On the absence of anomalous dissipation for the Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions: a sufficient condition

Titel en Context

Titel: Over de afwezigheid van anomalische dissipatie voor de Navier-Stokes-vergelijkingen met Navier-randvoorwaarden: een voldoende voorwaarde.
Auteurs: Claude Bardos, Daniel W. Boutros en Edriss S. Titi.
Doel: Het analyseren van het verdwijnen van viscositeit (inviscid limit) voor de incompressibele Navier-Stokes-vergelijkingen in een begrensd domein, specifiek onder Navier-randvoorwaarden, en het vaststellen van voorwaarden waaronder er geen anomalische energie-dissipatie optreedt.

---

1. Het Probleem

De kern van het onderzoek ligt in de overgang van de Navier-Stokes-vergelijkingen (met viscositeit $\nu > 0$) naar de Euler-vergelijkingen (met $\nu = 0$) in de limiet waar $\nu \to 0$.

• Anomalische dissipatie: Dit is het fenomeen waarbij energie niet behouden blijft in de limiet van verdwijnende viscositeit, ondanks dat de Euler-vergelijkingen (die geen dissipatieterm hebben) energie behouden. Dit wordt geassocieerd met turbulentie en de Kolmogorov's nulde wet.
• Randvoorwaarden: De meeste bestaande literatuur richt zich op "no-slip" (Dirichlet) randvoorwaarden, wat leidt tot sterke Prandtl-randlagen en vaak anomalische dissipatie. Dit artikel richt zich op Navier-randvoorwaarden, die een glijdende beweging toestaan en minder drastische randlagen genereren.
• De uitdaging: Het bewijzen dat Leray-Hopf zwakke oplossingen van de Navier-Stokes-vergelijkingen convergeren naar een zwakke oplossing van de Euler-vergelijkingen, en dat deze limietoplossing energie behoudt, zonder extra aannames te doen over de druk of de existentie van een sterke oplossing voor de Euler-vergelijkingen.

---

2. Methodologie en Wiskundige Kader

Het Model

De auteurs beschouwen de 3D incompressibele Navier-Stokes-vergelijkingen in een begrensd domein $\Omega$ met een $C^4$-rand:
$$\partial_t u_\nu + \nabla \cdot (u_\nu \otimes u_\nu) - \nu \Delta u_\nu + \nabla p_\nu = 0, \quad \nabla \cdot u_\nu = 0$$
De randvoorwaarden zijn:

1. Doorgangloosheid: $u_\nu \cdot n = 0$ op $\partial\Omega$.
2. Generaliseerde Navier-voorwaarde:
   $$(D(u_\nu) \cdot n)_\tau + \lambda(\nu, x) \cdot u_\nu = 0$$
   Waarbij $D(u)$ de symmetrische graadient is en $\lambda$ een niet-negatief semidefiniet tensorveld is. Dit omvat randvoorwaarden gebaseerd op werveling of spanningstensors.

Definitie van Zwakke Oplossingen

• Navier-Stokes: De auteurs definiëren Leray-Hopf zwakke oplossingen die voldoen aan een energie-ongelijkheid en waarbij de randvoorwaarde expliciet in de zwakke formulering (via testfuncties) is opgenomen, in plaats van alleen als een trace-eigenschap.
• Euler: Ze gebruiken een recente definitie voor zwakke oplossingen van de Euler-vergelijkingen waarbij de druk $p$ en snelheid $u$ Hôlder-continu zijn ($C^{0,\alpha}$). Cruciaal is dat ze een specifieke randvoorwaarde voor de druk gebruiken die strikt is afgeleid uit de zwakke formulering, en die verschilt van de klassieke randvoorwaarde voor sterke oplossingen.

Technische Hulpmiddelen

• Regulariteit van de druk: Het artikel maakt gebruik van recente resultaten (uit [4]) die aantonen dat Hôlder-regulariteit van de snelheid ($u \in C^{0,\alpha}$) regulariteit overbrengt op de druk ($p \in C^{0,\alpha}$) voor zwakke Euler-oplossingen.
• Compactheid: Gebruik van de Aubin-Lions lemma en Banach-Alaoglu stelling om convergentie van een rij oplossingen te garanderen.
• Leray-Helmholtz decompositie: Om testfuncties te ontbinden in een divergentievrij deel en een gradiëntdeel, wat essentieel is om de drukterm in de zwakke formulering te behandelen.

---

3. Belangrijkste Resultaten

Het hoofdstuk (Stelling 6) levert een voldoende voorwaarde voor de afwezigheid van anomalische dissipatie.

De Voorwaarde:
Laat $\{u_{\nu_k}\}$ een rij van Leray-Hopf zwakke oplossingen zijn voor viscositeiten $\nu_k \to 0$. Als de volgende uniforme schattingen gelden (onafhankelijk van $k$):

1. De oplossingen zijn uniform begrensd in $L^\infty((0,T); C^{0,\alpha}(\Omega))$ met $\alpha \in (0,1)$.
2. De term $\nu_k^{1/2} \|u_{\nu_k}\|_{L^2((0,T); H^1(\Omega))}$ is uniform begrensd.

De Conclusies:

1. Convergentie: Elke zwak-* limiet $u$ van een deelrij is een zwakke oplossing van de Euler-vergelijkingen met de initiële data $u_0$.
2. Energiebehoud: Als $\alpha > 1/3$, dan behoudt de limietoplossing $u$ de energie:
   $$\|u(t)\|_{L^2}^2 = \|u_0\|_{L^2}^2$$
3. Afwezigheid van Anomalische Dissipatie: Er treedt geen anomalische dissipatie op. De totale viskeuze dissipatie (inclusief bijdragen van de rand) verdwijnt in de limiet:
   $$\lim_{\nu_k \to 0} \left[ 2\nu_k \int_0^T \|D(u_{\nu_k})\|_{L^2}^2 dt + \text{randtermen} \right] = 0$$
4. Bestaan: Er bestaat ten minste één deelrij die sterk convergeert in $C([0,T]; L^2(\Omega))$.

---

4. Bijdragen en Innovatie

Deze paper biedt enkele significante doorbraken ten opzichte van eerdere werken:

• Geen aannames over de druk: In tegenstelling tot veel eerdere criteria (zoals het Kato-criterium of varianten daarvan), maken de auteurs geen aannames over de regulariteit van de druk bij de rand. Ze vertrouwen puur op de regulariteit van de snelheid en recente resultaten over de druk in de context van zwakke Euler-oplossingen.
• Geen sterke Euler-oplossing nodig: Het bewijs vereist niet dat er een sterke (gladde) oplossing bestaat voor de Euler-vergelijkingen met dezelfde initiële data. Het werkt puur met zwakke oplossingen.
• Generaliseerde Randvoorwaarden: Het resultaat is geldig voor een brede klasse van Navier-randvoorwaarden (inclusief die gebaseerd op werveling of spanning), zolang ze geen discontinuïteit in de snelheid bij de rand veroorzaken (in tegenstelling tot no-slip voorwaarden).
• Verband met Onsager-conjectie: Het resultaat bevestigt dat voor $\alpha > 1/3$ energiebehoud geldt in begrensd domeinen met deze specifieke randvoorwaarden, wat een versterking is van de Onsager-conjectie in deze context.

---

5. Significatie en Toepassing

• Fundamentele Fluidmechanica: Het werk verduidelijkt de voorwaarden waaronder de overgang van viskeuze naar inviscide stroming glad verloopt zonder energieverlies door turbulentie bij de rand.
• Turbulentie-theorie: Het biedt een wiskundig kader om te begrijpen wanneer de "Kolmogorov's zeroth law" (anomalische dissipatie) niet optreedt, wat essentieel is voor het modelleren van hoge Reynolds-getal stromingen in technische toepassingen waar glijdende wanden voorkomen.
• Toekomstig Onderzoek: De methode opent de deur voor het analyseren van andere randvoorwaarden en het verder verkennen van de relatie tussen regulariteit en dissipatie in complexe stromingsproblemen zonder de beperking van sterke oplossingen.

Samenvattend bewijzen de auteurs dat als de snelheidsvelden van de Navier-Stokes-vergelijkingen voldoende Hôlder-continu zijn (met exponent $> 1/3$) en uniform begrensd blijven, de overgang naar de Euler-vergelijkingen zonder energieverlies verloopt, zelfs zonder kennis van de drukgedraging of de existentie van een gladde Euler-oplossing.