläritätsresultate für den Druck: Das Paper nutzt kürzlich erzielte Ergebnisse (aus [4], derselben Autorengruppe), die zeigen, dass für schwache Lösungen der Euler-Gleichungen mit Hölder-stetiger Geschwindigkeit ($u \in C^{0,\alpha}$) auch der Druck $p$ dieselbe Hölder-Regularität besitzt.
• Neue Druckrandbedingung: Ein entscheidender Punkt ist die Erkenntnis, dass die für schwache Euler-Lösungen gültige Randbedingung für den Druck ($\partial_n(p + (u \cdot n)^2) = (u \otimes u) : \nabla n$) sich von der klassischen Bedingung für starke Lösungen unterscheidet. Diese Unterscheidung ist für $\alpha \leq 1/2$ essenziell.
• Kompaktheitsargumente: Es werden die Aubin-Lions-Lemma und Banach-Alaoglu-Theoreme verwendet, um die Konvergenz einer Folge von NS-Lösungen ($u_{\nu_k}$) gegen eine Euler-Lösung ($u$) zu sichern.
• Energieungleichungen: Die Analyse basiert auf der Energieungleichung der Leray-Hopf-Lösungen und der Untersuchung des Grenzwerts der Dissipationsterme.

4. Hauptergebnisse (Theorem 6)

Das zentrale Ergebnis des Papers ist Theorem 6, das eine hinreichende Bedingung für das Fehlen anomaler Dissipation liefert.

Voraussetzungen:

• Eine Folge von Leray-Hopf-Lösungen $\{u_{\nu_k}\}$ der NS-Gleichungen mit $\nu_k \to 0$.
• Die Anfangswerte $u_{\nu_k, 0}$ konvergieren stark in $C^{0,\alpha}(\Omega)$ gegen $u_0$.
• Einheitliche Schranken (Uniform Bounds): Die Lösungen erfüllen folgende Schranken unabhängig von $\nu_k$:
  1. $\sup_k \|u_{\nu_k}\|_{L^\infty((0,T); C^{0,\alpha}(\Omega))} < \infty$ (Hölder-Regularität der Geschwindigkeit).
  2. $\sup_k \nu_k^{1/2} \|u_{\nu_k}\|_{L^2((0,T); H^1(\Omega))} < \infty$.

Ergebnisse:

1. Konvergenz: Jede schwach-*-Grenzfunktion $u$ ist eine schwache Lösung der inkompressiblen Euler-Gleichungen (im Sinne von Definition 4) mit der undurchlässigen Randbedingung.
2. Energieerhaltung: Falls $\alpha > 1/3$, erhält die Grenzlösung $u$ die Energie ($\|u(t)\|_{L^2} = \|u_0\|_{L^2}$).
3. Fehlen anomaler Dissipation: Unter diesen Bedingungen verschwindet die gesamte Dissipation (sowohl im Volumen als auch am Rand) im Grenzwert:
   $$\lim_{\nu_k \to 0} \left( 2\nu_k \int_0^T \|D(u_{\nu_k})\|_{L^2}^2 dt + 2\nu_k \int_0^T \int_{\partial\Omega} \lambda_{ij} (u_{\nu_k})_i (u_{\nu_k})_j d\sigma dt \right) = 0$$
4. Starke Konvergenz: Es existiert mindestens eine Teilfolge, die stark in $C([0,T]; L^2(\Omega))$ gegen $u$ konvergiert.

Wichtige Anmerkung: Die Bedingung $\alpha > 1/3$ ist direkt mit der Onsager-Vermutung verknüpft, die besagt, dass für Hölder-Exponenten größer als $1/3$ die Energieerhaltung gilt.

5. Signifikanz und Beitrag zur Forschung

Dieses Paper leistet mehrere bedeutende Beiträge zur Theorie der Fluidmechanik:

• Entkopplung von Druckregularität: Im Gegensatz zu früheren Arbeiten, die oft Regularitätsannahmen für den Druck am Rand benötigten, zeigt dieses Paper, dass die Regularität der Geschwindigkeit allein (über die Regularität des Drucks, die daraus folgt) ausreicht, um anomale Dissipation auszuschließen.
• Keine starke Euler-Lösung nötig: Das Ergebnis gilt auch dann, wenn keine starke (klassische) Lösung der Euler-Gleichungen existiert. Es reicht aus, dass die Grenzlösung eine schwache Lösung mit ausreichender Regularität ist.
• Gültigkeit für Navier-Randbedingungen: Während die meisten Ergebnisse zur viskosen Grenzschicht (Prandtl-Schicht) und anomalen Dissipation für Haftbedingungen (no-slip) gelten, zeigt das Paper, dass bei Navier-Randbedingungen (die keine Diskontinuität der Geschwindigkeit am Rand erzeugen) die Bedingungen für das Fehlen anomaler Dissipation deutlich schwächer sind und leichter erfüllt werden können.
• Global Existenz: Im Anhang wird zudem ein Beweis für die globale Existenz von Leray-Hopf-Lösungen für diese verallgemeinerten Navier-Randbedingungen skizziert, was in dieser Allgemeinheit in der Literatur bisher nicht vollständig etabliert war.

Fazit

Die Autoren beweisen, dass für Navier-Stokes-Gleichungen mit Navier-Randbedingungen die Hölder-Regularität der Geschwindigkeit ($C^{0,\alpha}$ mit $\alpha > 1/3$) eine hinreichende Bedingung ist, um sicherzustellen, dass im Grenzwert verschwindender Viskosität keine Energie durch anomale Dissipation verloren geht und die Lösungen gegen eine energieerhaltende schwache Lösung der Euler-Gleichungen konvergieren. Dies ist ein wichtiger Schritt zum Verständnis der Turbulenz und des viskosen Grenzwerts in Gebieten mit gleitenden Randbedingungen.