On the absence of anomalous dissipation for the Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions: a sufficient condition

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse au problème de la limite d'inviscidité (viscosité $\nu \to 0$) des équations de Navier-Stokes incompressibles tridimensionnelles dans un domaine borné $\Omega$ avec des conditions aux limites de Navier.

Le cœur du problème réside dans la question de la dissipation d'énergie anormale (ou anomalie de dissipation), un concept fondamental en turbulence (lié à la loi de Kolmogorov et à la conjecture d'Onsager). Il s'agit de déterminer si, dans la limite où la viscosité tend vers zéro, l'énergie cinétique totale est conservée (comme pour les équations d'Euler) ou si une partie de l'énergie est dissipée de manière singulière, même en l'absence de viscosité.

Contrairement aux conditions de non-glissement (Dirichlet) où la formation d'une couche limite de Prandtl rend ce problème extrêmement difficile, les conditions de Navier permettent une glissance tangentielle. L'objectif de l'article est d'établir une condition suffisante pour garantir l'absence de dissipation anormale et la convergence vers une solution faible des équations d'Euler, sans faire d'hypothèses fortes sur la régularité de la pression près de la frontière ni sur l'existence d'une solution forte aux équations d'Euler.

2. Méthodologie et Cadre Mathématique

Les auteurs adoptent une approche rigoureuse basée sur l'analyse fonctionnelle et la théorie des solutions faibles :

• Équations et Conditions aux Limites :

  • Les équations de Navier-Stokes (1) sont considérées avec des conditions de Navier généralisées (4)-(5) :
    $$u_\nu \cdot n = 0 \quad \text{et} \quad (D(u_\nu) \cdot n)_\tau + \lambda(\nu, x) \cdot u_\nu = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega$$
    où $D(u)$ est le tenseur des déformations et $\lambda$ une fonction matricielle non négative.
  • Ces conditions incluent des cas particuliers comme les conditions de Robin ou des conditions sur le tourbillon.

• Définitions des Solutions Faibles :

  • Les auteurs définissent précisément les solutions de Leray-Hopf pour Navier-Stokes (Définition 1) et les solutions faibles pour les équations d'Euler (Définition 4).
  • Une contribution méthodologique clé est l'équivalence démontrée entre deux formulations faibles des équations d'Euler (Proposition 5). L'une utilise des fonctions tests à divergence nulle, l'autre inclut explicitement la pression.
  • Ils utilisent un résultat récent de régularité de la pression (issu de [4]) : si la vitesse $u$ est Hölderienne ($C^{0,\alpha}$), alors la pression $p$ l'est aussi, et la condition aux limites pour la pression dérivée faiblement diffère de la condition classique pour les solutions fortes.

• Hypothèses de Régularité :

  • La preuve repose sur l'hypothèse que la suite de solutions $\{u_{\nu_k}\}$ est uniformément bornée dans l'espace $L^\infty((0,T); C^{0,\alpha}(\Omega))$ pour un $\alpha \in (0,1)$.
  • Une condition supplémentaire de contrôle sur la norme $H^1$ pondérée par $\nu^{1/2}$ est requise.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est énoncé dans le Théorème 6 :

1. Convergence vers Euler : Sous les hypothèses de régularité uniforme (borne Hölderienne et contrôle de l'énergie dissipée), toute limite faible-étoile d'une sous-suite de solutions de Navier-Stokes est une solution faible des équations d'Euler. Cette limite conserve la condition d'imperméabilité $(u \cdot n)|_{\partial\Omega} = 0$.
2. Absence de Dissipation Anormale : Si l'exposant de Hölder satisfait $\alpha > 1/3$, alors :
   • La solution limite $u$ conserve l'énergie (théorème de Onsager pour les domaines bornés) : $\|u(t)\|_{L^2}^2 = \|u_0\|_{L^2}^2$.
   • Il n'y a pas de dissipation d'énergie anormale. La limite de la dissipation totale (volume + bord) tend vers zéro :
     $$\lim_{\nu_k \to 0} \left[ 2\nu_k \int_0^T \|D(u_{\nu_k})\|_{L^2}^2 dt + 2\nu_k \int_0^T \int_{\partial\Omega} \lambda_{ij} (u_{\nu_k})_i (u_{\nu_k})_j dx dt \right] = 0$$
3. Existence de Sous-suites Convergentes : Il existe au moins une sous-suite qui converge fortement dans $C([0,T]; L^2(\Omega))$.

4. Contributions Clés et Innovations

• Indépendance vis-à-vis de la régularité de la pression : Contrairement à de nombreux travaux antérieurs, les auteurs n'imposent aucune hypothèse de régularité sur la pression près de la frontière pour établir l'absence de dissipation anormale. Ils utilisent la régularité de la pression (dérivée de la régularité de la vitesse) comme un outil, mais pas comme une hypothèse a priori restrictive.
• Pas d'hypothèse de solution forte d'Euler : Le résultat ne nécessite pas l'existence préalable d'une solution forte (lisse) aux équations d'Euler pour les données initiales données. Cela permet de traiter des données initiales moins régulières (Hölderiennes).
• Généralité des conditions aux limites : Le cadre couvre une large classe de conditions de Navier (incluant le tourbillon et le tenseur de contrainte), qui sont physiquement plus pertinentes pour certaines applications que les conditions de non-glissement, car elles évitent la formation de couches limites de Prandtl fortes.
• Lien avec la conjecture d'Onsager : Le papier confirme que la régularité Hölderienne $\alpha > 1/3$ est suffisante pour garantir la conservation de l'énergie et l'absence de dissipation anormale même dans le contexte des équations de Navier-Stokes avec conditions de Navier.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Théorie de la turbulence : Il apporte un éclairage crucial sur le mécanisme de dissipation d'énergie. Il montre que, pour des conditions aux limites permettant un glissement (Navier), la dissipation anormale n'est pas inévitable et peut être évitée sous des conditions de régularité de la vitesse (Hölder > 1/3), même sans régularité forte de la pression.
• Limites d'inviscidité : Il fournit un critère robuste pour la convergence des solutions de Navier-Stokes vers les solutions d'Euler dans des domaines bornés, comblant un vide entre les résultats pour les conditions de Dirichlet (très restrictifs) et les conditions périodiques.
• Méthodologie : L'utilisation des résultats récents sur la régularité de la pression pour les solutions faibles d'Euler (Bardos, Titi, et al.) ouvre une nouvelle voie pour analyser les problèmes de limite d'inviscidité sans s'appuyer sur des hypothèses de régularité classique qui sont souvent difficiles à vérifier.

En résumé, l'article établit que pour les équations de Navier-Stokes avec des conditions de Navier, la régularité Hölderienne de la vitesse (avec un exposant supérieur à 1/3) est une condition suffisante pour garantir que le système se comporte de manière "parfaite" dans la limite inviscide : convergence vers Euler et conservation de l'énergie, sans dissipation anormale.