On the absence of anomalous dissipation for the Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions: a sufficient condition

Titolo: Sull'assenza di dissipazione anomala per le equazioni di Navier-Stokes con condizioni al contorno di Navier: una condizione sufficiente

Autori: Claude Bardos, Daniel W. Boutros, Edriss S. Titi.

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1. Il Problema

Il lavoro affronta uno dei problemi centrali nella teoria della turbolenza e nell'analisi asintotica delle equazioni dei fluidi: il limite di viscosità nulla (inviscid limit) per le equazioni di Navier-Stokes incompressibili in un dominio limitato tridimensionale $\Omega$.

In particolare, gli autori si concentrano sul fenomeno della dissipazione anomala di energia (noto anche come la "legge zero di Kolmogorov" della turbolenza). Questo fenomeno si verifica quando, al tendere della viscosità $\nu \to 0$, l'energia cinetica totale del sistema non si conserva, ma viene dissipata in modo non nullo anche nel limite inviscido (Euler). Matematicamente, ciò significa che esiste una sequenza di soluzioni deboli di Leray-Hopf $\{u_{\nu_k}\}$ tale che:
$$\liminf_{\nu_k \to 0} \left( 2\nu_k \int_0^T \|D(u_{\nu_k})\|_{L^2}^2 dt + \text{termini di bordo} \right) > 0$$
dove $D(u)$ è il tensore di deformazione.

Il problema è studiato nel contesto delle condizioni al contorno di Navier (generalizzate), che includono condizioni di scorrimento parziale e termini di attrito, a differenza delle classiche condizioni di "no-slip" (aderenza totale) che generano strati limite di Prandtl più complessi.

L'obiettivo è stabilire una condizione sufficiente per garantire l'assenza di dissipazione anomala, ovvero per assicurare che le soluzioni di Navier-Stokes convergano a una soluzione delle equazioni di Eulero che conserva l'energia, senza fare assunzioni sulla regolarità della pressione vicino al bordo o sull'esistenza di una soluzione forte per le equazioni di Eulero.

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2. Metodologia

Gli autori utilizzano un approccio analitico basato sulla teoria delle equazioni alle derivate parziali non lineari e sulla teoria delle soluzioni deboli. I pilastri metodologici includono:

• Formulazione Debole Generalizzata: Viene definita una formulazione debole precisa per le equazioni di Navier-Stokes con condizioni di Navier, incorporando le condizioni al contorno direttamente nella formulazione integrale (anziché come vincoli separati).
• Regolarità della Pressione: Il risultato chiave su cui si basa l'analisi è un recente teorema di regolarità (citato come [4]) che stabilisce che, per soluzioni deboli delle equazioni di Eulero con velocità di classe Hölder continua ($C^{0,\alpha}$), anche la pressione eredita la stessa regolarità Hölderiana.
• Condizione al Contorno per la Pressione: Viene sfruttata una condizione al contorno specifica per la pressione derivata rigorosamente per soluzioni deboli, che differisce dalla condizione classica per soluzioni forti. Questa condizione è:
  $$\partial_n(p + (u \cdot n)^2)|_{\partial\Omega} = (u \otimes u) : \nabla n$$
• Teoremi di Compattezza: Vengono utilizzati il Lemma di Aubin-Lions e il teorema di Banach-Alaoglu per estrarre sottosuccessioni convergenti dalle soluzioni di Navier-Stokes.
• Decomposizione di Leray-Helmholtz: Utilizzata per separare i campi vettoriali in componenti solenoidali e gradienti, permettendo di trattare il termine di pressione nelle formulazioni deboli.
• Stime Energetiche: Analisi dettagliata delle disuguaglianze energetiche per mostrare che, sotto determinate condizioni di regolarità, il termine di dissipazione viscosa deve tendere a zero.

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3. Contributi Chiave

Il principale contributo di questo lavoro è la dimostrazione che l'assenza di dissipazione anomala può essere garantita esclusivamente sulla base della regolarità della velocità, senza richiedere ipotesi aggiuntive sulla pressione o sull'esistenza di soluzioni classiche per il limite di Eulero.

I punti salienti sono:

1. Indipendenza dalla Regolarità della Pressione: A differenza di lavori precedenti che richiedevano ipotesi sulla regolarità della pressione vicino al bordo, questo risultato si basa solo sulla regolarità Hölderiana della velocità ($C^{0,\alpha}$).
2. Generalità delle Condizioni al Bordo: Il risultato si applica a una classe generale di condizioni di Navier (inclusi termini di stress e vorticità), che sono meno restrittive delle condizioni di no-slip e non generano strati limite di Prandtl "forti" che causano dissipazione anomala.
3. Nessuna Ipotesi di Esistenza di Soluzione Forte: Non è necessario assumere che esista una soluzione forte (regolare) delle equazioni di Eulero per il dato iniziale. Il teorema funziona anche se la soluzione limite è solo una soluzione debole.

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4. Risultati Principali

Il risultato centrale è enunciato nel Teorema 6.

Ipotesi:

• $\Omega$ è un dominio limitato con bordo di classe $C^4$.
• $\{u_{\nu_k}\}$ è una successione di soluzioni deboli di Leray-Hopf per Navier-Stokes con viscosità $\nu_k \to 0$.
• I dati iniziali $u_{\nu_k, 0}$ convergono fortemente in $C^{0,\alpha}(\Omega)$ a $u_0$.
• Condizione di Limitazione Uniforme (24): La successione soddisfa:
  $$\sup_k \|u_{\nu_k}\|_{L^\infty((0,T); C^{0,\alpha}(\Omega))} + \sup_k \nu_k^{1/2} \|u_{\nu_k}\|_{L^2((0,T); H^1(\Omega))} < \infty$$

Conclusione:

1. Ogni limite debole-$\ast$ $u$ della successione è una soluzione debole delle equazioni di Eulero (nel senso della Definizione 4), con dati iniziali $u_0$ e soddisfacente la condizione di impermeabilità $(u \cdot n)|_{\partial\Omega} = 0$.
2. Se l'esponente di Hölder soddisfa $\alpha > 1/3$, allora:
   • La soluzione limite $u$ conserva l'energia: $\|u(t)\|_{L^2}^2 = \|u_0\|_{L^2}^2$.
   • Non vi è dissipazione anomala: Il limite della dissipazione viscosa (inclusi i termini di bordo) è zero:
     $$\lim_{\nu_k \to 0} \left( 2\nu_k \int_0^T \|D(u_{\nu_k})\|_{L^2}^2 dt + \dots \right) = 0$$
3. Esiste almeno una sottosuccessione che converge fortemente in $C([0,T]; L^2(\Omega))$.

Nota sulla Regolarità (Remark 8):
Gli autori notano che la condizione (24) può essere indebolita richiedendo solo una limitatezza uniforme in $C^{0,\beta}$ globalmente e una regolarità Hölderiana con esponente $> 1/3$ su ogni sottoinsieme compatto interno $\tilde{\Omega} \subset\subset \Omega$.

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5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è significativo per diversi motivi:

• Avanzamento della Congettura di Onsager: Contribuisce alla comprensione della congettura di Onsager, che collega la regolarità delle soluzioni (in particolare l'esponente Hölder $1/3$) alla conservazione dell'energia. Il risultato conferma che, in assenza di condizioni di no-slip (che creano strati limite dissipativi), la soglia $1/3$ è sufficiente a garantire la conservazione dell'energia anche per soluzioni deboli.
• Distinzione tra Condizioni al Contorno: Sottolinea la differenza fondamentale tra condizioni di no-slip (dove la dissipazione anomala è probabile e legata agli strati limite di Prandtl) e condizioni di Navier (dove, sotto opportune condizioni di regolarità, il limite inviscido è ben comportato).
• Riduzione delle Ipotesi: Rimuove la necessità di assumere l'esistenza di soluzioni forti per le equazioni di Eulero, un requisito spesso irraggiungibile in contesti turbolenti reali. Questo rende il risultato più applicabile a scenari fisici realistici dove la regolarità potrebbe essere limitata.
• Impatto sulla Teoria della Turbolenza: Fornisce una base rigorosa per affermare che, in certi regimi di scorrimento (Navier), la dissipazione di energia è puramente viscosa e scompare nel limite inviscido, a meno che non vi siano singolarità nella velocità che violino la soglia di regolarità di Onsager.

In sintesi, il paper fornisce un criterio sufficiente robusto per l'assenza di dissipazione anomala, collegando direttamente la regolarità della velocità alla conservazione dell'energia nel limite di viscosità nulla, senza ricorrere a ipotesi sulla pressione o sulla regolarità globale delle soluzioni di Eulero.